北京市懷柔區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2012—2013學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．（5分）若,則等于（）A．B．2C．D．3考點(diǎn)：空間向量的夾角與距離求解公式．專題:空間向量及應(yīng)用．分析：利用向量模的計(jì)算公式即可得出．解答：解:由═=．故選C．點(diǎn)評:熟練掌握向量模的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．2．（5分)(2011?懷柔區(qū)一模）復(fù)數(shù)=（）A．﹣iB．﹣1C．iD．1考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題:計(jì)算題．分析:復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式即可得到選項(xiàng)．解答：解:復(fù)數(shù)===i．故選C．點(diǎn)評:本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，注意共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力．3．(5分）函數(shù)y=x2+1的極值點(diǎn)為（）A．﹣2B．0C．1D．2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)所給的函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，求出對應(yīng)的x的值，這里不用檢驗(yàn)，極值點(diǎn)一定存在．解答：解：∵函數(shù)y=x2+1，∴y′=2x令函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0,得到x=0，即函數(shù)的極值點(diǎn)是0，故選B．點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，本題解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),使得導(dǎo)函數(shù)等于0，求出結(jié)果，要檢驗(yàn)點(diǎn)的兩端的導(dǎo)函數(shù)的符號．4．（5分)（2011?懷柔區(qū)一模）若=（1，2，﹣3)，=（2,a﹣1，a2﹣），則“a=1"是“⊥"的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；充要條件．專題:計(jì)算題．分析:利用向量垂直的充要條件，列出方程求出向量垂直的充要條件，判斷出前者成立是否能推出后者，后者成立是否能推出前者，根據(jù)充要條件的定義得到結(jié)論．解答：解:∵???∴的充分不必要條件故選A．點(diǎn)評：解決向量垂直的充要條件一般利用數(shù)量積為0；對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和為0．5．(5分)曲線f(x)=x2+3x在點(diǎn)P（1，4）處的切線方程為（）A．5x+y﹣1=0B．5x﹣y﹣1=0C．5x﹣y+1=0D．5x+y+1=0考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由求導(dǎo)公式和法則求出導(dǎo)數(shù)，再求出f′(1），再代入點(diǎn)斜式方程化為一般式即可．解答：解：由題意得,f′（x）=2x+3，則f′（1）=5，∴在點(diǎn)P（1,4）處的切線方程為：y﹣4=5（x﹣1），即5x﹣y+1=0，故選B．點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人,并將選出的5人排成一排，則不同的排法共有（）A．2400種B．24400種C．1400種D．14400種考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：先選出5人,再進(jìn)行全排，利用分步計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論．解答：解：從4名男生中選出2人，有=6種結(jié)果，從6名女生中選出3人，有=20種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知選出5人，再把這5個(gè)人進(jìn)行排列共有6×20×=14400故選D．點(diǎn)評：本題考查分步計(jì)數(shù)原理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若函數(shù)在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是(）A．［1，+∞)B．［0，1］C．(﹣∞,0]D．［2，+∞）考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由題意可得f′(x)≤0在（2，3）上恒成立．令g(x）=x2﹣2kx+(2k﹣1），則,解出即可．解答：解：f′（x)=x2﹣2kx+（2k﹣1），∵函數(shù)在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù),∴f′(x）≤0在（2，3）上恒成立．即x2﹣2kx+（2k﹣1）≤0在（2,3）上恒成立．令g（x)=x2﹣2kx+（2k﹣1）,則，解得k≥2．故選D．點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（5分）如圖，用長為90,寬為48的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的長方體容器,先在四角分別截去都是相同的一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成，當(dāng)長方體容器的容積為最大時(shí)，其高為(）A．10B．30C．36D．10或36考點(diǎn):函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；基本不等式．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：設(shè)長方體的高為x，表示出長方體容器的容積，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求解．解答：解：由題意，設(shè)長方體的高為x，則長方體底面的長和寬分別是：90﹣2x和48﹣2x，（0＜x＜24）所以長方體的底面積為：（90﹣2x）(48﹣2x)所以長方體容器的容積為V=x（90﹣2x）(48﹣2x）=4x3﹣276x2+4320x∴V′=12x2﹣552x+4320=12（x﹣36)（x﹣10）∴函數(shù)在（0，10）上單調(diào)遞增，在（10，24)上單調(diào)遞減∴當(dāng)x=10時(shí),容積最大，最大是V=19600cm3,故選A．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每題5分,共20分.9．（5分）=105．考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用組合數(shù)性質(zhì)及其計(jì)算公式即可得出．解答:解：=105．故答案為105．點(diǎn)評：熟練掌握組合數(shù)性質(zhì)及其計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．