( 線性代數(shù))二次型與對(duì)稱矩陣的有定性

二次型與對(duì)稱矩陣的有定性

根據(jù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形

將二次型進(jìn)行分類在理論上具有重要意義

在工程技術(shù)和最優(yōu)化等問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用

其中

最常用的是二次型標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)全為正或全為負(fù)的情形

定義5

4(二次型的有定性)

具有對(duì)稱矩陣A的二次型

f(x)

xTAx如果對(duì)于任何x

(x1

x2

xn)T

0

都有

xTAx

0(或

0)成立

則稱f(x)

xTAx為正定(負(fù)定)二次型

矩陣A稱為正定矩陣(負(fù)定矩陣)

如果對(duì)于任何x

(x1

x2

xn)T

都有

xTAx

0(或

0)且有x0

0

使x0TAx0

0

則稱二次型f(x)

xTAx為半正定(半負(fù)定)二次型

矩陣A稱為半正定(半負(fù)定)矩陣

例2

二次型

f(x1

x2

x3)

x12

2x1x2

4x1x3

x22

4x2x34x32是半負(fù)定二次型

是正定二次型

矩陣In是正定矩陣

例1

二次型

f(x1

x2

xn)

x12

x22

xn2

當(dāng)(x1

x2

xn)T

0時(shí)

f(x1

x2

xn)

0

且f(1

1

1)

0

例3

f(x1

x2)

x12

2x22是不定二次型

因?yàn)槠浞?hào)有時(shí)正有時(shí)負(fù)

例如f(1

1)

1

0

f(2

1)

2

0

f(x1

x2

x3)

(x1

x2

2x3)2

0

這是因?yàn)?/p>

這是因?yàn)?/p>

定理5

6

設(shè)A為正定矩陣

如果A~B

則B也是正定矩陣

即B是正定矩陣

yTBy

令x

Cy

|C|

0

由A~B可知

證

存在非奇異矩陣C

使CTAC

B

對(duì)任意y

0均有x

0

因此

xTAx

0(因A為正定矩陣)

(Cy)TA(Cy)

yTCTACy定理5

6

設(shè)A為正定矩陣

如果A~B

則B也是正定矩陣

定理5

7(對(duì)角矩陣正定性判別法)

對(duì)角矩陣為正定矩陣的充分必要條件是

di

0(i

1

2

n)

分析定理5

8(正定性判別法)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣C

使A

CTC

即A合同于單位矩陣

當(dāng)AT

A時(shí)則有由定理5

6及定理5

7可知

若A為正定矩陣

則正慣性指標(biāo)p

n

即A~In

反之

若A~In

則A正定

即存在非奇異矩陣C

使A

CTInC

CTC

此時(shí)|A|

|C|2

0

推論1(用慣性指標(biāo)判別正定性)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指標(biāo)p

n

推論2

如果A為正定矩陣

則|A|

0

說(shuō)明定理5

8(正定性判別法)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣C

使A

CTC

即A合同于單位矩陣

注意

反之

結(jié)論未必成立

例如推論1(用慣性指標(biāo)判別正定性)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指標(biāo)p

n

推論2

如果A為正定矩陣

則|A|

0

但A不是正定矩陣

定理5

8(正定性判別法)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣C

使A

CTC

即A合同于單位矩陣

推論1(用慣性指標(biāo)判別正定性)

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指標(biāo)p

n

推論2

如果A為正定矩陣

則|A|

0

定理5

9

對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有特征值都是正數(shù)

舉例定義5

5(順序主子式)

設(shè)n階矩陣行列式稱為A的k階順序主子式

定理5

10(正定性的判別法)

矩陣A

(aij)n

n為正定矩陣的充分必要條件是A的所有的順序主子式都大于零

即|Ak|

0(k

1

2

n)

矩陣A

(aij)n

n為負(fù)定矩陣的充分必要條件是

(

1)k|Ak|

0(k

1

2

n)半正定(半負(fù)定)的判別法

(1)對(duì)稱矩陣A是半正定(半負(fù)定)矩陣的充分必要條件是A的所有主子式大于(小于)或等于零

(2)對(duì)稱矩陣A是半正定(半負(fù)定)矩陣的充分必要條件是A的全部特征值大于(小于)或等于零

應(yīng)注意的問(wèn)題

一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A的順序主子式全大于零或等于零時(shí)

A未必是半正定的

二次型f(x1

x2

x3)的矩陣為

解

A的各順序主子式因此

f(x1

x2

x3)為正定

二次型f(x1

x2

x3)的矩陣為

解

A的各順序主子式故

5時(shí)

A的各順序主子式都大于零

二次型f(x1

x2

x3)為正定二次型

例6證明

如果A為正定矩陣

則A

1也是正定矩陣

若A為正定矩陣

則AT

A

所以

(A

1)T

(