2023-2024學年人教B版選擇性必修第一冊 1-1-1 第一課時　空間向量的概念、空間向量的加法及線性運算 學案

1．1空間向量及其運算1．1.1空間向量及其運算第一課時空間向量的概念、空間向量的加法及線性運算新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念數(shù)學抽象2.掌握空間向量的線性運算直觀想象、數(shù)學運算一天，梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車，車上裝滿了好吃的東西，于是就想把車子從路上拖下來，三個家伙一齊鉚足了勁，使出了平生的力氣一起拖車，可是，無論它們怎樣用力，小車還是在老地方一步也不動．原來，天鵝使勁往天上提，蝦一步步向后倒拖，梭子魚又朝著池塘拉去．[問題]同學們，你知道為什么車會一動不動嗎？知識點一空間向量1．空間向量的概念(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量；(2)模(或長度)：向量的大??；(3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀地表示向量，如始點為A終點為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up6(―→))，模為|eq\o(AB,\s\up6(―→))|；②字母表示法：可以用小寫字母a，b，c來表示向量，模為|a|，|b|，|c|.2．幾類特殊的向量(1)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0；(2)單位向量：模等于eq\a\vs4\al(1)的向量稱為單位向量；(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量；(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量稱為相反向量；(5)平行(共線)向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相平行，此時表示這兩個非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行；(6)共面向量：一般地，空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內，則稱這些向量共面．零向量的方向是不確定的，零向量的模為0，即|0|＝0.知識點二空間向量的線性運算名稱代數(shù)形式幾何形式運算律加法eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝a＋b交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c減法eq\o(DB,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AD,\s\up6(―→))＝a－b數(shù)乘當λ＞0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\o(PQ,\s\up6(―→))；當λ＜0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\o(MN,\s\up6(―→))；當λ＝0時，λa＝0結合律：λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb與空間向量的線性運算相關的結論(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))；(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(AA1,\s\up6(―→))；(3)若O為空間中任意一點，則：①點P是線段AB中點的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(―→))＋\o(OB,\s\up6(―→))))；②若G為△ABC的重心，則eq\o(OG,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→)))．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)零向量與任意向量平行．()(2)向量eq\o(AB,\s\up6(―→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(―→))的長度相等．()(3)空間向量a用幾何表示法表示時，表示該向量的有向線段的起點可任意選?。?)答案：(1)√(2)√(3)√2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(―→))等于()A．a＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b解析：Beq\o(CD,\s\up6(―→))＝eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝－eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝－a－b＋c＝c－a－b.3．化簡：5(3a－2b)＋4(2b－3a)答案：3a－2題型一空間向量的概念及簡單應用【例1】(1)下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))(2)如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中：①試寫出與eq\o(AB,\s\up6(―→))是相等向量的所有向量；②試寫出eq\o(AA1,\s\up6(―→))的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(―→))的模．(1)解析|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定．對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確．只定義加法具有結合律，減法不滿足結合律；一般的四邊形不滿足eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．答案B(2)解①與向量eq\o(AB,\s\up6(―→))是相等向量的(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(―→))，eq\o(DC,\s\up6(―→))及eq\o(D1C1,\s\up6(―→)).②向量eq\o(AA1,\s\up6(―→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(―→))，eq\o(B1B,\s\up6(―→))，eq\o(C1C,\s\up6(―→))，eq\o(D1D,\s\up6(―→)).③|eq\o(AC1,\s\up6(―→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(―→))|2＋|\o(AD,\s\up6(―→))|2＋|\o(AA1,\s\up6(―→))|2)＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.|通性通法|空間向量有關概念問題的解題策略(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件；(2)熟練掌握空間向量的有關概念、向量的加、減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關鍵．(多選)下列命題中不正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(CD,\s\up6(―→))，滿足eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(CD,\s\up6(―→))D．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb解析：ABD對于A，若b＝0，則a與b共線，b與c共線，但a與c不一定共線，所以A錯誤；對于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯誤；對于C，因為eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＝－eq\o(CD,\s\up6(―→))，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))與eq\o(CD,\s\up6(―→))共線，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(CD,\s\up6(―→))，所以C正確；對于D，若b＝0，a≠0，則不存在λ，使a＝λb，所以D錯誤；故選A、B、D．題型二空間向量的加減運算【例2】(2022·濟寧一中月考)如圖，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡eq\o(A1F1,\s\up6(―→))－eq\o(EF,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CC1,\s\up6(―→))，并在圖中標出化簡結果的向量．