10．(5分）函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)是．考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．專題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則就看得出．解答:解：∵y=，∴．故答案為．點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．11．（5分）從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概是．考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．專題:概率與統(tǒng)計(jì)．分析:先求出所取的3個(gè)球中沒有白球的概，再用1減去它，即得所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率．解答：解：所有的取法共有=10種，而沒有白球的取法只有一種,故所取的3個(gè)球中沒有白球的概率是，故所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概是1﹣=，故答案為．點(diǎn)評:本題主要考查等可能事件的概率，古典概型和對立事件，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率．12．（5分）隨機(jī)變量X的分布列為:X012P則EX=，DX=．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)條件中所給的分布列,寫出變量的期望值所用的表示式，得到結(jié)果，根據(jù)前面做出的期望值，寫出方差的表示式，得到結(jié)果．解答：解:根據(jù)分布列所給的數(shù)據(jù)，得到EX=DX==,故答案為：;點(diǎn)評：本題考查求變量的期望值和方差，本題解題的關(guān)鍵是條件中給出分布列，這樣題目的運(yùn)算量就少了一大部分．13．（5分）若二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于256,則展開式中含x3的項(xiàng)為﹣16x3．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n=256,求得n=8．在展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3,求得r的值，即可求得展開式中含x3的項(xiàng)．解答:解:由于二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n=256，∴n=8．展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=??(﹣2）r?=（﹣2）r??,令=3,求得r=1，故展開式中含x3的項(xiàng)為﹣2??x3=﹣16x3,故答案為﹣16x3．點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．14．(5分）在北京舉辦的第七屆中國花博會期間，某展區(qū)用同樣的花盆擺成了若干如下圖所示的圖案，中第①個(gè)圖案只一個(gè)花盆；第②個(gè),第③個(gè)，…的圖案分別按圖所示的方式固定擺放．從第①個(gè)圖案的第一個(gè)花盆開始,以后每一個(gè)圖案的花盆都自然擺放在它們的周圍，若以an表示第n個(gè)圖案的花盆總數(shù)，則a3=19；an=3n2﹣3n+1(答案用n表示）．考點(diǎn)：歸納推理．專題:規(guī)律型．分析：觀察圖形很容易看出第一個(gè)圖象由一盆花,第二個(gè)圖形比第一個(gè)圖形多放了6盆，第三個(gè)圖形比第二個(gè)圖形多放了2×6盆,可得后面圖形花盆數(shù)前面圖形花盆數(shù)存在關(guān)系，an﹣an﹣1=6×（n﹣1),利用累加法可得答案．解答：解：由圖知a1=1a2﹣a1=6=6×（2﹣1），a3﹣a2=12=6×（3﹣1），…an﹣an﹣1=6×（n﹣1），∴an=1+6+12+…+6×（n﹣1）=1+=3n2﹣3n+1∴a3=19故答案為19,3n2﹣3n+1點(diǎn)評：本題是一道找規(guī)律的題目，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．三、解答題:本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖,在空間直角坐標(biāo)系xoy中，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E1在A1B1上，F(xiàn)1在C1D1上，且B1E1=D1F1=（Ⅰ）求向量,的坐標(biāo)；（Ⅱ）求BE1與DF1所成的角的余弦值．考點(diǎn):異面直線及其所成的角；空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．專題：計(jì)算題．分析：(Ⅰ)由題意可得點(diǎn)得B，E1,D,F1的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得,的坐標(biāo)；（Ⅱ）由（Ⅰ）所得的，與的坐標(biāo)，由夾角公式可得這兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得所求．解答：解：（Ⅰ）由題意可得B（1，1，0），E1(1,，1），D(0，0,0)，F(xiàn)1（0，，故，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）(Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,∴,,，所以,故BE1與DF1所成的角的余弦值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分)點(diǎn)評:本題考查異面直線所成的角,涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬中檔題．16．(13分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為，投中得1分，投不中得0分．（Ⅰ)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人都沒有投中的概率的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和X的數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題:計(jì)算題．分析:(I）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，兩個(gè)人都沒有投中的概率等于兩個(gè)人投不中的概率的乘積．（II）根據(jù)題意看出變量的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量對應(yīng)的概率,利用期望值公式得到結(jié)果．解答：解：（Ⅰ）依題意，甲、乙兩人在罰球線各投球一次，兩人都沒有投中的概率為．（Ⅱ)X的可能取值為0,1，2.；；所以．點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，本題解題的關(guān)鍵是看出變量對應(yīng)的事件，結(jié)合事件得到概率．