“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議

-遠(yuǎn)程培訓(xùn)課程資源-遠(yuǎn)程培訓(xùn)課程資源？小學(xué)數(shù)學(xué)?#而實(shí)驗(yàn)中，要使摸球的頻率剛好是4(8)的可能性并不大。但是如果取一個(gè)5 10范圍，比如在-和-之間，此時(shí)頻率落在這個(gè)范圍內(nèi)，用它去進(jìn)行估計(jì)是可以1010接受的。如果要使摸出白球的頻率落在這個(gè)范圍之間的可能性達(dá)到 80%的話，通過計(jì)算只要做27次左右的實(shí)驗(yàn)；如果要使95%的可能性落在這個(gè)范圍內(nèi)的話，摸球的次數(shù)要增加，大概是60次左右。所以，實(shí)際上有相當(dāng)多的科學(xué)依據(jù)在后邊支撐著我們做類似摸球的試驗(yàn)。也就是雖然不能保證估計(jì)得完全一致，但能保證在一定實(shí)驗(yàn)次數(shù)下，估計(jì)值與實(shí)際情況相差不大的可能性是很大的。▼問：聽了您的解釋挺有啟發(fā)的。是不是雖然不能達(dá)到 100%勺精確，但無論實(shí)際情況需要多高的精確度，都可以計(jì)算出需要做多少次實(shí)驗(yàn)來保證達(dá)到這個(gè)精確度？▲史教授：是這樣的。因此，我們可以提供一些數(shù)據(jù)，如果想達(dá)到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社會(huì)上通過打電話做民意調(diào)查，不可能給所有擁有電話的人都打，如果調(diào)查允許在一定的誤差范圍內(nèi)，通過計(jì)算可以提供至少需要打電話的數(shù)量。當(dāng)然計(jì)算中需要概率的知識(shí)，從這些例子中我們也能看到統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系。▼問：通過上面的兩種教法和您的分析，我們可以感覺到概率是定義出來的，它的推理方式是主要是演繹；而統(tǒng)計(jì)是用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷，它的推理方式主要是歸納。兩種思維方式是不一樣的?！方淌冢菏沁@樣的。統(tǒng)計(jì)體現(xiàn)了與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不一樣的思路，而這種思路是培養(yǎng)學(xué)生歸納能力的最好方法之一。在義務(wù)教育階段，也有一些素材可以讓學(xué)生經(jīng)歷歸納的過程，比如歸納一些公式和規(guī)律，但這些公式和規(guī)律往往都是準(zhǔn)備好了的。很難找到讓學(xué)生真正通過歸納自己得到結(jié)論的素材， 但是通過統(tǒng)計(jì)可以讓學(xué)生做一些，所以說，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中部分推斷整體是培養(yǎng)學(xué)生歸納的很好內(nèi)容。▼問：您對(duì)歸納能力非常重視，能說說為什么嗎？▲史教授：歸納能力和演繹能力都很重要。演繹是由一般到特殊，用于證明結(jié)論的正確性，這在數(shù)學(xué)中是重要的。而歸納是由特殊到一般，或者說是由一個(gè)范圍中的結(jié)論推斷更大范圍中的結(jié)論，這往往導(dǎo)致了創(chuàng)新。我想培養(yǎng)我們的學(xué)生學(xué)得靈活一些，有一些創(chuàng)新。培養(yǎng)學(xué)生靈活、創(chuàng)新，不僅僅是把數(shù)學(xué)中的例子生活化就夠了，而是要培養(yǎng)學(xué)生去嘗試發(fā)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)從個(gè)別的現(xiàn)象去了解整體，這可以鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論。當(dāng)然，利用數(shù)據(jù)分析來體現(xiàn)隨機(jī)性，這樣做的可行性以及如何去做，都需要經(jīng)過教學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過廣大教師的實(shí)踐和研究。無論如何，要使學(xué)生“喜歡”數(shù)據(jù)而不是害怕它。三、使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)據(jù)的親切感▼問：正如您所說的，要讓學(xué)生愿意親近數(shù)據(jù)，就必須使他們體會(huì)到數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的，就象摸球的例子一樣。除了這種游戲，您還能再舉出一些這樣的例子嗎？▲史教授：除了游戲以外，生活中有大量需要通過分析數(shù)據(jù)獲取信息的例子。比如，要設(shè)計(jì)校服，就需要調(diào)查同學(xué)們的身高等情況。當(dāng)把調(diào)查出來的數(shù)據(jù)匯總后，我們就需要分析數(shù)據(jù)提取信息。一提到分析數(shù)據(jù)，老師們馬上就讓學(xué)生計(jì)算平均數(shù)，其實(shí)平均數(shù)不是唯一的也不是萬能的。這里，有這么幾個(gè)信息是很重要的，比如學(xué)生可能首先關(guān)注這些數(shù)據(jù)中最大的是多少、 最小的是多少，有了這兩個(gè)數(shù)就把數(shù)據(jù)的范圍定了下來。