大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽課件04

大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽課件04大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽課件04中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽第四屆：2012年—四川成都電子科技大學(xué)第五屆：2013年—安徽合肥中國(guó)科技大學(xué)第六屆：2014年—湖北武漢華中科技大學(xué)中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽第四屆：2012年—四川成都電子科數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座體操能使你身體健康,數(shù)學(xué)能使你思想正確而敏捷,有了它,你們才能爬上科學(xué)的大山.____華羅庚____解題是一種本領(lǐng),就像游泳、彈鋼琴一樣,你只能靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到它。假如你想要從解題中得到最大的收獲,就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征。一種解題方法,無論是從別人那里學(xué)來或聽來的,只要經(jīng)過你自己的體驗(yàn),它對(duì)你來講可以成為一種楷模,當(dāng)你在碰見別的類似的問題時(shí),它就是可供你仿照的模型。

_____喬冶.波利亞____數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座體操能使你身體健康,數(shù)學(xué)能使你思想正確而敏捷,有(一）函數(shù)

♀利用已知條件，求函數(shù)的表達(dá)式★第一講：函數(shù)、極限和連續(xù)(一）函數(shù)♀利用已知條件，求函數(shù)的表達(dá)式★第一講：函數(shù)、例1（04年江蘇省競(jìng)賽題）簡(jiǎn)答因奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，例1（04年江蘇省競(jìng)賽題）簡(jiǎn)答因奇函數(shù)，則當(dāng)設(shè)函數(shù)在上有定義，在區(qū)間上，，若對(duì)任意的都滿足，（1）寫出在表達(dá)式；在處，是否可導(dǎo)？（2）判斷上的練習(xí)題（94年北京市競(jìng)賽題）簡(jiǎn)答設(shè)函數(shù)在上有定義，在區(qū)間上，，若對(duì)任意的都滿足，（1）寫出在例2（91年北京市競(jìng)賽題）設(shè)是可導(dǎo)的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，有，且，求的表達(dá)式。求滿足方程的表達(dá)式，其中，為任意實(shí)數(shù)，且已知。簡(jiǎn)答課下練習(xí)（2010年X校競(jìng)賽）例2（91年北京市競(jìng)賽題）設(shè)是可導(dǎo)的函數(shù)，對(duì)于任意例3設(shè)，求，，，。，簡(jiǎn)答例3設(shè)，求，，，。，簡(jiǎn)答♀函數(shù)的某些性質(zhì)：有界性、周期性、奇偶性以及單調(diào)性判斷函數(shù)在內(nèi)有界：常利用在內(nèi)連續(xù)，且，存在，則有界。有界性例4A♀函數(shù)的某些性質(zhì)：有界性、周期性、奇偶性以及單調(diào)性判斷函數(shù)在奇偶性單調(diào)性周期性★奇偶性單調(diào)性周期性★(二）極限

♀補(bǔ)充重要的結(jié)論例5（06考研）提示(二）極限♀補(bǔ)充重要的結(jié)論例5（06考研）提示♀求極限的幾種重要方法1、利用四則運(yùn)算法則例6（98北京市競(jìng)賽題，10天津市競(jìng)賽題）提示練習(xí)（93南京大學(xué)競(jìng)賽題）提示思考題（98江蘇省競(jìng)賽題）答案1例7（00北京市競(jìng)賽題）♀求極限的幾種重要方法1、利用四則運(yùn)算法則例6（98北京市競(jìng)2、利用兩個(gè)重要極限公式例8例9（02考研）設(shè)常數(shù)，則____________簡(jiǎn)答簡(jiǎn)答2、利用兩個(gè)重要極限公式例8例9（02考研）例10（09年全國(guó)競(jìng)賽題），其中是給定的正整數(shù)。簡(jiǎn)答思考題（95南京大學(xué)競(jìng)賽題）答案e2例10（09年全國(guó)競(jìng)賽題），其中是給定的正整數(shù)。簡(jiǎn)答思考3、利用等價(jià)無窮小代換簡(jiǎn)化計(jì)算例11簡(jiǎn)答常用的等價(jià)無窮小注意：作為加減項(xiàng)的無窮小量不能隨意用等價(jià)無窮小代換3、利用等價(jià)無窮小代換簡(jiǎn)化計(jì)算例11簡(jiǎn)答常用的等價(jià)無窮小注意例12