17．（13分）已知函數(shù)f（x)=x3+ax2+bx+c，當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）的極大值為7;當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．求:（1）a,b，c的值；（2）函數(shù)f（x）的極小值．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)解析式的求解及常用方法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：計(jì)算題．分析:（1)因?yàn)楫?dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時(shí),f（x）有極小值,所以把x=﹣1和3代入導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，再根據(jù)極大值等于7,又得到一個(gè)關(guān)于a,b，c的等式，三個(gè)等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值．（2）因?yàn)楹瘮?shù)再x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數(shù),求出的函數(shù)值即為函數(shù)的極小值．解答：解：（1）∴f（x）=x3+ax2+bx+c∵f’（x）=3x2+2ax+b而x=﹣1和x=3是極值點(diǎn)，所以解之得：a=﹣3,b=﹣9又f(﹣1）=﹣1+a﹣b+c=﹣1﹣3+9+c=7,故得c=2(2）由(1）可知f(x）=x3﹣3x2﹣9x+2而x=3是它的極小值點(diǎn),所以函數(shù)f（x）的極小值為﹣25．點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時(shí)要細(xì)心．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題，常見題型18．(13分）如圖，李先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1、L2兩條路線，L1路線上有A1、A2、A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1、B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．(1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（2）若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;（3）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．考點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型;離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1)利用二項(xiàng)分布即可得出;（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式即可得出；（3）由于走路線L1時(shí)服從二項(xiàng)分布即可得出期望，比較走兩條路的數(shù)學(xué)期望的大小即可得出要選擇的路線．解答：解:（1）設(shè)“走L1路線最多遇到1次紅燈”為事件A，包括沒有遇到紅燈和只遇到紅燈一次兩種情況．則,所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為．（2）依題意，X的可能取值為0，1，2．，，．隨機(jī)變量X的分布列為:X012P所以．（3）設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為Y,隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y~，所以．因?yàn)镋X＜EY，所以選擇L2路線上班最好．點(diǎn)評:熟練掌握二項(xiàng)分布列、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．19．（14分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E,F分別是線段AB．BC的中點(diǎn)．（Ⅰ)證明:PF⊥FD；（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD？若存在，請找出點(diǎn)G的位置并加以說明；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角;直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：空間位置關(guān)系與距離;空間角．分析：（I）連接AF,證明DF⊥平面PAF，即可證明PF⊥FD；（Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，確定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；（Ⅲ)解法1:利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用,可得結(jié)論；解法2：幾何法，利用面面平行，可得結(jié)論．解答：（Ⅰ）證明：連接AF,則，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A,∴DF⊥平面PAF∵PF?平面PAF，∴DF⊥PF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）(Ⅱ）解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，以A（0，0，0),B（1,0，0）,F（1，1，0），D（0,2，0），P（0，0，1）．所以,設(shè)平面PFD的法向量為，由得，令x=1，解得:y=1，z=2,所以．又因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，易得，所以．由圖知,所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）(Ⅲ）解法1：在棱PA上存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD．設(shè)點(diǎn)P（0，0，a），G（0，0，b)，則,因?yàn)?，則．設(shè)平面PFD的法向量為,由得,令x=1，解得：，所以．令得，即，所以．從而滿足的點(diǎn)G為所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法2：過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H,則．再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G,則，∴平面EHG∥平面PFD,∴EG∥PFD．從而滿足的點(diǎn)G為所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）點(diǎn)評:本題考查線面垂直，考查面面角，考查線面平行,考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ax﹣+b﹣（