2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（理強）【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（理強）一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫出復(fù)數(shù)，再得到其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，所以，所以.故選：A2．已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知由于A，B，C三點共線，所以與共線，所以，所以,故選：D3．半徑的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用球的直徑等于內(nèi)接正方體的體對角線，求得棱長，由此得解.【詳解】半徑為的球內(nèi)接一個正方體，設(shè)正方體的棱長為，則該球即為正方體的外接球，其直徑長度為正方體的體對角線長，則，解得，所以正方體的體積為.故選：C4．某小組有5名男生和4名女生，從中任選4名同學(xué)參加“教師節(jié)”演講比賽，則下列每對事件是對立事件的是（

）A．恰有2名男生與恰有4名男生B．至少有3名男生與全是男生C．至少有1名男生與全是女生D．至少有1名男生與至少有1名女生【答案】C【解析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念對選項逐一分析，由此選出正確選項.【詳解】“恰有2名男生”與“恰有4名男生”是互斥事件，但不是對立事件，排除A項；“至少有3名男生”與“全是男生”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，排除B項；“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，是對立事件，C項正確；“至少有1名男生”與“至少有1名女生”可以同時發(fā)生，不互斥，排除D項．故選：C.【點睛】本小題主要考查對立事件和互斥事件概念的理解和辨析，屬于基礎(chǔ)題.5．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，若，則滿足此條件的三角形個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理求出，，從而得出結(jié)果.【詳解】因為，由正弦定理，得到，所以，又因為，故，.故選：B.6．一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是（

）A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6【答案】C【分析】利用中位數(shù)與眾數(shù)的定義得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，則中位數(shù)，眾數(shù)為，由題意知，解得，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差是，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；故選：C.7．已知點D為邊BC上的中點，點E滿足，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】利用平面向量的線性運算，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】依題意，作出圖形如下，因為點D為BC上的中點，，所以，則，故，則.故選：D.8．病毒研究所檢測甲乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù) B．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)C．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù) D．乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)直方圖的形態(tài)可得甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，進而可得.【詳解】根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知為單峰的，直方圖在右邊“拖尾”，所以甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故A錯誤；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故B錯誤；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故C正確；乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故D錯誤.故選：C.二、多選題9．若，，，為復(fù)數(shù)，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】對于A，利用共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷即可；對于B，利用判斷即可；對于C，利用虛數(shù)不能比較大小判斷即可；對于D，利用復(fù)數(shù)四則運算的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以，則，故A正確；對于B，因為，所以，則，所以，則，故B正確.對于C，取，則滿足，但由于虛數(shù)無法比較大小，故不成立，故C錯誤；對于D，因為，所以（舍去）或，故D正確.故選：ABD.10．單位向量與的夾角為銳角，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令與的夾角為，則，利用向量的模的運算，即可得出相應(yīng)的范圍.【詳解】由題知，令與的夾角為，則，，所以，，故選：BC11．已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（

）A． B．C．若A與B互斥，則 D．一定有【答案】AB【分析】對于A，利用對立事件的概率公式即可判斷；對于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的定義計算判斷即可；對于D，舉反例即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，又且，則，所以，即，故B正確；對于C，因為A與B互斥，所以，則，故C錯誤；對于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，則滿足，，但不成立，故D錯誤；故選：AB.12．如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則（

