2023-2024學年云南省昆明重點中學高三（上）第一次摸底數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年云南省昆明重點中學高三（上）第一次摸底數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若集合A={x|?x2+4x?4≥0}，集合B={x∈N?A.{1,3,4} B.{0,1,3,4} C.{3,4} D.?2.已知復數(shù)z=3?i1+i，則|zA.2 B.3 C.53.在△ABC中，點D在邊BC所在直線上，BC=2CD，若AD=xABA.x=12，y=?12 B.x=?12，y=32

C.4.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個相同的圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的23.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時大約是(結(jié)果精確到整數(shù)，π≈3.14)A.817s B.837s C.1240s D.1256s5.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,14)，如果P(ξ≤32A.0.3413 B.0.6826 C.0.1581 D.0.07946.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<2π)圖象上的一個最高點是(2,2)，由這個最高點到相鄰的最低點圖象與x軸的交點為(6,0)，則f(x)=A.2sin(π4x+π4)7.設(shè)a=ln22，b=ln33，c=A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c8.已知正四棱錐的外接球半徑R=1，則該正四棱錐的體積的最大值為(

)A.1627 B.3281 C.6481二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，點A∈l，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若FA=3FBA.|BH|=53 B.|AF|=410.已知函數(shù)f(x)=ex?e?x+sinx，若f(t)+f(1?3t)<0A.12 B.1 C.2 D.11.如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，EA.D1，F(xiàn)，B，E四點共面

B.直線B1E與直線BF所成的角為90°

C.直線B1E與平面FD1C1所成的角為90°

12.函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點P到直線y=2x的距離可以是(

)A.22 B.32 C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.x(x?2x)514.已知函數(shù)f(x)=axx+2，曲線y=f(x)在點(?1,f(?1))處的切線l垂直于直線x+2y?1=0，則實數(shù)a的值為______．15.已知點A(?3,0)，B(3,0)，C(?1,0)，點P滿足|PA|=2|PB|，則點P到點C距離的最大值為______．16.已知橢圓E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點分別為F1、F2，焦距為23，與坐標軸不垂直的直線l過F1且與橢圓E交于A四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1，其前n項和為Sn，且an=Sn+Sn?1(n≥2)．

(1)求S18.(本小題12.0分)

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點．

(1)證明：AG⊥平面ABCD；

(2)線段AC上是否存在一點M，使MG//平面ABF？若存在，求出MCAC的值；若不存在，說明理由．19.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3acosB=2c，c=1．

(1)證明：tanA=2tanB；

(2)若a2+b2=20.(本小題12.0分)

2023年1月1日起新修訂的《中華人民共和國體育法》正式施行，這對于引領(lǐng)我國體育事業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，推進體育強國和健康中國建設(shè)具有十分重要的意義.某學校為調(diào)查學生性別與是否喜歡排球運動的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖：

(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學生的性別與是否喜歡排球運動有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡排球運動合計是否男生女生合計(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學生中隨機抽取50名學生，設(shè)其中喜歡排球運動的學生的人數(shù)為X，求使得P(X=k)取得最大值時的k(k∈N?)值．

附：x2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82821.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，若|PF1|?|PF2|=233b，且雙曲線焦距為422.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)2lnx，a∈R．