接著，學(xué)生就可能會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)按段進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出在各個(gè)身高段的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)在哪個(gè)身高段的人數(shù)最多（眾數(shù)的意義） ，中等水平學(xué)生的身高是多少（中位數(shù)的意義），當(dāng)然也可以計(jì)算平均身高。還可以把自己的身高與班級(jí)的身高進(jìn)行比較，看看自己處在什么位置上。所以這里有很多信息可以獲得，不一定一開始就忙于去計(jì)算。開始提取的信息可以是不基于計(jì)算的信息，只是基于關(guān)系（最多、最少等）的信息，這個(gè)是非常必要的。再舉一個(gè)例子，人們往往調(diào)查每天賣出最多的菜是什么，然后以這個(gè)菜價(jià)格的變化來判斷蔬菜價(jià)格是否有所變化了。問：我想如果學(xué)生這種活動(dòng)從事多了，不斷地獲取信息，就會(huì)逐漸“親近”數(shù)據(jù)，也會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)感興趣。因此，我們的教學(xué)是不是應(yīng)該首先讓學(xué)生不懼怕數(shù)據(jù)，喜歡數(shù)據(jù)，然后再合理的運(yùn)用和分析數(shù)據(jù)?！方淌冢何蚁?，孩子不對(duì)這件事情感興趣是不行的，所以我們教學(xué)很重要的是培養(yǎng)孩子們對(duì)于數(shù)據(jù)的感情，使他們知道通過數(shù)據(jù)能夠幫助人們做點(diǎn)事，通過數(shù)據(jù)判斷比瞎猜好，而這個(gè)數(shù)據(jù)自己也能夠得到。▼問：剛才提到了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，它們都是刻畫一組數(shù)據(jù)集中情況的統(tǒng)計(jì)量。老師們非常困惑的問題，這三個(gè)量之間到底有什么區(qū)別，什么時(shí)候該用什么統(tǒng)計(jì)量？▲史教授：我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對(duì)稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時(shí)候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的（如下圖）。只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對(duì)稱）的情況下，才會(huì)出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴(yán)重的話，可以用中位數(shù)。▼問：有的書上寫道：平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響（數(shù)據(jù)偏到一面去了），是不是就是這個(gè)意思呢？在有極端數(shù)據(jù)的時(shí)候是不是一定要用中位數(shù)？▲史教授：平均數(shù)是容易受極端數(shù)據(jù)的影響，但是這種情況下不一定非要用中位數(shù)。其實(shí)，用中位數(shù)的情況并不多。那么，出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)怎么辦呢？一般認(rèn)為這個(gè)數(shù)據(jù)不是來源于這個(gè)總體，統(tǒng)計(jì)上有一個(gè)方法，就要把這個(gè)數(shù)據(jù)去掉。比如大家熟悉的跳水比賽評(píng)分，為什么要去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分呢，就認(rèn)為這兩個(gè)分不是來源于這個(gè)總體，不能代表裁判正常的鑒賞力。于是去掉以后再求剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)。▼問：看來，平均數(shù)還是經(jīng)常使用的刻畫數(shù)據(jù)集中情況的統(tǒng)計(jì)量。 我想它為什么常用的原因是，與中位數(shù)和眾數(shù)相比，平均數(shù)能更多地利用所有數(shù)據(jù)的信息，另外它也好算。除此之外，在數(shù)學(xué)上還有什么其他原因嗎？▲史教授：假設(shè)我們得到了2個(gè)數(shù)據(jù)x、y，令a=x￡y為平均數(shù)，利用中學(xué)的知識(shí)就可以證明：a是與x、y這2個(gè)數(shù)據(jù)差的平方和達(dá)到最小的實(shí)數(shù)，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)b有(x-a)2(y-a)2三(x-b)2(y-b)2這個(gè)例子給出了在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)經(jīng)常使用平均數(shù)的理由： 使誤差平方和達(dá)到最小，也就是說利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。而利用中位數(shù)代表數(shù)據(jù)，是使一次損失（誤差絕對(duì)值的和）最小。而我們都知道，二次函數(shù)有著很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，而絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)不好，所以比較難研究。所以人們都選擇用平均數(shù)來進(jìn)行研究，在義務(wù)教育階段更加注重平均數(shù)的教學(xué)是有道理的。 