江蘇省揚州市2020-2021學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷

20202021學年江蘇省揚州市高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（每小題5分）.1．已知復數(shù)z滿足z（1+2i）＝3+i，則復數(shù)z的虛部為（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．在的展開式中，x2的系數(shù)是（）A．60 B．﹣60 C．60 D．﹣603．將0，1，2，3，4，5這6個數(shù)組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)的個數(shù)為（）A．360 B．312 C．264 D．2884．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰長為2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若點M為A1B1的中點，則直線AM與直線CB1所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．5．曲線y＝x?ex+x2在x＝0處的切線方程為（）A．y＝x+1 B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+16．今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22021天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六7．函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝x+acosx，對于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[1﹣，1+] B．[1﹣，1] C．[﹣1，1] D．[﹣1，1﹣]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A．若復數(shù)z1，z2滿足z12+z22＝0，則z1＝z2＝0 B．i+i2+i3+i4＝0 C．若z＝（1+2i）2，則復平面內(nèi)對應的點位于第二象限 D．已知復數(shù)z滿足|z﹣1|＝|z+1|，則|z﹣1+i|的最小值為110．已知的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，則下列結論正確的是（）A．二項展開式中各項系數(shù)之和為729 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為 C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為240x311．如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段AB1上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1 B．三棱錐B﹣MB1C體積最大值為 C．當M為AB1中點時，直線B1D與直線CM所成的角的余弦值為 D．直線CM與A1D所成的角不可能是12．對于定義域為R的函數(shù)f（x），f′（x）為f（x）的導函數(shù)，若同時滿足：①f（0）＝0；②當x∈R且x≠0時，都有xf′（x）＞0；③當x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|時，都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）為“偏對稱函數(shù)”．下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣ex﹣x B．f2（x）＝ex+x﹣1 C．f3（x）＝ D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（其中15題第一空2分，第二空3分）。13．若，則＝．14．已知函數(shù)，則＝．15．已知f（x）＝（2x﹣1）2021＝a0+a1x+a2x2+?+a2021x2021，則a1+a2+a3+?+a2021＝；a1+2a2+3a3+?+2021a2021＝；．16．已知關于x的方程ln2x+mxlnx﹣2m2x2＝0有3個不等的實數(shù)根，則m的取值范圍是．四、解答題（本大題共6個小題，滿分70分。解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟）17．（1）計算；（2）設復數(shù)z1＝2+ai，z2＝b﹣4i．（其中a，b∈R），若是純虛數(shù)，且z1+z2在復平面內(nèi)對應的點在直線x+y﹣1＝0上，求|z1z2|．18．現(xiàn)有編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6個不同的小球．（1）若將這些小球排成一排，則有多少種不同的排法？（請用數(shù)字作答）（2）若將這些小球排成一排，且A，B，C三個小球各不相鄰，則有多少種不同的排法？（請用數(shù)字作答）（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（請用數(shù)字作答）19．已知在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點．（1）求證；BQ∥平面PAD；（2）若PD＝1，BC＝，BC⊥BD，求銳二面角Q﹣BD﹣C的余弦值．20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為g（m），求g（m）的表達式．21．已知梯形BFEC如圖1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，沿AD將四邊形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體．（1）求證：平面AEC⊥平面BDE；（2）求點F到平面ABE的距離；（3）若點H在線段BD上，且EH與平面BEF所成角的正弦值為，求線段DH的長度．22．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣bx+lnx（a，b∈R）．