）A． B．平面平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為 D．點E到平面ABF的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷A選項，取中點，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如圖，由，，，為正三角形可得為正方形，故，故A正確；對于B選項，取中點為，在，中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，由，，得，故B錯誤；對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，得，故C正確；對于D選項，連接，在正方形可知，，平面，平面，，與相交，且平面，平面即為三棱錐的高，設(shè)點E到平面ABF的距離為，由幾何關(guān)系可求得，，，，由可得，，代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．故選：ACD.三、填空題13．?dāng)S兩顆骰子，則所得的點數(shù)之和為6的概率為．【答案】【分析】擲兩顆骰子得到有序數(shù)對，事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：，，，，共有5個基本事件，而所有的基本事件有36個，由此結(jié)合隨機事件的概率公式即可算出本題的概率．【詳解】記兩顆骰子的點數(shù)分別為，，得擲兩顆骰子得到有序數(shù)對則、的值可能是1，2，，6共六種情況，共個基本事件．事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：，，，，共有5個基本事件因此，點數(shù)之和為6的概率為故答案為：14．如圖所示，水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的周長是.【答案】【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法分析原圖為平行四邊形，求出其相鄰邊長，從而得解．【詳解】依題意，還原直觀圖如下，因為正方形的邊長為，所以，，則，所以原圖形的周長為.故答案為：.15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則BC邊上的高的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得,由基本不等式以及三角形的面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理可得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，故的最大值為設(shè)邊上的高為則，要使最大，則三角形的面積最大即可，故的最大值為，故答案為：四、雙空題16．為獲得天一中學(xué)高一學(xué)生的身高（單位：cm）信息，采用隨機抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的均值為176，標(biāo)準(zhǔn)差為10，女生樣本的均值為166，標(biāo)準(zhǔn)差為20.則總樣本的均值為cm，方差為.【答案】【分析】結(jié)合平均值和方差公式，即可求解．【詳解】記男生樣本為，，，，均值為，方差為，女生樣本為，，，，均值為，方差為，容量為50的樣本均值為，方差為則所以則則總樣本的均值為cm，方差為.故答案為：；.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)如果，是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的四則運算求得，再利用復(fù)數(shù)的分類即可得解；（2）先利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡，從而得到題設(shè)方程的兩個復(fù)根，再利用韋達(dá)定理即可得解.【詳解】（1）因為，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得（負(fù)值舍去），所以.（2）因為，所以，則，因為是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，所以與是的兩個復(fù)根，故，則，所以.18．龍光塔始建于明朝萬歷二年，位于無錫市錫山山頂，如圖，某學(xué)習(xí)小組為了在塔外測量龍光塔的高度，在與塔底B水平的C處測量得塔頂A的仰角為.受錫山地形所限，他們沿斜坡從C點下行14米到達(dá)D點（與A，B，C共面）后，測量得塔頂A的仰角為.已知C，D兩點的海拔高度差為2米.

(1)記斜坡CD與水平方向的夾角為銳角，計算的余弦值；(2)計算龍光塔的高度.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意結(jié)合圖形，在中求得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解；（2）結(jié)合圖形，分別求得，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】（1）依題意，過作交于，過作，交于，如圖，

則，所以在中，，又，所以，所以的余弦值為.（2）由（1）得，，設(shè)龍光塔的高度，則在中，，則，易知四邊形是矩形，則，，又在中，，則，所以，即，故.所以龍光塔的高度為.19．如圖，在四棱錐中，，，，是棱上一點.

(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用平行線分線段成比例得到，從而利用線面平行的判定定理即可得證；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理推得，，再利用線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖，

因為，所以，因為，所以，所以，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為平面平面，，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因為平面平面，所以平面．20．某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率；(2)估計測評成績的第分位數(shù)；(3)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生.從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件是否獨立?請證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)(3)不相互獨立，證明見解析【分析】（1）由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)小于60的頻率，從而得解；（2）先判斷測評成績的第分位數(shù)所在區(qū)間，再利用百分位數(shù)的計算方法求解即可；（3）依題意分別求得這兩事件與交事件的概率，再利用獨立事件的概率公式判斷即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：，故從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計為；（2）由頻率分布直方圖易得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，則測評成績的第分位數(shù)落在區(qū)間上，所以測評成績的第分位數(shù)為；（3）依題意，記事件“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”，事件“抽到的學(xué)生是男生”，因為分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；所以“抽到的學(xué)生是男生”的概率為，因為分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，所以“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為，因為事件表示“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30且為男生”，滿足條件的只有1名男生，所以，因為，所以這兩個事件不相互獨立.21．如圖，在正三棱臺中，底面是邊長為的正三角形，且.

(1)證明：；(2)求異面直線、所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，證明出平面，可得出，即可得出結(jié)論；(2)【詳解】（1）證明：將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，因為為等邊三角形，為的中點，則，在正三棱錐中，，為的中點，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，即.（2）解：取的中點，連接、、、，如下圖所示：

因為在三棱臺中，，且，則，又因為，所以，、分別為、的中點，同理，為的中點，所以，，故正三棱錐的每個面都是邊長為的等邊三角形，因為為的中點，則，同理，因為、分別為、的中點，所以，，且，所以，異面直線、所成角為或其補角，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得，因此，異面直線、所成角的余弦值為.22．已知是內(nèi)一點，.(1)若是的外心，求的余弦值；(2)若是的垂心，是平面外一點，且平面，當(dāng)四面體外接球體積最小時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中點，中點，分別連接，再根據(jù)，由向量垂直的數(shù)量