利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（解析版）

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角式及絕對(duì)值式結(jié)構(gòu)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(或方程根的個(gè)數(shù))問題的一般思路(1)可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；(2)證明有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，確定函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的極值(最值)、端點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出函數(shù)的大致圖象．再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)＜0.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)【例1】已知函數(shù)f(x)＝xex＋ex，討論函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解題指導(dǎo)】函數(shù)求導(dǎo)→確定極值點(diǎn)→分析的單調(diào)性→畫出的草圖探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且令f(x)＝0，得x＝－1，當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>－1時(shí)，f(x)>0，且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，(－1,0)，(0,1)．當(dāng)x→－∞時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)y＝e－x增長更快，從而f(x)＝eq\f(x＋1,e－x)→0；【卡殼點(diǎn)】極限思想的應(yīng)用當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根據(jù)以上信息，畫出f(x)大致圖象如圖所示．【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視圖象過（0,1）點(diǎn)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y＝f(x)的圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極小值f(－2)＝－eq\f(1,e2).∴關(guān)于函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)a<－eq\f(1,e2)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)a＝－eq\f(1,e2)或a≥0時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)－eq\f(1,e2)<a<0時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)（m∈R），討論函數(shù)g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解題指導(dǎo)】函數(shù)求導(dǎo)→令→構(gòu)造函數(shù)→函數(shù)求導(dǎo)→分析的單調(diào)性→畫出的草圖探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解析】由題意知g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－eq\f(x,3)(x>0)，【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視定義域令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3)x3＋x(x>0)．【卡殼點(diǎn)】分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)設(shè)φ(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x(x>0)，則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴x＝1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是φ(x)的最大值點(diǎn)，∴φ(x)的最大值為φ(1)＝eq\f(2,3).結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)，可知，①當(dāng)m>eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)；②當(dāng)m＝eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)0<m<eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)m>eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)m＝eq\f(2,3)或m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．【解題技法】含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍．【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a為實(shí)數(shù))．如果關(guān)于x的方程g(x)＝2exf(x)在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】方程g(x)＝2exf(x)可化為－x2＋ax－3＝2xlnx，即a＝2lnx＋x＋eq\f(3,x).令φ(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)，x∈，∴φ′(x)＝eq\f(2,x)＋1－eq\f(3,x2)＝eq\f(x2＋2x－3,x2)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，∵當(dāng)x∈時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x∈(1，e]時(shí)，φ′(x)>0，∴φ(x)在上單調(diào)遞減，在(1，e]上單調(diào)遞增．∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又φ＝3e＋eq\f(1,e)－2，φ(e)＝eq\f(3,e)＋e＋2，且φ>φ(e)∴畫出y＝φ(x)的圖象如圖所示．則4<a≤eq\f(3,e)＋e＋2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.考法2函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點(diǎn)【例3】已知函數(shù)h(x)＝x2＋4－4（xsinx＋cosx），試證明h(x)在R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)．【解題指導(dǎo)】確定函數(shù)是偶函數(shù)→求→是零點(diǎn)→求導(dǎo)→函數(shù)在的單調(diào)性與最值→函數(shù)在時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定在R上零點(diǎn)個(gè)數(shù)【證明】h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(yuǎn)(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)為偶函數(shù)．又∵h(yuǎn)(0)＝0，∴x＝0為函數(shù)h(x)的零點(diǎn)．下面討論h(x)在(0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx)．當(dāng)x∈[4，＋∞)時(shí)，x－4sinx>0,4(1－cosx)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)無零點(diǎn)；當(dāng)x∈(0,4)時(shí)，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴h(x)min＝h＝eq\f(π2,9)＋4－eq\f(4π,3)sineq\f(π,3)－4coseq\f(π,3)＝eq\f(π2,9)＋2－eq\f(2\r(3)π,3)<0，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，∴h(x)在上無零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)．