北航有限元第4講 等參元和高斯積分

第4講等參單元和數(shù)值積分金朝海jch666@北京航空航天大學實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。直接研究這些不規(guī)整單元的表達式比較困難（在整體坐標系下構(gòu)造位移插值函數(shù)，則計算形狀函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷列陣時十分冗繁）。事實上，形狀不規(guī)整的單元和形狀規(guī)整的單元（矩形單元、正六面體單元）可以建立一種映射關(guān)系，使得物理坐標系中的整體坐標和自然坐標系中的局部坐標一一對應(yīng)。等參單元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實際領(lǐng)域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。北京航空航天大學4.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑等參單元定義的給出平面問題四邊形等參單元計算公式三維問題六面體等參單元計算公式采用等參單元的優(yōu)點北京航空航天大學簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標系下進行單元分析（參看第3講內(nèi)容）途徑2：建立局部自然坐標系進行單元分析北京航空航天大學直角坐標系(x,y,z)極坐標(r,

)，2維球坐標系(r,θ,

)柱坐標系(

,

,z)自然坐標系關(guān)于坐標系北京航空航天大學自然坐標系:選軌跡上任一點O為原點用軌跡長度S描寫質(zhì)點位置OmS質(zhì)點沿切線前進方向的單位矢量為切向單位矢量(tangentialunitvector)

質(zhì)點與切向正交且指向軌跡曲線凹側(cè)的單位矢量為法向單位矢量(normalunitvector)

北京航空航天大學當點的運動軌跡已知時，通常采用自然法確定點的運動規(guī)律、速度、加速度。在自然坐標系中表示質(zhì)點速度，是非常簡單的，因為無論質(zhì)點處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。北京航空航天大學新途徑：建立局部自然坐標系進行單元分析坐標插值函數(shù)：局部自然坐標和整體直角坐標可以建立一種映射關(guān)系節(jié)點條件：xixj北京航空航天大學單元內(nèi)坐標由節(jié)點坐標插值表示局部坐標到物理坐標的變換北京航空航天大學單元位移函數(shù)：節(jié)點條件：北京航空航天大學觀察：單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。

形狀函數(shù)是用自然坐標給出的，表達式很簡單北京航空航天大學北京航空航天大學單元應(yīng)變能：單元剛度矩陣北京航空航天大學單元外力功等效節(jié)點力對于本例自然坐標系下的分析結(jié)果與整體直角坐標系下的分析結(jié)果完全相同。忽略單元間作用力北京航空航天大學等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示出單元的幾何坐標與位移的單元，稱為等參單元。如果坐標變換節(jié)點數(shù)多于位移插值的節(jié)點數(shù)，稱為超參變換。反之，如果坐標變換節(jié)點數(shù)少于位移插值的節(jié)點數(shù)，則稱為亞參變換。等參單元的插值函數(shù)用自然坐標給出。北京航空航天大學平面問題四邊形等參單元的推導整體直角坐標單元局部自然坐標（一般四邊形）（規(guī)格化的矩形）映射坐標映射北京航空航天大學映射節(jié)點條件：構(gòu)造插值函數(shù)北京航空航天大學北京航空航天大學北京航空航天大學節(jié)點條件：位移函數(shù)北京航空航天大學同理可得：北京航空航天大學北京航空航天大學單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。形狀函數(shù)用自然坐標給出。北京航空航天大學?北京航空航天大學偏導數(shù)變換雅可比矩陣：北京航空航天大學北京航空航天大學四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點

不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o的情況

內(nèi)角最好介于30o-150o之間（有限變形的情況）避免出現(xiàn)北京航空航天大學三維問題六面體等參單元的計算公式北京航空航天大學北京航空航天大學北京航空航天大學采用等參單元的優(yōu)點借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進行有限元離散。等參元的插值函數(shù)是用自然坐標給出的，等參元的一切計算都是在自然坐標系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進