(1)若f′(1)=0，求a；

(2)若a∈(1,e)，f(x)的極大值大于b，證明：3答案和解析1.【答案】A

【解析】解：集合A={x|?x2+4x?4≥0}={2}，集合B={x∈N?||x?2|≤2}={1,2,3,4}，

∴B∩(?RA)={1,3,4}．

故選：A2.【答案】D

【解析】解：復數(shù)z=3?i1+i=(3?i)(1?i)(1+i)(1?i)=2?4i2=1?2i，

∴z?=1+2i，

3.【答案】B

【解析】解：因為BC=2CD，

所以AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(4.【答案】B

【解析】解：∵沙漏中的細沙對應的圓錐底面半徑為23×3=2，高為6×23=4，

∴細沙體積為13×π×22×4=163π(cm5.【答案】A

【解析】解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,14)，P(ξ≤32)=0.8413，

∴P(12<ξ≤1)=P(1≤ξ<6.【答案】C

【解析】解：由于圖象上的一個最高點是(2,2)，且A>0，

∴A=2，依題意知，2πω=16，

∴ω=π8．

又圖象經(jīng)過(2,2)，

∴2sin(π4+φ)=2，0<φ<2π，

∴π4+φ=π7.【答案】C

【解析】解：a=ln22，b=ln33，c=1e=lnee，

令f(x)=lnxx，得f′(x)=1?lnxx2，

∴當x∈(0,e)時，f(x)為增函數(shù)，當x∈(e,+∞)時，f(x)為減函數(shù)，

則f(e)最大，而f(2)=ln22=ln68，f(3)=ln33=8.【答案】C

【解析】解：設(shè)正四棱錐P?ABCD的底面中心為點O，如圖所示：

設(shè)正四棱錐P?ABCD的高為?，即PO=?，再設(shè)正方形ABCD的邊長為a，

正四棱錐P?ABCD的外接球球心為點M，則點M在直線PO上，

∵正四棱錐P?ABCD的外接球半徑為R=1，∴OM=|??1|，

由正方形的幾何性質(zhì)可得AO=12AC=22a，

由勾股定理可得OA2+OM2=AM2，即(22a)2+|??1|2=1，整理可得a2=4??2?2，

∴VP?ABCD=13a2?=13(4??2?2)?=4?9.【答案】BC

【解析】解：已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，點A∈l，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若FA=3FB，

拋物線C：y2=4x的焦點F(1,0)，準線l為x=?1，

設(shè)準線l與x軸交于點M，

∵FA=3FB，由△ABH與△AFM相似得：|BH||MF|=|AB||AF|=23，

∵|MF|=2，∴|BH|=23×2=43，即|BH|=43，故A錯誤；10.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=ex?e?x+sinx，其定義域為R，

f(?x)=e?x?ex+sin(?x)=?(ex?e?x+sinx)=?f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，

f′(x)=ex+e?x+cosx≥2ex?e?x+cosx=2+cosx>0，則f(x)在R11.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)AA1=2AB=2，

對A選項，如圖，取DD1的中點G，連接GE，GA，D1E，

又E、F分別為CC1和AA1的中點，∴GE//DC//AB，且GE=DC=AB，

∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴AG//BE，AG=BE，

∵AF//D1G，AF=D1G，∴四邊形AFD1G為平行四邊形，

∴AG//DF1，AG=DF1，

∴D1F//BE，D1F=BE，四邊形BFD1E為平行四邊形，

∴D1，F(xiàn)，B，E四點共面，故A正確；

對B選項，∵四邊形BFD1E為平行四邊形，∴BF//D1E，

∴∠B1ED1或其補角為直線B1E與直線BF所成的角，

∵B1E=B1D1=D1E=2，∴∠B1ED1=60°，

∴直線B1E與直線BF所成的角為60°，故B錯誤；

對C選項，取BB1的中點H，連接FH，HE，HC1，

∵FH//A1B1//D1C1，F(xiàn)H=A1B1=D1C1，

∴四邊形FHC1D1為平行四邊形，F(xiàn)，H，C1，D1四點共面，

∵四邊形HEC1B1為正方形，∴B1E⊥HC1，

∵D1C1⊥平面BCC1B1，B1E?平面12.【答案】BC

【解析】解：如圖所示：

設(shè)點P的橫坐標為t，由圖可知，當曲線y=f(x)在點P處的切線與直線y=2x平行時，

點P到直線y=2x的距離取最小值，

由f(x)=lnx，得f′(x)=1x，由f′(t)=1t=2，可得t=12，則f(12)=?ln2，

此時，點P的坐標為(12,?ln2)，

點(12,?ln2)到直線2x?y=0的距離為d=1+ln222+(?1)2=5(1+ln2)5，

∴函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點P到直線y=2x的距離的取值范圍是[5(1+ln2)513.【答案】?80

