（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)） 極限定理

若X，Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)·fY(y)，得卷積公式:

例3．設(shè)X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N（0，1），Y

～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解：由于X、Y互相獨(dú)立，由卷積公式二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布---回顧下頁(yè)

從而有，Z=X+Y～N（0，2）。

（2）如果Xi(i=1,2,…,n)為n個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi~N(μi，σi2)，則

一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互獨(dú)立，則有X1+X2~N下頁(yè)定理1（獨(dú)立同分布中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從相同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，即：的分布函數(shù)Fn(x)滿足：對(duì)任意的x，有E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2，k=1,2,…則隨機(jī)變量§5.2中心極限定理下頁(yè)說(shuō)明：（1）當(dāng)n很大時(shí)，Yn近似地服從N（0，1），即（2）當(dāng)n很大時(shí)，近似地服從N（n

μ

，nσ2）即不論Xi具有怎樣的分布，只要有有限的期望和方差，當(dāng)n很大時(shí)，其和就近似地服從正態(tài)分布。下頁(yè)例1．設(shè)X1，X2，…，X20相互獨(dú)立，且都來(lái)自均勻分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}.解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12下頁(yè)定理2（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量hn服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布（n=1,2,…,0＜p＜1），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

恒有：其中由獨(dú)立同分布中心極限定理可得證:

由于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量和hn

可視為

n

個(gè)相互獨(dú)立的、服從同一參數(shù)p的（0-1）分布的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn之和，下頁(yè)例2．一批種子，其中良種占1/6，在其中任選6000粒，試問(wèn)在這些種子中，良種所占的比例與1/6之差的絕對(duì)值小于1%的概率是多少？解：設(shè)X表示取6000粒種子中的良種粒數(shù)，則X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),則當(dāng)n較大時(shí)，有下頁(yè)例3.

某出租車公司有500輛的士參加保險(xiǎn)，在一年里的出事故的概

率為0.006，參加保險(xiǎn)的的士每年交800元的保險(xiǎn)費(fèi)．若出事故，保險(xiǎn)公司最多賠償50000元，試?yán)弥行臉O限定理，計(jì)算保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000元的概率．解：設(shè)X表示500輛的士中出事故的車輛數(shù)，則X

～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000元的事件為{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可見(jiàn)，保險(xiǎn)公司在一年里賺錢不小于200000元的概率為0.7781.下頁(yè)

例4.

在抽樣檢查某種產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品．設(shè)產(chǎn)品的次品率為10﹪，問(wèn)至少應(yīng)抽查多少個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查，才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9？解:

設(shè)應(yīng)抽查n