11三次函數(shù)-解析版

第11講三次函數(shù)知識與方法1．單調(diào)性當(dāng)時，三次函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)時，三次函數(shù)在上有3個單調(diào)區(qū)間．證明：∴當(dāng)時，與x軸無交點或有一個交點，或恒成立，原函數(shù)單調(diào)．當(dāng)時，與x軸有兩個交點，原函數(shù)有3個單調(diào)區(qū)間．2．對稱中心三次函數(shù)是關(guān)于點對稱的，且對稱中心為點，此點的橫坐標是其導(dǎo)函數(shù)極值點的橫坐標．證明：只需證明常數(shù)，即可．3．三次函數(shù)圖象的切線條數(shù)過（）的對稱中心作切線l，則坐標平面被切線l和函數(shù)的圖象分割為四個區(qū)域，有以下結(jié)論：①過區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)的點作的切線，有且僅有三條；②過區(qū)域Ⅱ、Ⅳ內(nèi)的點以及對稱中心作的切線，有且僅有一條；③過切線l或函數(shù)圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有兩條．切線條數(shù)口訣：內(nèi)一、上二、外三．典型例題【例1】已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】【解法1】若直線與曲線切于點，則．∵，∴，∴，∴，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，【解法1】由大招結(jié)論，的中心對稱點為，過點A的切線方程為．點在曲線上，根據(jù)切線條數(shù)口訣：內(nèi)一、上二、外三．P與曲線有2條切線．【答案】C．【例2】對于三次函數(shù)，定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．有機智的同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何三次函數(shù)都有‘拐點’；任何三次函數(shù)都有對稱中心，且‘拐點’就是對稱中心”．請你將這一機智的發(fā)現(xiàn)作為條件，求：（1）函數(shù)的圖象對稱中心為______；（2）若函數(shù)，則______．【解析】依題意得：，∴．由，即．∴，又∵，∴函數(shù)的圖象對稱中心為．（2）依題意，設(shè)，得：，∴．由，即．∴，又∵，∴函數(shù)對稱中心為，．所以．【答案】（1）；（2）2015．【例3】已知過第二象限內(nèi)的點能且只能向函數(shù)（t為給定的正常數(shù)）的圖象作兩條切線，則的最小值為（）A． B． C．D． 【解析】【解法1】設(shè)切點為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的方程為，代入點，可得，即有，設(shè)，，由，解得或，，可得為極小值點，為極大值點，由題意可得，，即有，表示以O(shè)為端點在第二象限的射線，表示點與兩點的距離的平方，由點到射線的距離為，則的最小值為．故選A．方法2：，，，令，得．所以對稱中心為，，在O點切線方程為．根據(jù)“內(nèi)一上二外三”，點位于第二象限中，而且在三次函數(shù)上或者過原點的切線上．所以表示點與兩點的距離的平方，由點到射線的距離為，則的最小值為．故選A．【例4】已知函數(shù)．（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問過點，，分別存在幾條直線與曲線相切?（只需寫出結(jié)論）【解析】（1）由得，令，得或，∵，，，，∴在區(qū)間上的最大值為．（2）【解法1】設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，∴切線方程為，∴，即，設(shè)，則“過點存在3條直線與曲線相切”，等價于“有3個不同的零點”．∵，∴與變化情況如下：x01+0―0+↗↘↗∴是的極大值，是的極小值．當(dāng)，即時，在區(qū)間和上分別至多有一個零點，故至多有2個零點．當(dāng)，即時，在區(qū)間和上分別至多有一個零點，故至多有2個零點．當(dāng)且，即時，∵，，∴分別在區(qū)間和以及上恰有1個零點，由于在區(qū)間和上單調(diào)，故分別在區(qū)間和上恰有1個零點．綜上所述，當(dāng)過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是．【解法2】（此大招可快速秒答案，但考試還是建議普通方法）顯然函數(shù)的對稱中心為，而，故切線為，當(dāng)時，，而，故t的取值范圍是．（3）過點存在3條直線與曲線相切；過點存在2條直線與曲線相切；過點存在1條直線與曲線相切．【例5】已知函數(shù)，其中，．（1）若存在，使得，證明：；（2）當(dāng)時，若存在個極值點，證明：．【解析】（1）設(shè)則，，其中為常數(shù)，根據(jù)題設(shè)知．因為，所以．（2）假設(shè)當(dāng)時，存在n個零點，設(shè)，，，為的n個零點，則，所以，，即，，因為，，，互不相等，且包含項，所以，所以，所以．當(dāng)時，若存在個極值點，即次函數(shù)存在個零點，所以，所以．強化訓(xùn)練1．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)【解析】，則稱點為函數(shù)的對稱中心（也稱為函數(shù)的拐點），若，則的圖象的對稱中心為______．【解析】∵函數(shù)，∴，∴，令，解得，且，故函數(shù)的對稱中心為，【答案】．2．設(shè)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象是經(jīng)過點，開口向上的拋物線，如圖所示．（1）求的解析式；（2）若，且過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由圖象可知，在上，在上．在上．故在上遞增，在上遞減．因此在處取得極小值，∴，∵，∴，，∴，即，，即，∴，，，∴．（2）方法1：過點向曲線作切線，設(shè)切點為，則，，則切線方程為，將代入上式，整理得．∵過點可作曲線的三條切線，∴方程有三個不同實數(shù)根．記，，令，得或1，則x，，的變化情況如下表：x01+0―0+↗極大↘極小↗當(dāng)，有極大值；，有極小值，由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)即解得時函數(shù)有三個不同零點．此時過點A可作曲線的三條不同切線．故m的取值范圍是．方法2：顯然三次函數(shù)對稱中心為，而，故切線為，當(dāng)時，，而，故m的取值范圍是．3．設(shè)函數(shù)，其中，曲線在點處的切線方程為．（1）確定b，c的值；（2）設(shè)曲線在點及處的切線都過點．證明：當(dāng)時，；（3）若過點可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍．【解析】（1）由，得，，．又由曲線在點處的切線方程為，得，．故，．（2）證明：，，由于點處的切線方程為，而點在切線上，所以，化簡得．即t滿足的方程為．下面用反證法證明．假設(shè)，由于曲線在點及處的切線都過點，則下列等式成立：由③得，由①―②得④又，故由④得，此時與矛盾，所以．（3）方法1：由（2）知，過點可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根．設(shè)，則．由于，故有t0+0―0+↗極大值1↘極小值↗由的單調(diào)性知：當(dāng)且僅當(dāng)時，有三個相異的實根．即，∴a的取值范圍是．方法2：由于，故，，令，即，此時，而，故切線為，當(dāng)時，，即保證即可，即，故，即得到實數(shù)a的取值范圍是．4．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實數(shù)a，使得方程恰好有兩個實數(shù)根?若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1），令，得或．