【解析】解：二項式(x?2x)5的展開式通項Tr+1=C5r?x5?r?(?2)r?x?r=C514.【答案】1

【解析】解：因為f(x)=axx+2，則f′(x)=a(x+2)?ax(x+2)2=2a(x+2)2，所以，f′(?1)=2a，

因為直線x+2y?1=0的斜率為?12，

曲線y=f(x)在點(?1,f(?1))處的切線l垂直于直線x+2y?1=0，

所以2a×(?1215.【答案】10

【解析】解：設(shè)P(x,y)，

∵|PA|=2|PB|，

∴(x+3)2+y2=4[(x?3)2+y2]，化簡得(x?5)2+y2=16．

則點P的軌跡是以D(5,0)為圓心，半徑等于4圓，

16.【答案】6【解析】解：因為點P為線段AF2的中點，∠ABF2=∠F2PB=90°，則|AB|=|BF2|，

所以△ABF2為等腰直角三角形，

設(shè)|AB|=|BF2|=m(m>0)，則|AF2|=2m，

由橢圓的定義可得|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=(2+2)m，

所以m=(4?22)a17.【答案】解：(1)∵an=Sn?Sn?1=Sn+Sn?1(n≥2)，

∴(Sn+Sn?1)(Sn?Sn?1)=Sn+Sn?1(n≥2)．

又Sn>0,Sn?1>0，∴Sn?Sn?1【解析】(1)利用an，Sn的關(guān)系，得Sn?Sn?1=1，可知數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，即可求解；18.【答案】解：(1)證明：因為AE=AF，點G是EF的中點，所以AG⊥EF，

又因為EF//AD，所以AG⊥AD，

由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF?平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，

所以AG⊥平面ABCD．

(2)由(1)得AG⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB，

四邊形ABCD是邊長為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，

以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，如圖，

所以A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，

假設(shè)線段AC上存在一點M，使MG//平面ABF，

設(shè)AMAC=λ，則AM=λAC，

由AC=(4,4,0)，可得AM=(4λ,4λ,0)，

設(shè)AG=t(t>0)，則AG=(0,0,t),

所以MG=AG?AM=(?4λ,?4λ,t)，

F(0,?1,t),AF=(0,?1,t),AB=(4,0,0)，

設(shè)平面ABF的法向量為m=(x,y,z)，

AF?m=?y+t=0AB?m=4x=0，取m=(0,t,1),

由于MG//【解析】(1)直接利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直；

(2)利用題中的已知條件建立空間直角坐標系，首先假設(shè)存在點M，設(shè)AMAC=λ，求出平面ABF的法向量，進一步利用線面平行建立等量關(guān)系，求解即可．19.【答案】解：(1)△ABC中，3acosB=2c，由正弦定理得3sinAcosB=2sinC，

∵A+B+C=π，∴C=π?(A+B)，

∴3sinAcosB=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB，

∴sinAcosB=2cosAsinB，

∴tanA=2tanB．

(2)∵a2+b2=c2?105ab，

∴由余弦定理得，cosC=a2+b2?c22ab=?105ab2ab=?1010，

∵C∈(0,π)，cosC<0，∴C∈(π2,π)，sinC=1?cos2C=31010，

∴tanC=?3，即tan[π?(A+B)]=?3，則tan(A+B)=3，

∴tanA+tanB1?tanAtanB=3【解析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式求解；

(2)由余弦定理求出cosC，進而得tanC=?3，即tan(A+B)=3，由兩角和的正切公式結(jié)合tanA=2tanB解得tanB，進而得A=π4，由正弦定理求得a，由tanB=1220.【答案】解：(1)由等高堆積條形圖知，男生中喜歡排球運動的有100×0.3=30人，不喜歡排球運動的有70人，

女生中喜歡排球運動的有100×0.6=60人，不喜歡排球運動的有40人，

2×2列聯(lián)表為：性別是否喜歡排球運動合計是否男生3070100女生6040100合計90110200χ2=200×(40×30?60×70)2100×100×110×90≈18.182>10.828=x0.001，

所以依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗，認為性別與是否喜歡排球運動有關(guān)聯(lián)．

(2)由(1)知，喜歡排球運動的頻率90200=920,所以隨機變量X～B(50,920)，

【解析】(1)結(jié)合等高堆積條形圖寫出列聯(lián)表，計算χ2即可判定；

(2)由題意知隨機變量X～B(50,92021.【答案】解：(1)因為點P在雙曲線上