《應用數(shù)學基礎上》課件第九章 二次曲線

第九章二次曲線

在這一章里，我們將討論在生產(chǎn)實踐和科學研究中常遇見的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，主要是學習掌握它們的定義、方程、性質(zhì)、圖形及一些應用.第一節(jié)圓第二節(jié)橢圓第三節(jié)雙曲線第四節(jié)拋物線第五節(jié)曲線與方程第一節(jié)圓一、圓的方程圖9-1圓的形式示意

知道了圓的標準方程，還可以根據(jù)一點到圓心的距離與半徑的關系來判斷該點在圓上、圓內(nèi)，還是圓外.二、平移變換

下面我們就來研究改變坐標系位置的一種方法.這種方法不改變坐標軸的方向和長度單位，把坐標系的原點移到某一個定點，而得到一個新坐標系.稱這種方法為坐標系的平移變換.簡稱移軸.（！圖形不變，坐標變.）圖9-2坐標系的平移變換這就是坐標平移變換的公式，簡稱移軸公式.圖9-3例5題圖形圖9-4例6題圖形圖9-5例7題圖形習題思考題：課堂練習題：答案答案答案答案答案第二節(jié)橢圓一、橢圓的定義與標準方程1.橢圓的定義

定義平面內(nèi)到兩定點距離之和等于一個常數(shù)的點的軌跡稱為橢圓.兩個定點，稱為橢圓的焦點.2.橢圓的標準方程圖9-6橢圓的形成示意二、橢圓的幾何性質(zhì)根據(jù)橢圓的標準方程來研究橢圓的性質(zhì).1.范圍由橢圓的標準方程（9-5）得圖9-9橢圓性質(zhì)的圖形示意2.對稱性3.頂點橢圓和它的對稱軸的交點，稱為橢圓的頂點.4.離心率圖9-10例4的解題圖形

描繪橢圓，可以根據(jù)橢圓的標準方程用描點法畫出，但這樣做比較復雜，通常是結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，作出其略圖.步驟如下.(1)將橢圓方程化為標準形式；(2)作出橢圓的四個頂點；(3)適當描出橢圓在第一象限的一些點，再利用對稱性描出其他象限的點；(4)用光滑的曲線順勢連接這些點.習題思考題：課堂練習題：答案答案答案第三節(jié)雙曲線

雙曲線也是一種常見的曲線.當宇宙火箭燃料用完時,如果速度超過11.19km/s,它就會沿著一條雙曲線軌道飛出地球的引力范圍.一、雙曲線的定義和標準方程1.雙曲線的定義定義圖9-11雙曲線的形成示意2.雙曲線的標準方程稱式（9-7）為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程.

稱式（9-8）為焦點在y軸上的雙曲線的標準方程.(!可根據(jù)標準方程中平方項的符號判定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上.)二、雙曲線的幾何性質(zhì)根據(jù)雙曲線的標準方程（9-7）來研究雙曲線的性質(zhì).1.范圍2.對稱性3.頂點4.漸近線我們在第一象限來作確切的說明.如圖9-14所示.考慮雙曲線圖9-14第一象限內(nèi)雙曲線的漸近線

所以，我們把這條直線稱為雙曲線的漸近線.根據(jù)對稱性知道，雙曲線有兩條漸近線：5.離心率

雙曲線的半焦距與實半軸這比，稱為雙曲線的離心率，三、等軸雙曲線、雙曲線的畫法1.等軸雙曲線它的實軸與虛軸相等，這樣的雙曲線稱為等軸雙曲線.2.雙曲線的畫法(3)利用雙曲線的范圍、頂點、對稱性和漸近線，畫出雙曲線的略圖.習題思考題：課堂練習題：答案答案答案答案答案第四節(jié)拋物線1.拋物線的定義圖9-15拋物線的形成示意定義2.拋物線的標準方程圖9-16開口向右的拋物線圖9-17幾種開口方向不同的拋物線（a）圖9-17（b）圖9-17（c）二、拋物線的幾何性質(zhì)1.范圍2.對稱性3.頂點三、拋物線的畫法拋物線的畫法步驟如下.(1)將方程化為標準方程；(2)判定拋物線的開口方向和對稱軸;(3)描出拋物線上五點：頂點和兩組對稱點，根據(jù)對稱性，用光滑的曲線將這些點順勢連接.習題思考題：課堂練習題：橢圓拋物線雙曲線答案答案答案分析（單擊左鍵顯示答案）第五節(jié)曲線與方程一、曲線與方程

在第八章我們學習了平面上直線與二元一次方程的關系，下面研究平面上一般曲線與方程的關系.

在研究曲線與方程的關系時，可以把一條曲線看作是滿足某種條件的點的軌跡.即:(1)曲線上的點都滿足某種條件;(2)滿足某種條件的點都在曲線上.

前面學習過的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，它們的點所滿足的條件都是用一個二元二次方程表示的.曲線上所有點的坐標都滿足這個方程；(2)坐標滿足這個方程的所有點都在這條曲線上.曲線的方程.方程的曲線.從前面的學習可知，求曲線方程的一般步驟如下.

求曲線方程時，一定要注意適當選取坐標系.這樣能使得到的方程比較簡單.二、圓錐曲線

圓錐曲線主要是指圓、橢圓、雙曲線和拋物線，這些名稱的由來是因為這些曲線都是由一個平面與正圓錐面相截得出的.如圖9-19所示.

我們也可以統(tǒng)一定義圓錐曲線.

定義到一定點（焦點）與到一定直線（準線）的距離之比為常數(shù)e（離心率）的動點的軌跡為圓錐曲線.圖9-19圓錐曲線的形成示意

橢圓、雙曲線都具有對稱中心，因此橢圓、雙曲線又稱為有心圓錐曲線（或稱有心二次曲線）；拋物線不具有對稱中心，因此拋物線稱為無心圓錐曲線.橢圓（包括圓）、雙曲線、拋物線還有一個共同的特征：它們的方程都是二元二次方程，所以它們常被稱為二次曲線.三、二次曲線的光學性質(zhì)

橢圓有這樣一個聚光特征：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波，經(jīng)過橢圓的反射后，集中到另一個焦點上.如圖9-20所示.

有一種叫做“耳語廓”的建筑物，它的頂?shù)目v斷面是一個橢圓的半弧，在一個焦點處低聲說話，本來不可能在另一焦點處聽到的聲音，經(jīng)過反射后，卻能清晰地聽到.圖9-20橢圓的聚光特征示意雙曲線也有如下光學特性.

與橢圓、雙曲線類似，拋物線也有獨特的光學性質(zhì).圖9-21雙曲線的光學特征示意太陽灶就是根據(jù)這一特性設計的.

反過來，一個光源放在焦點上，經(jīng)過拋物線反射后成為一束平行光線，探照燈、汽車前燈就是這一特征的實際應用.如圖9-22（b）所示.圖9-22太陽灶、探照燈的原理示意(b)(a)習題思考題：課堂練習題：1.什么是二次曲線？2.橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一性是什么？3.學習本章后重點掌握哪三種方程.答案答案答案答案答案答案部分思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：1.圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線，由于它們的方程都是二次的，所以又叫二次曲線