∵當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴的極小值為，極大值為．（2）方程恰好有兩個實數(shù)根，等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個交點．∵，∴．令，【解析】得或；令，解得．∴在上為減函數(shù)，在和上為增函數(shù)．∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴的大致圖象如圖所示．表示平行于x軸的一條直線，由圖象知，當(dāng)或時，與有兩個交點．故當(dāng)或時，方程恰好有兩個實數(shù)根．5．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標為．（1）求a；（2）證明：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點．【解析】（1），．曲線在點處的切線方程為．由題設(shè)得，所以．（2）由（1）知，設(shè)，由題設(shè)知．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實根．當(dāng)時，令，則．，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在沒有實根．綜上，在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．6．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，試討論是否存在，使得．【解析】（1），方程的判別式：．∴當(dāng)時，，∴，此時在上為增函數(shù)．當(dāng)時，方程的兩根為．當(dāng)時，，∴此時為增函數(shù)，當(dāng)時，，∴此時為減函數(shù)，當(dāng)時，，∴此時為增函數(shù)，綜上，時，在上為增函數(shù)當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，．的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）∴若存在，使得，必須在上有解，∵，∴，方程的兩根為：，∵，∴只能是，依題意，，即，∴，即，又由，得，故欲使?jié)M足題意的存在，則．∴當(dāng)時，存在唯一的滿足．當(dāng)時，不存在，使．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1?若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．【解析】（1）．令，得或．若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若，在單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在．（ⅰ）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即，．（ⅱ）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即，．（ⅲ）當(dāng)時，由（1）知，在的最小值為，最大值為b或．若，，則，與矛盾．若，，則或或，與矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時，在的最小值為，最大值為1．8．已知函數(shù)．（1）求曲線的斜率為1的切線方程；（2）當(dāng)時，求證：；（3）設(shè)（），記在區(qū)間上的最大值為．當(dāng)最小時，求a的值．【解析】（1）由得．令，即，得或．又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與．（2）令，．由得．令得或．，的情況如下：x04+―+↗0↘↗0所以的最小值為，最大值為0．故，即．（3）由（2）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，當(dāng)最小時，．9．設(shè)函數(shù)，a，b，，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，，求a的值；（2）若，，且和的零點均在集合中，求的極小值；（3）若，，，且的極大值為M，證明：．【解析】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為a，b，都在集合中，且，所以，，．此時，．令，得或．列表如下：x1+0―0+↗極大值↘極小值↗所以的極小值為．（3）因為，，所以，．因為，所以，則有2個不同的零點，設(shè)為，．由，得，．列表如下：x+0―0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值．【解法1】．因此．【解法2】因為，所以．當(dāng)時，．令，，則．令，得．列表如下：x+0―↗極大值↘所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．10．若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點．設(shè)函數(shù)．（1）若函數(shù)在在無極值點，求t的取值范圍；（2）證明：對任意實數(shù)t，函數(shù)的圖像總存在兩條切線相互平行；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖像存在的兩條平行切線之間的距離為4，求滿足此條件的平行切線共有幾組．【解析】（1），令，解得，，因為在上無極值點，所以，即t的取值范圍為．（2），取，則有，此時，且，因為，所以，所以，即，所以曲線在處與處的切線平行．（3）當(dāng)時，，，令，則，所以，所以：，所以，所以，的中點為，即點到處的切線距離為2，曲線在處的切線方程為，整理得，點到直線的距離，整理得，故符合設(shè)，，列表可知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，，所以存在及，使得，故，s，t均符合題意，所以滿足條件的平行切線共有三組．11．已知函數(shù)．（1）當(dāng)，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求的值；（3）當(dāng)時，若的【解析】集為，且中有且僅有一個整數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，則，令，解得，即的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）因為，所以，設(shè)，則恰好有兩個不同的零點，令，解得，由題意可知，只需即可，整理得，解得；（3）當(dāng)時，，則不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，因為，，，所以．12．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，如果對任意的，，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）．由，得或；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，則，，由（1）知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值．因為函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，所以解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．（3）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，故在區(qū)間上的最大值為．因為“對任意的，，都有成立”等價于“對任意，恒成立”．即當(dāng)時，恒成立，即恒成立．記，則有．