信號與線性系統(tǒng)總結(jié)課件

1.信號的表示電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法（1）表示為時間的函數(shù)（2）圖形表示--波形1.1緒論系統(tǒng)可以用下面的方框圖來表示是輸入信號，稱為激勵;是輸出信號，稱為響應(yīng)。2.系統(tǒng)的表示第一章信號與系統(tǒng)1.確定信號和隨機(jī)信號確定信號：

可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。如正弦信號。隨機(jī)信號：

若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為隨機(jī)信號或不確定信號。

研究確定信號是研究隨機(jī)信號的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號。1.2信號的分類及性質(zhì)1.2信號的分類及性質(zhì)2.連續(xù)信號和離散信號在連續(xù)的時間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。如取值也連續(xù)則常稱為模擬信號。

這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。（1）連續(xù)時間信號：

僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。如取值也離散則常稱為數(shù)字信號。

這里的“離散”指信號的定義域—時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時間無定義。（2）離散時間信號：1.2信號的分類及性質(zhì)3.周期信號和非周期信號

周期信號(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。連續(xù)周期信號f(t)滿足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)滿足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為信號的周期。不具有周期性的信號稱為非周期信號。1.2信號的分類及性質(zhì)例1

判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號。其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。1.2信號的分類及性質(zhì)例2

判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號，若是，確定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…由上式可見：僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=m(2π/β)，m取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。1.2信號的分類及性質(zhì)4．能量信號與功率信號

將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為：（1）信號的能量E（2）信號的功率P定義：若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P=0定義：若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E=∞*抽樣函數(shù)(sampling)

是偶函數(shù)，時，函數(shù)值為0。具有以下性質(zhì)：*幾種典型信號的表達(dá)式和波形1.3信號的基本運(yùn)算一、信號的＋、－、×運(yùn)算兩信號f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一時刻兩信號之值對應(yīng)相加減乘。如1.3信號的基本運(yùn)算已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運(yùn)算的次序可任意。但注意始終對時間t進(jìn)行！壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)二、信號的時間變換運(yùn)算1.4沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)（1）取樣性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶

系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的框圖描述§1.5系統(tǒng)的描述1.線性y(t):系統(tǒng)的響應(yīng)、f(t):系統(tǒng)的激勵⑴線性性質(zhì)：齊次性和可加性可加性：齊次性：f(·)→y(·)

y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

綜合，線性性質(zhì)：線性系統(tǒng)的條件⑴動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)不僅與激勵{f

(·)}有關(guān)，而且與可分解性零狀態(tài)線性

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入線性⑵動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，要滿足下面3個條件：系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān),初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。線性系統(tǒng)的條件①可分解性：

y

(·)

=yzi(·)+yzs(·)②零狀態(tài)線性：

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]線性系統(tǒng)（連續(xù)、離散）

線性微分（差分）方程2.時不變性時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化線性系統(tǒng)時不變常系數(shù)微分方程時變變系數(shù)微分方程線性時不變系統(tǒng)：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]yzs(t-td)=T[{f

(t-td)},{0}]yzs(k-kd)=T[{f

(k-kd)},{0}]3.因果性

因果系統(tǒng)：即因果系統(tǒng):激勵是原因，響應(yīng)是結(jié)果，響應(yīng)是不輸出不超前于輸入。判斷方法：指零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)。有t<t0，yzs(t)=0t=t0時f(t)加入：

可能在激勵施加之前出現(xiàn)的。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性本課程重點(diǎn)：討論線性時不變系統(tǒng)。（2）微分特性：

(LinearTime-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。（1）線性性質(zhì)：齊次性和可加性(3)積分特性：若f(t)→yzs(t)

f’(t)→y’zs

(t)若f(t)→yzs(t)4.穩(wěn)定性一個系統(tǒng)，若對有界的激勵f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yzs

(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如：

yzs(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；因?yàn)椋琭(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時，它也→∞，無界。是不穩(wěn)定系統(tǒng)；例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，全響應(yīng)

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應(yīng)

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t)。解設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。

1.6系統(tǒng)的特性舉例由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對因果輸入信號f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t–1)時，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4-(t-1)+cos[π(t–1)]}(t–1)第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析基本概念：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、特征方程、特征根、

零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、

單位沖激響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、自然響應(yīng)、受迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、

卷積?；具\(yùn)算：零輸入響應(yīng)的求解、單位沖激響應(yīng)及單位階躍響應(yīng)的求解、零狀態(tài)響應(yīng)的求解、卷

積的幾何含義、卷積性質(zhì)的應(yīng)用。

一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等數(shù)學(xué)中經(jīng)典解法：完全解=齊次解+特解。

LTI連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)的n階線性常微分方程

齊次解：

滿足齊次方程的通解，又叫齊次解特解：

滿足非齊次方程的解，叫特解3.全解完全解=齊次解+特解注意：

齊次解的函數(shù)形式：僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)特解中待定系數(shù)：特解帶入非齊次方程，對比求；齊次解中待定系數(shù)：在全解求得后由初始條件定。與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)又叫固有響應(yīng)或自由響應(yīng)特解的函數(shù)形式：又叫強(qiáng)迫響應(yīng)由激勵確定自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)關(guān)于0-和0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換t=0+f(t)接入t=0t=0-y(j)(0-)反映的是歷史狀態(tài)與激勵f(t)無關(guān)初始值或起始值y(j)(0+)沖擊函數(shù)匹配法（0-、f(t)）共同決定0+t可能變化f(t)=右側(cè)是否包含δ(t)、δ,(t)---

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)其中：Czsj------待定系數(shù)yp(t)----特解（3）.y(t)全響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)3.

yzi(0+)、

yzs(0+)、

及各階導(dǎo)數(shù)的確定由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)由y(j)(0+)響應(yīng)及各階導(dǎo)數(shù)初始值(j=0,1,2,-------n-1)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)

y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)⑴.起始條件yzs(0+)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)由0-、f(t)共同決定Czsj--由yzs(j)(0+)定響應(yīng)：且

t=0_時:激勵沒有接入yzs

(j)(0-)=0零狀態(tài)（前提）yzs(j)(0+)=?t>0后：⑵.起始條件yzi(0+)若有，利用δ函數(shù)匹配法t>0后：有輸入微分方程=右端有沒有δ函數(shù)其中：Czij要由起始條件yzi(j)(0+)定

yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y

(j)(0-)類似電路中的換路定則yzs(0+)由0-、f(t)共同決定零輸入響應(yīng)f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在一、沖激響應(yīng)

階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)

以單位沖激信號作為激勵信號時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),記為。單位階躍響應(yīng)

以單位階躍信號作為激勵信號時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，記為。