2023-2024學(xué)年人教A版選擇性必修第一冊(cè) 1-4空間向量的應(yīng)用1-4-1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系第2課時(shí)空間中直線平面的平行 學(xué)案

第2課時(shí)空間中直線、平面的平行1．能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))借助利用空間向量解決平行問(wèn)題的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng)．平行是立體幾何中主要的位置關(guān)系，那么如何用向量方法進(jìn)行研究呢？知識(shí)點(diǎn)空間中直線、平面平行的向量表達(dá)式位置關(guān)系向量表達(dá)式線線平行設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1＝λμ2線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?μ⊥n?μ·n＝0面面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2(1)設(shè)直線l的方向向量為μ，向量a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若l∥α，則向量μ，a，b有什么關(guān)系？(2)根據(jù)上述問(wèn)題，試研究證明直線與平面平行的另一種方法．[提示](1)三向量共面，即μ＝xa＋yb．(2)若直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量共面，則直線與平面平行．(1)若平面β外的一條直線l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量為n＝(4，－1，－2)，則l與β的位置關(guān)系是________．(2)若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，則平面α，β的位置是________．(1)l∥β(2)α∥β[(1)由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．(2)由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．]類(lèi)型1直線和直線平行【例1】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)．求證：MN∥RS．[證明]法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3)))．則eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(RS,\s\up7(→))分別為MN，RS的方向向量，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(RS,\s\up7(→))，所以eq\o(MN,\s\up7(→))∥eq\o(RS,\s\up7(→))，因?yàn)镸?RS，所以MN∥RS．法二：設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1A1,\s\up7(→))＋eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\o(RC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DS,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＋eq\f(1,3)c．所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(RS,\s\up7(→))，所以eq\o(MN,\s\up7(→))∥eq\o(RS,\s\up7(→))．又R?MN，所以MN∥RS．向量法證明直線平行的兩種思路eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM＝eq\f(1,4)DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求證：MN∥AP．[證明]法一：由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直．如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,0,1)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，\f(1,4)))，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AP,\s\up7(→))，故MN∥AP．法二：由題意可得eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AP,\s\up7(→))，所以MN∥AP．類(lèi)型2直線和平面平行【例2】(對(duì)接教材P30例3)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1．問(wèn)：在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．在棱PD上是否存在點(diǎn)E，可假設(shè)存在，從而eq\o(PE,\s\up7(→))＝λeq\o(PD,\s\up7(→))，則λ的取值范圍是什么？[解]分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．∵PB與底面所成的角為45°，且PA⊥AB，∴PA＝AB＝1，則P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，A(0,0,0)，從而eq\o(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(CP,\s\up7(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(PD,\s\up7(→))＝(0,2，－1)．假設(shè)在棱PD上存在符合題意的點(diǎn)E，則eq\o(PE,\s\up7(→))＝λeq\o(PD,\s\up7(→))(0≤λ≤1)，則eq\o(PE,\s\up7(→))＝(0,2λ，－λ)，所以eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CP,\s\up7(→))＋eq\o(PE,\s\up7(→))＝(－1,2λ－1,1－λ)．∵eq\o(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)是平面PAB的一個(gè)法向量，∴由CE∥平面PAB可得eq\o(CE,\s\up7(→))⊥eq\o(AD,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，∴2λ－1＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，即eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up7(→))．即存在點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)時(shí)CE∥平面PAB．證明線面平行問(wèn)題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量共面且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，C1B1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．[證明]法一：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，于是eq\o(DA1,\s\up7(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))．設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(DA1,\s\up7(→))，,n⊥\o(DB,\s\up7(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up7(→))＝x＋z＝0，,n·\o(DB,\s\up7(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，則y＝－1，z＝－1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up7(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，所以eq\o(MN,\s\up7(→))⊥n．又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．法二：eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(C1N,\s\up7(→))－eq\o(C1M,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up7(→))－eq\o(D1D,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up7(→))，所以eq\o(MN,\s\up7(→))∥eq\o(DA1,\s\up7(→))，又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．法三：eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(C1N,\s\up7(→))－eq\o(C1M,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B,\s\up7(→))．即eq\o(MN,\s\up7(→))可用eq\o(A1B,\s\up7(→))與eq\o(DB,\s\up7(→))線性表示，故eq\o(MN,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))是共面向量，又MN?平面A1BD，故MN∥平面A1BD．類(lèi)型3平面與平面平行【例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，試用向量的方法證明平面ADE∥平面B1C1F．[證明]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq\o(FC1,\s\up7(→))＝(0,2,1)，eq\o(DA,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝(0,2,1)，eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝(2,0,0)，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥eq\o(DA,\s\up7(→))，n1⊥eq\o(AE,\s\up7(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up7(→))＝2x1＝0，,n1·\o(AE,\s\up7(→))＝2y1＋z1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝－2y1.))令z1＝2，則y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2)．同理，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量．由n2⊥eq\o(FC1,\s\up7(→))，n2⊥eq\o(C1B1,\s\up7(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(FC1,\s\up7(→))＝2y2＋z2＝0，,n2·\o(C1B1,\s\up7(→))＝2x2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,z2＝－2y2.))令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因?yàn)閚1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．證明面面平行問(wèn)題可用以下方法去證明：(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；(2)分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行．本題采用的是方法(2)，解題過(guò)程雖復(fù)雜，但思路清晰，是證明平面平行的常用方法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1．[證明]因?yàn)锳B＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形．因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°．取AF的中點(diǎn)M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．以D為原點(diǎn)，DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(eq\r(3)，－1,0)，F(xiàn)(eq\r(3)，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以eq\o(DD1,\s\up7(→))＝(0,0,2)，eq\o(DA,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，－1,0)，eq\o(CF,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，－1,0)，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0,0,2)，所以eq\o(DD1,\s\up7(→))∥eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→))∥eq\o(CF,\s\up7(→))，所以DD1∥CC1，DA∥CF，因?yàn)镈D1?平面AA1D1D，CC1?平面AA1D1D，所以CC1∥平面AA1D1D．因?yàn)镈A?平面AA1D1D，CF?平面AA1D1D，所以CF∥平面AA1D1D．又CF∩CC1＝C，CF?平面FCC1，CC1?平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1．1．若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，則()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直 D．不能確定A[因?yàn)閑q\f(1,－3)＝eq\f(2,－6)＝eq\f(－2,6)，所以a∥b．又直線l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]2．如果直線l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直線l上有一點(diǎn)P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么()A．l⊥α B．l∥αC．l?α D．l與α斜交B[∵直線l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，∴a·b＝－4＋0＋4＝0，∴直線l在平面α內(nèi)或者與平面α平行，又直線l上有一點(diǎn)P不在平面α上，∴l(xiāng)∥α．]3．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量是平面β的法向量的是()A．(1,1,1) B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1) D．(1,1，－1)B[因?yàn)棣痢桅?，所以?xún)蓚€(gè)平面的法向量應(yīng)共線，只有B選項(xiàng)符合．]4．已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(3,1,2)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝(x，－3,6)，若DE∥平面ABC，則x＝________．5[設(shè)平面ABC的法向量為n＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n