綜上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)，又h(0)＝0且h(x)為偶函數(shù)，故h(x)在R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)．【例4】（2022·全國乙（文）T20節(jié)選）已知函數(shù)．若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解題指導(dǎo)】函數(shù)求導(dǎo)→對(duì)分類討論→函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性→由一個(gè)零點(diǎn)的情況，確定范圍【解析】，則，【卡殼點(diǎn)】如何對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論：（1）系數(shù)是否為0；（2）確定與1的大小當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，當(dāng)x趨近正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，又，當(dāng)n趨近正無窮大時(shí)，趨近負(fù)無窮，【卡殼點(diǎn)】考慮指數(shù)函數(shù)爆炸增長，趨近負(fù)無窮所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【解題技法】利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．【跟蹤訓(xùn)練】(2020·全國Ⅲ卷T22改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(3,4)x＋c，若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.【證明】由f(x)＝x3－eq\f(3,4)x＋c，f′(x)＝3x2－eq\f(3,4).令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\f(1,2).f′(x)與f(x)的情況為：x－eq\f(1,2)eq\f(1,2)f′(x)＋0－0＋f(x)c＋eq\f(1,4)c－eq\f(1,4)因?yàn)閒(1)＝f＝c＋eq\f(1,4)，所以當(dāng)c<－eq\f(1,4)時(shí)，f(x)只有大于1的零點(diǎn).因?yàn)閒(－1)＝f＝c－eq\f(1,4)，所以當(dāng)c>eq\f(1,4)時(shí)，f(x)只有小于－1的零點(diǎn).由題設(shè)可知－eq\f(1,4)≤c≤eq\f(1,4).當(dāng)c＝－eq\f(1,4)時(shí)，f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)－eq\f(1,2)和1.當(dāng)c＝eq\f(1,4)時(shí)，f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)－1和eq\f(1,2).當(dāng)－eq\f(1,4)<c<eq\f(1,4)時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1∈，x2∈，x3∈.綜上，若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.考法3構(gòu)造函數(shù)法求函數(shù)的零點(diǎn)【例5】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．【解題指導(dǎo)】=0→構(gòu)造函數(shù)→函數(shù)求導(dǎo)→分析函數(shù)單調(diào)性→確定只有一個(gè)零點(diǎn)【解析】因?yàn)閤2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等價(jià)于eq\f(x3,x2＋x＋1)－3a＝0.【技巧】等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)設(shè)g(x)＝eq\f(x3,x2＋x＋1)－3a，則g′(x)＝eq\f(x2x2＋2x＋3,x2＋x＋12)≥0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，g′(x)＝0，【快解】注意到所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－eq\f(1,3)＝－6－eq\f(1,6)<0，f(3a＋1)＝eq\f(1,3)>0，故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．【例6】（2022·全國乙（理）T21節(jié)選）已知函數(shù)，若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解題指導(dǎo)】求導(dǎo)→構(gòu)造函數(shù)→對(duì)a分類討論→求導(dǎo)→分析函數(shù)單調(diào)性→確定的取值范圍【解析】設(shè)【卡殼點(diǎn)】為什么構(gòu)造函數(shù)？分母恒大于零，只需考慮分子即可若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有【注意點(diǎn)】運(yùn)用極限思想而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【解題技法】涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練】(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝eq\f(x2,2x)(x>0)，f′(x)＝eq\f(x2－xln2,2x)(x>0)，令f′(x)>0，則0<x<eq\f(2,ln2)，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，令f′(x)<0，則x>eq\f(2,ln2)，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程eq\f(xa,ax)＝1(x>0)有兩個(gè)不同的解，即方程eq\f(lnx,x)＝eq\f(lna,a)有兩個(gè)不同的解．設(shè)g(x)＝eq\f(lnx,x)(x>0)，則g′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)(x>0)，令g′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，得x＝e，當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，故g(x)max＝g(e)＝eq\f(1,e)，且當(dāng)x>e時(shí)，g(x)∈，又g(1)＝0，所以0<eq\f(lna,a)<eq\f(1,e)，所以a>1且a≠e，即a的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞)．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值．【分析】（1）求導(dǎo)，通過，判斷導(dǎo)數(shù)方程兩根大小，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)是極值為時(shí)，求出極值解方程可得.【詳解】（1），當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增.綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）情況一：若,即時(shí),由的單調(diào)性,其在上恒為正,無零點(diǎn),在增區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn),不符題意.情況二：若,即時(shí),由于,由零點(diǎn)存在定理,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，取,則,，當(dāng)時(shí),,由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在恒為正,無零點(diǎn),由零點(diǎn)存在定理,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),符合題意，情況三：若,即時(shí),同情況二可得在增區(qū)間恒為正,無零點(diǎn),僅有一個(gè)零點(diǎn),不符題意，綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問在于合理地分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，連續(xù)性，利用零點(diǎn)存在定理證明每類情況時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出的單調(diào)性作答.