（國(guó)外高校競(jìng)賽題）簡(jiǎn)答

（04年考研題）例13簡(jiǎn)答例12（國(guó)外高校競(jìng)賽題）簡(jiǎn)答（04年考研題）例13簡(jiǎn)答4、利用洛必達(dá)法則（2）等價(jià)無窮小代換（3）求極限的式子中，含有極限存在且不為0的因式，應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則，應(yīng)及時(shí)將它的極限拿到極限符號(hào)外（1）先考慮對(duì)求極限的式子進(jìn)行代數(shù)或三角變形，再考慮結(jié)合（2）和（3）應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，常需要與下列方法相結(jié)合，以簡(jiǎn)化計(jì)算思考題答案e24、利用洛必達(dá)法則（2）等價(jià)無窮小代換（3）求極限的式子中，例15（08考研）求極限例14

(97考研)求極限簡(jiǎn)答簡(jiǎn)答例15（08考研）求極限例14(97考研)求極限簡(jiǎn)答簡(jiǎn)答5、利用夾逼準(zhǔn)則例16：設(shè)為正數(shù)，求思考題：1.設(shè)則(08考研）答案：1簡(jiǎn)答5、利用夾逼準(zhǔn)則例16：設(shè)為正數(shù)，求思考題：1.設(shè)6、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則例18：（06年考研題）設(shè)數(shù)列滿足（1）證明：存在，并求該極限；（2）計(jì)算（1）用歸納法證明單調(diào)下降且有下界（2）用重要極限和洛必達(dá)法則提示證明極限存在并求極限，，，…….例17:6、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則例18：（06年考研題）設(shè)數(shù)列例20（04天津市競(jìng)賽）練習(xí)：（10天津市試題）設(shè)，，證明：存在并求其值。例19（00北京市競(jìng)賽題）例20（04天津市競(jìng)賽）練習(xí)：（10天津市試題）設(shè)，，證明：

練習(xí)題：

（88北京市競(jìng)賽題）設(shè)求證存在，并求其值7、利用極限的定義求極限

例21：

（08江蘇省競(jìng)賽題）設(shè)求證存在，并求其值練習(xí)題：（88北京市競(jìng)賽題）設(shè)求證存在，并求其值7、利用8、利用泰勒公式（復(fù)習(xí)公式及展到哪一項(xiàng)的確定）練習(xí)：思考題：（國(guó)外高校競(jìng)賽題）特點(diǎn)：用洛必達(dá)法則較復(fù)雜時(shí)，或者根本不可能用關(guān)鍵：展開到含xn項(xiàng)，或者不相互抵消的那一項(xiàng)止要熟記常用的展開式例23：例22(10年天津市)8、利用泰勒公式（復(fù)習(xí)公式及展到哪一項(xiàng)的確定）練習(xí)：思考題：9、利用中值定理例24：練習(xí)題：思考題：例25：答案2答案ln29、利用中值定理例24：練習(xí)題：思考題：例25：答案210、利用導(dǎo)數(shù)的定義

例27

（96南京大學(xué)競(jìng)賽題）例26：11、利用連續(xù)的定義練習(xí)題設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，且，求。答案210、利用導(dǎo)數(shù)的定義例27（96南京大學(xué)競(jìng)賽題）例26：12、利用定積分的定義（略講）例28：求練習(xí)：求例29：求練習(xí)：求（09天津市競(jìng)賽）12、利用定積分的定義（略講）例28：求練習(xí)：求例29：求練14、利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系求極限練習(xí)題：（99年北京市競(jìng)賽）例31：求15、利用左、右極限練習(xí)題例32(08江蘇省競(jìng)賽題)13、利用定積分性質(zhì)和積分中值定理（略講）例30：（93北京市競(jìng)賽）14、利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系求極限練習(xí)題：（99年北京練習(xí)題（00北京市競(jìng)賽）________16、要注意變量代換的應(yīng)用17、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件（11章）（略）♀無窮小階的比較例33：（01考研）設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數(shù)等于（）練習(xí)題（00北京市競(jìng)賽）________16、要注意變量代換例34（08江蘇省競(jìng)賽題）思考題（03天津市競(jìng)賽題）D例34（08江蘇省競(jìng)賽題）思考題（03天津市競(jìng)賽題）D♀已知極限，來確定未知的東西例35：（08考研）已知連續(xù)，且，則__________例36：（06考研）試確定值，使得其中是當(dāng)時(shí)，比高階的無窮小。例37：（01考研）已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，，求的值。答案2答案1/2設(shè)

,若則a,b的值.（11天津）-2,-4♀已知極限，來確定未知的東西例35：（08考研）連續(xù)，且，則例38：（94考研），其中，則必有（）例39：設(shè)在的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且求，，及D設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.11天津市競(jìng)賽題思考題：例38：（94考研），其中，則必有（）例39：設(shè)在(三）連續(xù)