但是現(xiàn)在平均數(shù)教學(xué)也存在著問題，比如有人做過調(diào)查，學(xué)生學(xué)習(xí)了平均數(shù)，會(huì)進(jìn)行計(jì)算，但是當(dāng)遇到真正的數(shù)據(jù)需要分析時(shí)，他們卻很少想到用平均數(shù)。所以說，又回到前面的話題，也是我們談話的中心，義務(wù)教育階段統(tǒng)計(jì)教學(xué)關(guān)鍵是發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念，使他們想到用數(shù)據(jù)，愿意用數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取一些信息。四、統(tǒng)計(jì)是關(guān)于數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)▼問：數(shù)據(jù)分析觀念中還有一條是：了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。也就是統(tǒng)計(jì)的這些方法沒有簡(jiǎn)單意義上的對(duì)和錯(cuò)，只有“好”和“不好”，您能具體說明一下嗎？▲史教授：很多事情都是這樣的。比如統(tǒng)計(jì)圖表，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，你往往可以用任意的統(tǒng)計(jì)圖表來表示。但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)，為了要表達(dá)一種信息、解決一個(gè)問題，用某些圖表會(huì)比較合適，也就是說比較“好”。比如，想表達(dá)某部分?jǐn)?shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中所占比例的情況，用扇形圖比較好；想比較各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系，用條形圖或直方圖比較好；如果數(shù)據(jù)是隨著時(shí)間而變化的話，想了解數(shù)據(jù)的變化情況，那么用折線圖比較好。這就是，同樣的數(shù)據(jù)，根據(jù)你希望研究的問題不同，應(yīng)該選擇用不同的方法。▼問：最近聽了一堂小學(xué)數(shù)學(xué)課，老師想講平均數(shù)。他給了學(xué)生兩組數(shù)據(jù)，一組數(shù)據(jù)是7個(gè)人每個(gè)人拍球的數(shù)量，一組數(shù)據(jù)是8個(gè)人每人拍球的數(shù)量。然后,老師提出問題：你覺得哪個(gè)小組拍的好。他的本意是希望學(xué)生意識(shí)到，因?yàn)槊拷M排球的總數(shù)、每組的人數(shù)都不一樣，應(yīng)該比較兩組的平均數(shù)。但是學(xué)生卻想出了很多方法，比如有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)比較每組中排球最多的人所拍的數(shù)量， 哪個(gè)多哪組就好。您認(rèn)為這個(gè)學(xué)生的方法和平均數(shù)的方法哪個(gè)好呢？這里是不是取決于“好”的標(biāo)準(zhǔn)呢？▲史教授：你說得對(duì)。要判斷哪個(gè)組拍得好，首先得定義什么叫“好”。“好”的標(biāo)準(zhǔn)給研究的目的有關(guān)。如果是提倡全民運(yùn)動(dòng)的話，當(dāng)然大家平均下來都拍得多比較好；如果目的是選拔拔尖學(xué)生的話，當(dāng)然哪組有人排的最多就好。所要研究的問題、要達(dá)到的目標(biāo)不同，選擇的方法也會(huì)不同。所以，我們把統(tǒng)計(jì)學(xué)稱為科學(xué)與藝術(shù)?？茖W(xué)是指在同樣的前提下每個(gè)人得到的結(jié)論都是一樣的； 藝術(shù)則不是，隨著個(gè)人鑒賞力的不同，得到的結(jié)論是不一樣的。統(tǒng)計(jì)學(xué)有其科學(xué)的一方面，但是也有藝術(shù)的一方面，就是說每個(gè)人的目的不一樣、每個(gè)人的鑒賞力不一樣，他就可以選擇不同的方法、得到不同的結(jié)論。所以，我認(rèn)為把統(tǒng)計(jì)學(xué)定義為科學(xué)和藝術(shù)是比較合適的。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的“鑒賞力”，就要幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)不一樣，知識(shí)有可能教了就會(huì)，但經(jīng)驗(yàn)是需要日積月累的。▼問：最后，您能對(duì)廣大教師從事統(tǒng)計(jì)教學(xué)提出一些建議嗎？▲史教授：統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在中國中小學(xué)課程中出現(xiàn)的時(shí)間并不長(zhǎng)，甚至在大學(xué)里統(tǒng)計(jì)課程也還不完善。因此，我們的老師對(duì)很多內(nèi)容的理解不很深刻，這是很正常的，不要懼怕。在這個(gè)前提下，老師們可以逐步讀一些書，讀一些統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的書。無論是自己讀書學(xué)習(xí)，還是在教學(xué)中，都要抓住一個(gè)核心一一數(shù)據(jù)分析，即如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，來對(duì)我們所要研究的問題進(jìn)