專題03三角函數(shù)1三角恒等變換（3大重難點(diǎn)詳細(xì)講解）2024高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)及壓軸題突破

第01講三角恒等變換難點(diǎn)1：三角函數(shù)求值在考試中，我們得到的三角函數(shù)往往不是最簡(jiǎn)形式的三角函數(shù)，我們需要對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到最簡(jiǎn)的三角函數(shù)值，進(jìn)而對(duì)題目進(jìn)行求解。常見(jiàn)的三角函數(shù)的公式：，，，，，，，，，【例題】（2022.云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，且，則A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，我們知道了的值，為了求的值，我們知道函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而我們知道，因此知道了的度數(shù)是小于的，便能求出的值?！咔遥?，∴，題目給出了的值，我們已經(jīng)求出了和的值，利用的取值范圍求出的值，由于我們無(wú)法知道的的范圍，因此需要分類討論，進(jìn)而求出的值?！?，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，在求的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)，并沒(méi)法直接求出，但題目給出了，我們將看做一個(gè)整體，那么就可以看作是減去，那么便可以利用兩角和的正弦公式來(lái)求出。.不合題意，舍去;當(dāng)時(shí)，同理可求得，符合題意.綜上：.故選：A.【變式訓(xùn)練1】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）若，則B.【答案】D【解析】由題意，∵,∴，∴,即∵,∴，故選：D.【變式訓(xùn)練2】（2023.全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則A.為第二象限角B.C.D.【答案】BC【解析】由題意，∵，∴有，∴得到，∵，∴，∴且為第一象限角，∴，故A不正確，B正確;∵，∴，∴，故C正確;∵，∴，故D不正確.故選：BC.難點(diǎn)2：三角函數(shù)化簡(jiǎn)在考試中，題目所給的三角函數(shù)往往不是最簡(jiǎn)形式，我們無(wú)法直接判斷出選項(xiàng)，需要對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行一系列化簡(jiǎn)后才能去分析函數(shù)的性質(zhì)。【例題】（2023·河北石家莊·正定中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.的值域?yàn)锽.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.為奇函數(shù)，D.不等式的解集為【答案】D【解析】由題意，在中，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)無(wú)法直接看出她的單調(diào)性，奇偶性，值域等，而且包含的有和平方項(xiàng)，過(guò)于復(fù)雜，因此我們考慮先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再研究其性質(zhì)。，A項(xiàng)，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)是乘上，我們知道型函數(shù)的取值范圍是，于是便得出函數(shù)的取值范圍?！?，故選項(xiàng)A正確;B項(xiàng)，我們知道型函數(shù)中函數(shù)在上單調(diào)遞增，但由于函數(shù)有項(xiàng)，因此在上單調(diào)遞減，便可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。∵，∴，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確;C項(xiàng)，∵，所以在中，∴為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確;D項(xiàng)，我們將方程代入，對(duì)不等式進(jìn)行一個(gè)化簡(jiǎn)，然后代入對(duì)應(yīng)的區(qū)間，解不等式方程，即可得出該不等式的解集?！撸?，∴，解得：，∴不等式的解集為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:D.【變式訓(xùn)練】（2022.山西朔州·統(tǒng)考三模）下面關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是A.的值域是C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.是周期函數(shù)D.當(dāng)時(shí)【答案】C【解析】由題意，∵，∴的值域是，A正確；∵，∴是的周期，B正確；由，可得的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱,C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí)，，D正確，故選：C.難點(diǎn)3：與二次函數(shù)（或一元二次方程及不等式）相關(guān)復(fù)合遇到三角函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合的題目，有以下處理思路：（1）設(shè)出參數(shù)，求出參數(shù)的取值范圍；（2）寫出和二次函數(shù)（或一元二次方程及不等式）表達(dá)式，將參數(shù)取值范圍作為二次函數(shù)定義域；（3）利用二次函數(shù)（或一元二次方程及不等式）求參數(shù)?！纠}】（2023.天津南開(kāi).南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則角所在的區(qū)間可能是A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，由題目條件我們發(fā)現(xiàn)左邊是和相加，右邊和相乘，我們要求的是角所在區(qū)間，也就是求角的大小，而和相乘可以化簡(jiǎn)成，可以得到的范圍，于是我們?cè)O(shè)這個(gè)等式為，從而求出整個(gè)數(shù)值的范圍。令，則，我們知道和的平方和為1，而，于是考慮將二者聯(lián)立解出和的和。而需要注意的是和的和（也就是）的范圍，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是不大于2的，要舍去不符合條件的值?！?，∴，解得：或（舍），∴在第二或第四象限，排除A和D，∵，當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去，排除B，∴只有答案滿足，故選：.【總結(jié)】對(duì)于三角函數(shù)與二次函數(shù)（或一元二次方程及不等式）相結(jié)合的題注意事項(xiàng)：（1）要將設(shè)出的參數(shù)取值范圍作為二次函數(shù)定義域；（2）巧妙利用完全平方公式，平方和公式，和的平方和為1等公式?！咀兪接?xùn)練1】（2023·江蘇南京·?？级＃┮阎瘮?shù)，則下列說(shuō)法正確的有A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)的最小值為2C.函數(shù)的最大值為2D.函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】AC【解析】由題意，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，∴函?shù)為偶函數(shù)，故正確;對(duì)于B選項(xiàng)，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值2，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，令得或，令在上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，在和處取得極小值，∴函數(shù)在上有三個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤.故選：AC.【