（1）當a＝1，b＝3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當b＝2時，若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，且不等式f（x1）+f（x2）＞x1+x2+t有解，求實數(shù)t的取值范圍；（3）設g（x）＝f（x）﹣ax2，若g（x）有兩個相異零點x1，x2，求證：．參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)z滿足z（1+2i）＝3+i，則復數(shù)z的虛部為（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1解：z（1+2i）＝3+i，∴z（1+2i）（1﹣2i）＝（3+i）（1﹣2i），∴z＝＝1﹣i，則復數(shù)z的虛部為﹣1．故選：C．2．在的展開式中，x2的系數(shù)是（）A．60 B．﹣60 C．60 D．﹣60解：∵＝，令x的指數(shù)為2，即6﹣r＝2，r＝4；∴x2的系數(shù)為：4C64＝60；可排除B、C、D．故選：A．3．將0，1，2，3，4，5這6個數(shù)組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)的個數(shù)為（）A．360 B．312 C．264 D．288解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①0在五位數(shù)的個位，在剩下5個數(shù)中任取4個，安排在前4個數(shù)位，有A54＝120個五位偶數(shù)；②0不在五位數(shù)的個位，則五位數(shù)的個位可以為2或4，首位數(shù)字有4種選擇，在剩下4個數(shù)中任取3個，安排在中間3個數(shù)位，有A43＝24種選擇，則此時有2×4×24＝192個五位偶數(shù)，則一共有120+192＝312個五位偶數(shù)；故選：B．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰長為2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若點M為A1B1的中點，則直線AM與直線CB1所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．解：連接A1B，A1C，交于點N，連接MN，則N為A1C的中點，∵M為A1B1的中點，∴MN∥B1C，MN＝B1C＝，∴∠AMN或其補角為直線AM與直線CB1所成的角，在△AMN中，AM＝＝，AN＝AC1＝，由余弦定理知，cos∠AMN＝＝＝，∴直線AM與直線CB1所成的角的余弦值為．故選：A．5．曲線y＝x?ex+x2在x＝0處的切線方程為（）A．y＝x+1 B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+1解：∵f（x）＝x?ex+x2，∴f′（x）＝ex+x?ex+2x，∴在x＝0處的切線斜率k＝f′（0）＝1，∴f（0）＝0+0＝0，∴f（x）＝x?ex+x2在x＝0處的切線方程為：y＝x，故選：C．6．今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22021天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六解：22021＝4×22019＝4×8673＝4×（7+1）673＝4（?7673+?7672+???+?7+），由于括號中，除了最后一項外，其余各項都能被7整除，故整個式子除以4的余數(shù)為4＝4，2+4＝6，故經(jīng)過22021天后是是星期六，故選：D．7．函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．解：當x＝0或x＝1時，f（x）無意義，即函數(shù)的定義域為{x|x＞0且x≠1}，設g（x）＝x﹣lnx﹣1，則g′（x）＝1﹣＝．當0＜x＜1，g′（x）＜0，此時g（x）為減函數(shù)，則g（x）＞g（1）＝1﹣ln1﹣1＝0，則f（x）＞0且f（x）為增函數(shù)，排除C，D，當x＞1時，g′（x）＞0，此時g（x）為增函數(shù)，則g（x）＞g（1）＝1﹣ln1﹣1＝0，則f（x）＞0且f（x）為減函數(shù)，排除B，故選：A．8．已知函數(shù)f（x）＝x+acosx，對于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[1﹣，1+] B．[1﹣，1] C．[﹣1，1] D．[﹣1，1﹣]解：對于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，等價于，不妨令x1＞x2，即等價于函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（a2﹣a）x在R上單調(diào)遞增，即g′（x）＝1﹣asinx﹣（a2﹣a）≥0在R上恒成立．?a2﹣a≤（1﹣asinx）min?a2﹣a≤1﹣|a|?或，?0≤a≤1或1﹣≤a＜0，綜上，1﹣≤a≤1，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A．若復數(shù)z1，z2滿足z12+z22＝0，則z1＝z2＝0 B．i+i2+i3+i4＝0 C．若z＝（1+2i）2，則復平面內(nèi)對應的點位于第二象限 D．已知復數(shù)z滿足|z﹣1|＝|z+1|，則|z﹣1+i|的最小值為1解：令z1＝1，z2＝i，滿足z12+z22＝0，但z1≠0且z2≠0，∴A錯；∵i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，∴B對；∵z＝（1+2i）2＝﹣3+4i，∴＝﹣3﹣4i，∴復平面內(nèi)對應的點位于第三象限．∴C錯；∵復數(shù)z滿足|z﹣1|＝|z+1|，∴復數(shù)z和1對應的向量和的對角線相等，∴復數(shù)z和1對應的向量和構成一個矩形，∴復數(shù)z和1對應的向量垂直，∴復數(shù)z對應的向量在虛軸上，∴|z﹣1+i|的最小值為點（1，﹣1）到虛軸距離，∴最小值為1，∴D對．故選：BD．10．已知的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，則下列結論正確的是（）A．