解在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四邊形AA1F1F是平行四邊形，所以eq\o(A1F1,\s\up6(―→))＝eq\o(AF,\s\up6(―→)).同理eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(ED,\s\up6(―→))，eq\o(CC1,\s\up6(―→))＝eq\o(DD1,\s\up6(―→))，eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(D1F1,\s\up6(―→))，所以eq\o(A1F1,\s\up6(―→))－eq\o(EF,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CC1,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(AF,\s\up6(―→))＋eq\o(FE,\s\up6(―→))＋eq\o(ED,\s\up6(―→))＋eq\o(DD1,\s\up6(―→))＋eq\o(D1F1,\s\up6(―→))＝eq\o(AF1,\s\up6(―→))，如圖．(變設問)若本例條件不變，化簡eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CC1,\s\up6(―→))＋eq\o(DE,\s\up6(―→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(―→))，并在圖中標出化簡結果的向量．解：根據(jù)正六棱柱的性質知四邊形BB1C1C，DD1E1E所以eq\o(BB1,\s\up6(―→))＝eq\o(CC1,\s\up6(―→))，eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\o(D1E1,\s\up6(―→))，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CC1,\s\up6(―→))＋eq\o(DE,\s\up6(―→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BB1,\s\up6(―→))＋eq\o(D1E1,\s\up6(―→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BB1,\s\up6(―→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(―→))＋eq\o(D1E1,\s\up6(―→))＝eq\o(AE1,\s\up6(―→)).如圖．|通性通法|解決空間向量線性運算問題的方法進行向量的線性運算，實質上是在正確運用向量的數(shù)乘運算及運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．[注意](1)向量減法是加法的逆運算，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量；(2)首尾相連的若干向量構成封閉圖形時，它們的和向量為零向量．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AD,\s\up6(―→))－eq\o(AA1,\s\up6(―→))＝()A．eq\o(AC1,\s\up6(―→)) B．eq\o(A1C,\s\up6(―→))C．eq\o(D1B,\s\up6(―→)) D．eq\o(DB1,\s\up6(―→))解析：Ceq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AD,\s\up6(―→))－eq\o(AA1,\s\up6(―→))＝eq\o(DB,\s\up6(―→))－eq\o(AA1,\s\up6(―→))＝eq\o(DB,\s\up6(―→))－eq\o(DD1,\s\up6(―→))＝eq\o(D1B,\s\up6(―→))，故選C．題型三空間向量的數(shù)乘運算【例3】設A是△BCD所在平面外一點，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(―→))＋\o(AC,\s\up6(―→))＋\o(AD,\s\up6(―→)))).證明如圖，連接BG，延長后交CD于點E，由G為△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(―→)).由題意知E為CD的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(―→)).∴eq\o(AG,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BG,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(―→))＋\o(BD,\s\up6(―→))))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))]＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(―→))＋\o(AC,\s\up6(―→))＋\o(AD,\s\up6(―→)))).|通性通法|利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量；(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質．eq\a\vs4\al()在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M.設eq\o(A1B1,\s\up6(―→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(―→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(―→))＝c，則下列向量中與eq\o(MB1,\s\up6(―→))相等的向量是()A．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c B．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c解析：A因為eq\o(A1B1,\s\up6(―→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(―→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(―→))＝c，所以eq\o(MB1,\s\up6(―→))＝eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\o(BB1,\s\up6(―→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→)))＋eq\o(BB1,\s\up6(―→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b))－c.即eq\o(MB1,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，故選A．1．(多選)下列命題中為真命題的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(―→))與eq\o(BA,\s\up6(―→))的長度相等B．將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量解析：AD對于選項A：向量eq\o(AB,\s\up6(―→))與eq\o(BA,\s\up6(―→))是相反向量，長度相等，故A為真命題．對于選項B：將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個球面，故B為假命題．對于選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但是空間向量不是有向線段，故C為假命題．對于選項D：方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，符合相等向量的定義，故D為真命題．故選A、D．2.如圖，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，則eq\o(MN,\s\up6(―→))＝()A．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cC．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cD．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c解析：A因為eq\o(MN,\s\up6(―→))＝eq\o(ON,\s\up6(―→))－eq\o(OM,\s\up6(―→))，又因為eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)a，eq\o(ON,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，所以eq\o(MN,\s\up6(―→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故選A．3．化簡：eq\o(A