♀判定函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性練習(xí)：（03考研）設(shè)函數(shù)問：a為何值時(shí)，在處連續(xù)，a為何值時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)。例40：設(shè)連續(xù)，求a,b.(三）連續(xù)♀判定函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性練習(xí)：（03考研）設(shè)函數(shù)例43例43令，有，得或當(dāng)a=-1時(shí)，，即f(x)在x=0處連續(xù).，因而x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)當(dāng)a=-2時(shí)，令，有，得或當(dāng)a=-1時(shí)，，即f(x)在x=0處連續(xù).，因♀函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型（找的方法及類型的判別）第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.♀函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型（找的方法及類型的判別）第一類間斷點(diǎn):例41例41練習(xí)：（07考研）函數(shù)在上第一類間斷點(diǎn)是x=()(A)0(B)1(C)(D)♀關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明題（放到中值定理部分）例42：（01考研）求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。練習(xí)：（07考研）函數(shù)一元函數(shù)微分學(xué)高數(shù)競(jìng)賽選修課之一元函數(shù)微分學(xué)高數(shù)競(jìng)賽選修課之·極限·導(dǎo)數(shù)與微分·連續(xù)與間斷主要內(nèi)容：·極限·導(dǎo)數(shù)與微分·連續(xù)與間斷主要內(nèi)容：7.泰勒公式（麥克勞林公式）：求極限的方法7.泰勒公式（麥克勞林公式）：求極限的方法8.定積分定義：9.單調(diào)有界定理：10.其他：級(jí)數(shù)收斂的必要條件，通分，有理化，倒代換…求極限的方法8.定積分定義：9.單調(diào)有界定理：10.其他：級(jí)數(shù)收斂題題題題題題題題題題題題題題題題題題題題題題題題連續(xù)與間斷連續(xù)：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性最值性介值性——零點(diǎn)定理連續(xù)與間斷連續(xù)：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.閉區(qū)間55間斷點(diǎn)：不連續(xù)點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)類型：連續(xù)與間斷間斷點(diǎn)：不連續(xù)點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：第二類間導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)：微分：函數(shù)的性質(zhì)關(guān)系：（一階微分具有形式不變性）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率可微可導(dǎo)連續(xù)極限存在導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)：微分：函數(shù)的性質(zhì)關(guān)系：（一階微導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7.高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法微分中值定理羅爾中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：微分中值定理羅爾中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.討論函數(shù)的單調(diào)性3.求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值2.討論函數(shù)圖形的凹凸性，求拐點(diǎn)和漸近線4.求函數(shù)的最值，解決簡(jiǎn)單應(yīng)用問題5.求曲線在一點(diǎn)的曲率和曲率半徑導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.討論函數(shù)的單調(diào)性3.求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值2題題題題題題題題題題題題題題題題湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)691.4綜合習(xí)題講解

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)691.4綜合習(xí)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)70一、填空題解可得所以a=2.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)70一、填空題解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)71解所以湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)71解所以湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)72所以湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)72所以湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)73解

f[f(x)]=1.解原式湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)73解f[f(x)]湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)74解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)74解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)75所以k－1=1990,即k=1991;解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)75所以k－1=19湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)76二、計(jì)算題1.求下列極限解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)76二、計(jì)算題1.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)77湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)77湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)78湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)78湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)792.求下列極限按照等價(jià)無窮小代換湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)792.求下列極限按湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)80解方法1：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)80解方法1：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)81湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)81湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)82方法2：Taylor展開湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)82方法2：Taylo湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)83湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)83湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)84(3)解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)84(3)解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)85(4)解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)85(4)解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)86所以解又因?yàn)?5)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)86所以解又因?yàn)?5)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)87三、證明題例1

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)<a,f(b)>b,試證在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)

,使f(

)=

.證假設(shè)F(x)=f(x)

－x,F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0則于是由介值定理在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)

,使f(

)=

.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)87三、證明題例1設(shè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)88例2設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)<g(a),f(b)>g(b),試證在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)

,使f(

)=g(

).證假設(shè)F(x)=f(x)

－g(x),則F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)

,使f(

)=g(

).湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)88例2設(shè)f(x),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)89例3證明方程x5－3x－2=0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證令F(x)=x5－3x－2,則F(1)=－4<0,F(2)=24>0所以在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)

,滿足F(

)=0.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)89例3證明方程x5－湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)90所以存在

(a<x1<

<xn<b)，使得證令所以例4

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且a<x1<x2<…<xn<b,ci

(i=1,2,3,…,n)為任意正數(shù),則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)

,使湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)90所以存在(a<湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)91解因?yàn)榍宜缘胊=1.

極限化為

得b=

4.

因此，a=1，b=

4.

四、歷年部分競(jìng)賽真題、考研真題選講湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)91解因?yàn)榍宜缘孟嫣洞髮W(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)922、極限

分析本題屬基本題型，