二項展開式中各項系數(shù)之和為729 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為 C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為240x3解：∵的二項展開式中二項式系數(shù)之和為2n＝64，∴n＝6，再令x＝1，可得二項展開式中各項系數(shù)之和為3n＝36＝729，故A正確；顯然，當r＝3時，二項式系數(shù)最大，該項為T4＝?23?＝160，故B錯誤；令通項公式中x的冪指數(shù)6﹣＝0，求得r＝4，可得常數(shù)項T5＝?22＝60，故C錯誤；由于第r+1項的系數(shù)為?26﹣r，檢驗可得，當r＝2時，系數(shù)最大，該項為T3＝?24?x3＝240x3，故D正確，故選：AD．11．如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段AB1上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1 B．三棱錐B﹣MB1C體積最大值為 C．當M為AB1中點時，直線B1D與直線CM所成的角的余弦值為 D．直線CM與A1D所成的角不可能是解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥面A1AM，BC?面BCM，∴面BCM⊥面A1AM，故選項A正確；設M到面BB1C的距離為h，h＝h，當M點運動到線段AB1的端點A時，h最大，且距離為1．∴三棱錐B﹣MB1C的體積最大值為，故選項B正確；如圖，將A1B1延長至E，使A1B1＝B1E，連ME，CE，易得B1D∥CE，∴直線CM與直線CE所成角即為直線B1D與直線CM所成的角，即∠MCE，易得|MC|＝，|CE|＝，|ME|＝，∴，故選項C正確；∵A1D∥B1C，∴直線CM與直線B1C所成角就是∠MCB1，當M從點B1沿著線段B1A向A點運動時，∠MCB1逐漸變大，∴，故在點A和點B1之間，必定存在一點使得∠MCB1＝，故選項D錯誤．故選：ABC．12．對于定義域為R的函數(shù)f（x），f′（x）為f（x）的導函數(shù)，若同時滿足：①f（0）＝0；②當x∈R且x≠0時，都有xf′（x）＞0；③當x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|時，都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）為“偏對稱函數(shù)”．下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣ex﹣x B．f2（x）＝ex+x﹣1 C．f3（x）＝ D．解：對于A：f1（0）＝0，符合條件①，條件②等價于函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，對于f1（x）＝e2x﹣ex﹣x，f1′（x）＝2e2x﹣ex﹣1，則當x＜0時，f1′（x）＜0，當x＞0時，f1′（x）＞0，滿足②；當x＜0，令m（x）＝f1（x）﹣f1（﹣x）＝e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，則m′（x）＝2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2＝2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，令e﹣x+ex＝t，則t≥2，于是m′（x）＝2t2﹣t﹣6＝2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣＝0，∴m（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴m（x）＜m（0）＝0，故f1（x）滿足條件③，∴f1（x）為“偏對稱函數(shù)”，故A正確；對于B：f2（0）＝0，符合條件①，f2′（x）＝ex+1，函數(shù)在R遞增，不符合條件②，故B不滿足題意；對于C：f3（0）＝0，符合條件①，顯然f3（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合條件②，畫出函數(shù)f3（x）的圖象，如圖示：當x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|時，都有f（x1）＜f（x2），符合條件③，故C正確；對于D：對于f4（x），f4（0）＝ln1＝0，滿足條件①f（0）＝0；f4（x）＝，由復合函數(shù)的單調(diào)性法則知：f4（x）＝在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足條件②．由函數(shù)f4（x）的單調(diào)性知：當x1＜0＜x2，且|x1|＝|x2|時，都有f（x1）＜f（x2），滿足條件③，∴f4（x）是“偏對稱函數(shù)”，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（其中15題第一空2分，第二空3分）。13．若，則＝56．解：由，得4n﹣3+3n+2＝20，或4n﹣3＝3n+2，則n＝3，或n＝5．當n＝3時，＝；當n＝5時，．故答案為：56．14．已知函數(shù)，則＝1．解：由已知，∴．∴．∴．∴．故答案為：1．15．已知f（x）＝（2x﹣1）2021＝a0+a1x+a2x2+?+a2021x2021，則a1+a2+a3+?+a2021＝2；a1+2a2+3a3+?+2021a2021＝4042；．解：∵f（x）＝（2x﹣1）2021＝a0+a1x+a2x2+?+a2021x2021，則令x＝0，可得a0＝﹣1，再令x＝1，可得﹣1+a1+a2+a3+?+a2021＝1，∴a1+a2+a3+?+a2021＝2．∵f′（x）＝2021×2×（2x﹣1）2020＝a1+2a2x+?+2021a2021x2020，令x＝1，可得a1+2a2+3a3+?+2021a2021＝4042，故答案為：2，4042．16．已知關于x的方程ln2x+mxlnx﹣2m2x2＝0有3個不等的實數(shù)根，則m的取值范圍是．