和差化積、積化和差、萬能公式

正、余弦和差化積公式之南宮幫珍創(chuàng)作指高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式sina+sinB=2sin[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]sina-sinB=2cos[(a+B)/2]?sin[(a-B)/2]cosa+cosB=2cos[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]cosa-cosB=-2sin[(a+B)/2]?sin[(a-B)/2]【注意右式前的負(fù)號】以上四組公式可以由積化和差公式推導(dǎo)得到證明過程sina+sinB=2sin[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]的證明過程因?yàn)閟in(a+B)=sinacosB+cosasinB,sin(a-B)=sinacosB-cosasinB,將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin(a+B)+sin(a-B)=2sinacosB,設(shè)a+B=0,a-B=6那么a=(0+6)/2,B=(0-6)/2把a(bǔ),B的值代入，即得sin9+sin6=2sin[(0+6)/2]cos[(。-。)/2]編輯本段正切的和差化積tana±tanB=sin(a±B)/(cosa?cosB)(附證明)cota±cotB=sin(B±a)/(sina?sinB)tana+cotB=cos(a-B)/(cosa?sinB)tana-cotB=—cos(a+B)/(cosa?sinB)證明：左邊二tana±tanB=sina/cosa±sinB/cosB二(sina?cosB±cosa?sinB)/(cosa?cosB)二sin(a±B)/(cosa?cosB)二右邊???等式成立編輯本段注意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦反之亦然生動的口訣：(和差化積)帥+帥二帥哥帥-帥二哥帥咕+咕二咕咕哥-哥二負(fù)嫂嫂反之亦然編輯本段記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡單記憶方法。結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是［-1,1］，其積的值域也應(yīng)該是［-1,1］，而和差的值域卻是［-2,2］，因此乘以2是必須的。也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：cos(a-B)—cos(a+B)二［(cosacosB+sinasinB)-(cosacosB-sinasinB)］=2sinasinB故最后需要乘以2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都分歧，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡下去了。乘積項(xiàng)中的角要除以2在和差化積公式的證明中，必須先把a(bǔ)和B暗示成兩角和差的形式，才干夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等于a和B,這兩個角應(yīng)該是(a+B)/2和(a-B)/2,也就是乘積項(xiàng)中角的形式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置分歧；而只有和差化積公式中有“乘以2”。使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”"-8)/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積;正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。(&-8)/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時，以cos(a-B)/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin(a-B)/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么a和B調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就是若把(&-8)/2替換為(B-a)/2,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而(a-B)/2的形式是cos(a-B)/2；另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫忙這種情況的判定，如(0,兀]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)a大于B時，cosa小于cosB。但是這時對應(yīng)的(a+B)/2和(a-B)/2在(0,n)的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0,所以要么反過來把cosB放到cosa前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。積化和差公式sinasinB=[cos(a-B)-cos(a+B)]/2(注意:此時差的余弦在和的余弦前面)或?qū)懽鳎簊inasinB=-[cos(a+B)-cos(a-B)]/2(注意：此時公式前有負(fù)號)cosacosB=[cos(a-B)+cos(a+B)]/2sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)]/2cosasinB=[sin(a+B)-sin(a—B)]/2編輯本段證明積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：sinasinB=T/2[-2sinasinB]=T/2[(cosacosB-sinasinB)-(cosacosB+sinasinB)]=T/2[cos(a+B)-cos(a-B)]其他的3個式子也是相同的證明方法。(拜見和差化積)編輯本段作用積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。運(yùn)算過程：將兩個數(shù)通過乘、除10的方冪化為。到1之間的數(shù)，通過查表求出對應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10力*sinasinB的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數(shù)取代。編輯本段記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡單記憶方法。結(jié)果除以2這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是［-1,1］，其和差的值域應(yīng)該是［-2,2］，而積的值域確是［-1,1］，因此除以2是必須的。也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：cos(a-B)-cos(a+B)二(cosacosB+sinasinB)-(cosacosB-sinasinB)=2sinasinB故最后需要除以2。使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都分歧，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯的一項(xiàng)。規(guī)律為：“小角”8以cosB的形式出現(xiàn)時，乘積化為和；反之，則乘積化為差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cosB,那么若把B替換為-B,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a+B和a-B的兩項(xiàng)調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說明。正弦-正弦積公式中的順序相反/負(fù)號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫忙這種情況的判定，如[0,n]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以cos(a+B)不大于cos(a-B)。但是這時對應(yīng)的a和B在[0,n]的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0，所以要么反過來把cos(a-B)放到cos(a+B)前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。萬能公式【詞語】：萬能公式【釋義】：應(yīng)用公式sina=[2tan(a/2)]/{1+[tan(a/2)r2}cosa=[1-tan(a/2廠2]/{1+[tan(a/2)-2}tana=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)「2}將sina、cosa、tana代換成tan(a/2)的式子，這種代換稱為萬能置換?！就茖?dǎo)】：(字符版)sina=2sin(a/2)cos(a/2)=[2sin(a/2)cos(a/2)]/[sin(a/2廠2+cos(a/2廠2]=[2tan(a