四川大學(xué)高數(shù)期末復(fù)習(xí)題

期末復(fù)習(xí)題上頁下頁返回結(jié)束例.

求解:原式=1上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.設(shè)函數(shù)問a為何值時，f(x)在x=0連續(xù);則a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？提示:上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.求解：利用中值定理求極限原式上頁下頁返回結(jié)束已知解:又所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.上頁下頁返回結(jié)束模擬題(一)第六大題1小題處連續(xù),(1)求(2)討論在解：(1)因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以所以在處的不可導(dǎo)。處的可導(dǎo)性。上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.在模擬題(二)第四大題第1小題類似。例.上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點(diǎn)c,使證:

因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點(diǎn)

由羅爾定理知,必存在當(dāng)且證明:時，證：因?yàn)閯t有又在處連續(xù),所以例.設(shè)故上頁下頁返回結(jié)束由麥克勞林公式得：時，例.

設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證明對一切有證:設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.上頁下頁返回結(jié)束設(shè)y=f(x)在(-1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且試證:(1)證明:(1)由拉格朗日中值定理，對任一非零的上頁下頁返回結(jié)束例.存在唯一的對于(-1,1)內(nèi)的任一使由于在(-1,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且所以二階導(dǎo)數(shù)不變號，則嚴(yán)格單調(diào),故唯一。(2):由麥克勞林公式得：設(shè)f(x)在[-a,a](a>0)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(1)證明提示:(1)對任一上頁下頁返回結(jié)束例.(2)證明在[-a,a]上至少存在一點(diǎn)寫出f(x)拉格朗日余項(xiàng)的由麥克勞林公式；補(bǔ)例.設(shè)解:令求積分即而上頁下頁返回結(jié)束P69單元檢測題第四大題方法類似，令補(bǔ)例.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又上頁下頁返回結(jié)束P69單元檢測題第三大題方法類似，求出補(bǔ)例.

求解:

令比較同類項(xiàng)系數(shù),故∴原式說明:此技巧適用于形為的積分.上頁下頁返回結(jié)束解:

令比較同類項(xiàng)系數(shù),故∴原式上頁下頁返回結(jié)束P70單元檢測題第七大題解:

令解:∴原式上頁下頁返回結(jié)束P88模擬題(一)第三大題第3小題證:設(shè)試證:則故F(x)單調(diào)不減,即原題成立.上頁下頁返回結(jié)束模擬題(二)第六大題第1小題令解：補(bǔ)例.求定積分為常數(shù),設(shè)則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.解:上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例解上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.設(shè)在其中上連續(xù),且證明提示:上頁下頁返回結(jié)束證明：由拉格朗日中值定理，對任一補(bǔ)例.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,a]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使原題即證。少存在一點(diǎn)上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例

求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出類型.解:為跳躍間斷點(diǎn);故為無窮間斷點(diǎn).上頁下頁返回結(jié)束是間斷點(diǎn)。補(bǔ)例.證明：令試證:則上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例解:等式兩邊對x求導(dǎo),得即兩邊積分，上頁下頁返回結(jié)束得：注意f(0)=0,得C=1,模擬題(三)第四大題1小題類似。補(bǔ)例.解:上頁下頁返回結(jié)束另解：補(bǔ)例.

解:上頁下頁返回結(jié)束在x=0處連續(xù)。求：在x=0處的連續(xù)性。P53.二、1證:只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.或：有：有：上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.設(shè)f(x)是正的可微函數(shù)，證明：存在一點(diǎn)分析：原題結(jié)論變形為證:設(shè)輔助函數(shù)顯然在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,故至使原題即證。少存在一點(diǎn)上頁下頁返回結(jié)束證明：令內(nèi)有且僅有兩個不同實(shí)根。在極大值內(nèi)有且僅有兩個不同實(shí)根。在證明：方程補(bǔ)例、上頁下頁返回結(jié)束模擬題(一)第六大題第2小題類似。補(bǔ)例.證法一:令上頁下頁返回結(jié)束原式右邊==左邊補(bǔ)例.證法二:令上頁下頁返回結(jié)束原式右邊對x求導(dǎo)為：原式左邊變形為：再對x求導(dǎo)為：上式中令x=0，得C=0.例.

求極限：解答提示:原式=上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)例.求橢圓在點(diǎn)(0,2)處的曲率。解法一:兩邊對x求導(dǎo)，上頁下頁返回結(jié)束將上面方程兩邊再對x求導(dǎo)得，橢圓在點(diǎn)(0,2)處的曲率為補(bǔ)例.求橢圓在點(diǎn)(0,2)處的曲率。解法二:引進(jìn)參數(shù)方程：上頁下頁返回結(jié)束橢圓在點(diǎn)(0,2)處的曲率為解:補(bǔ)例上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。解：所以當(dāng)時取最大值為：證明:(1)存在使得(2)存在兩個不同的點(diǎn)使解：1.(1)令由已知，有由零點(diǎn)定理，存在使得(2)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),補(bǔ)例.已知函數(shù)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理，有由(1)有，即，由上兩式，有例.設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個實(shí)根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即上