解：由ln2x+mxlnx﹣2m2x2＝0得（lnx+2mx）（lnx﹣mx）＝0，則lnx＝﹣2mx或lnx＝mx，即或，設，依題意，函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝﹣2m及y＝m共有三個交點，由得，，易得函數(shù)f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）單調(diào)遞減，且f（x）max＝，x→0時，f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→0，作出函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示，由圖可知，當或時滿足題意，即或．故答案為：．四、解答題（本大題共6個小題，滿分70分。解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟）17．（1）計算；（2）設復數(shù)z1＝2+ai，z2＝b﹣4i．（其中a，b∈R），若是純虛數(shù)，且z1+z2在復平面內(nèi)對應的點在直線x+y﹣1＝0上，求|z1z2|．解：（1）∵＝＝＝i，i4＝1，∴＝i2021＝（i4）505?i＝i，∴＝i+（2﹣3i+8i﹣12i2）＝14+6i…（2）因為是純虛數(shù)，所以，即b＝2a，又因為z1+z2＝（2+b）+（a﹣4）i＝（2+2a）+（a﹣4）i，所以z1+z2在復平面內(nèi)對應的點為（2+2a，a﹣4），所以2+2a+a﹣4﹣1＝0得a＝1，b＝2…因為z1z2＝（2+i）（2﹣4i）＝8﹣6i，所以|z1z2|＝＝10…18．現(xiàn)有編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6個不同的小球．（1）若將這些小球排成一排，則有多少種不同的排法？（請用數(shù)字作答）（2）若將這些小球排成一排，且A，B，C三個小球各不相鄰，則有多少種不同的排法？（請用數(shù)字作答）（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（請用數(shù)字作答）解：（1）根據(jù)題意，將6個不同的小球排成一排，有A66＝720種不同的排法；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將D、E、F三個小球排好，有A33＝6種排法，②DEF排好后，有4個空位，在其中任選3個，安排ABC三個小球，有A43＝24種排法，則有6×24＝144種不同的排法；（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6個小球分為3組，若分為2、2、2的三組，有種分組方法，若分為3、2、1的三組，有C61C52C33種分組方法，若分為4、1、1的三組，有C64種分組方法，則有（+C61C52C33+C64）種分組方法，②將分好的三組小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，有A33＝6種情況，則有（+C61C52C33+C64）A33＝540種放法．19．已知在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點．（1）求證；BQ∥平面PAD；（2）若PD＝1，BC＝，BC⊥BD，求銳二面角Q﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：取PD的中點為G，分別連接AG，QG，又因為Q為PC的中點，所以GQ∥DC，且又因為AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四邊形ABQG是平行四邊形，所以BQ∥AG又BQ?平面PAD，AG?平面PAD，所以BQ∥平面PAD．…（2）解：由DA，DC，DP三條直線兩兩相互垂直．以DA，DC，DP分別為z軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，因為在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，DC＝2AB，所以點B在線段CD的垂直平分線上．又因為，所以所以有點D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），Q，所以設平面BDQ的一個法向量，則，令z＝2，得，易知平面BCD的一個法向量為，…因為，所以，…所以銳二面角Q﹣BD﹣C的余弦值為．…20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為g（m），求g（m）的表達式．解：（1）由題意，f′（x）＝x2﹣（m+1）x≥0在[2，+∞）恒成立，∴m+1≤x恒成立，∴m+1≤2，∴m≤1．（2）∵f′（x）＝x[x﹣（m+1）]，當m+1≤2時，即m≤1時，f（x）在區(qū)間[2，3]上遞增，∴，當2＜m+1＜3時，即1＜m＜2時，f（x）在區(qū)間[2，m+1]上遞減，在區(qū)間[m+1，3]上遞增，∴，當m+1≥3時，即m≥2時，f（x）在區(qū)間[2，3]上遞減，∴，綜上，．21．已知梯形BFEC如圖1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，沿AD將四邊形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體．（1）求證：平面AEC⊥平面BDE；（2）求點F到平面ABE的距離；（3）若點H在線段BD上，且EH與平面BEF所成角的正弦值為，求線段DH的長度．【解答】（1）證明：∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE?平面EDAF，平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，∴DE⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴DE⊥AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE、BD?平面BDE，DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE∵AC?平面ACE，∴平面AEC⊥平面BDE…（2）解：過點F作FG⊥AE于點G，因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，又FG?平面ADEF，所以AB⊥FG，又AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以FG⊥平面ABE，所以線段FG的長即為點F到平面ABE的距離