（2）把代入求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，若，由得或，由得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由得或，由得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在唯一使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，，而當(dāng)時(shí)，，于是在上無零點(diǎn)，因?yàn)?，因此在上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).參考數(shù)據(jù)：【分析】（1）由題設(shè)可得在上恒成立，進(jìn)而研究的單調(diào)性并求最值，即可得參數(shù)范圍；（2）應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷在上的零點(diǎn)，根據(jù)其符號(hào)確定的單調(diào)性并得到極值，進(jìn)而判斷其零點(diǎn)分布，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，令且x>0，則，故在上單調(diào)遞增，要使在上恒成立，則，解得，即所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由（1）知：在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即，此時(shí)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增，又，記，則，所以在上遞減，則，所以，又，所以在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.4．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間.（2）求導(dǎo)得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算和，得到和，考慮，，，，幾種情況，計(jì)算零點(diǎn)得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2），令，得或，由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.，令，得，當(dāng)時(shí)，，又，所以存在唯一，使得，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，所以存在唯一，使得，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)和；令，得，現(xiàn)說明，即，即顯然成立.因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，又.所以存在唯一，唯一，唯一，使得，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又.所以存在唯一，使得，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)和2.當(dāng)時(shí)，，又.所以存在唯一，使得，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)值分類討論確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的方法，需要熟練掌握.5．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，求證：(1)存在唯一零點(diǎn)；(2)不等式恒成立．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）先證明，再由的單調(diào)性，證明不等式即可.【詳解】（1），.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；所以，即.所以在上單調(diào)遞增，.則在上，存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)；（2），令，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；即，故.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.即.故不等式恒成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在證明第二問時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，在做題時(shí)，要察覺到這一點(diǎn).6．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，且.(1)判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；(2)，且在上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【分析】（1）由題意解出的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化問題為在上有解，則有解，利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，進(jìn)而求得取值范圍即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，在上有零點(diǎn)，即在上有解，則有解，令，則，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，沒有最大值，所以.7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：為增函數(shù)的充要條件是；(2)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，從充分性與必要性兩方面證明即可；（2）對(duì)進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行取舍，即可得a的取值范圍．【詳解】（1）證明：充分性，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以為上的增函數(shù)．必要性，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，恒成立，即恒成立，又，所以，證畢．（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有3個(gè)零點(diǎn)；②若恒成立，則恒成立，所以，不合題意；③當(dāng)肘，，方程，，設(shè)其兩根為，，有，，從而在，上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，，，，．由，，得，令，，，，因?yàn)?，，所以，在上單調(diào)遞減，所以．由，有，所以，即，在上存在唯一零點(diǎn)；，，令，，，由在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上存在唯一零點(diǎn)；綜上所述，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)問題與導(dǎo)數(shù)的綜合，屬于中等難度題.解決本題零點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，其中需要結(jié)合含參不等式問題驗(yàn)證單調(diào)性，二次函數(shù)得函數(shù)極值點(diǎn)，確定單調(diào)性，驗(yàn)證零點(diǎn)時(shí)用到零點(diǎn)存在定理得“隱零點(diǎn)”等.8．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)．(1)若和的最小值相等，求的值；(2)若方程恰有一個(gè)實(shí)根，求的值．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出，的最小值，令其相等，可得答案；（2）方程恰有一個(gè)實(shí)根，相當(dāng)于恰有一個(gè)零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理，分三種情況下，的零點(diǎn)情況即可.【詳解】（1）因，則..則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.因，則..則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.令.則若和的最小值相等，.（2）由，可得，即，令，.則方程恰有一個(gè)實(shí)根，相當(dāng)于恰有一個(gè)零點(diǎn).則.或（舍去）.令，則.得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則.令，則，得在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有唯一零點(diǎn)1，則滿足條件；當(dāng)時(shí)，，，又，.則，得，.又令，，得在上單調(diào)遞增，又，.則..令.則，令，.得在上單調(diào)遞增，則，得在上單調(diào)遞增，則.又，則.則.