拉普拉斯變換(The Laplace Transform)課件

第9章拉普拉斯變換TheLaplaceTransform學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握拉氏變換定義及其基本性質(zhì)；牢記常用典型信號的拉氏變換；掌握求解信號拉氏變換（包括正變換和反變換）的基本方法；掌握運(yùn)用拉氏變換分析LTI系統(tǒng)的方法；掌握系統(tǒng)函數(shù)H(s)收斂域與系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的關(guān)系：定性分析方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解信號時域特點(diǎn)與拉氏變換收斂域的關(guān)系：定性分析方法。掌握系統(tǒng)的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模擬框圖、信號流圖、零極點(diǎn)+收斂域圖，以及它們之間的轉(zhuǎn)換。掌握采用單邊拉氏變換對初始狀態(tài)非零系統(tǒng)的分析方法。能應(yīng)用拉氏變換分析具體電路。拉氏變換在工程中的主要作用是對因果LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析和瞬態(tài)分析。為系統(tǒng)特性，如穩(wěn)定性、因果性及頻率響應(yīng)提供了新的分析工具。求解具有初始條件的微分方程的方便工具。拉氏變換雙邊拉氏變換單邊拉氏變換9.0引言連續(xù)時間對應(yīng)的復(fù)頻域是用直角坐標(biāo) 表示的復(fù)數(shù)平面，簡稱為S平面或連續(xù)時間復(fù)頻域（s域）.S平面上的每一個點(diǎn)s都代表一個復(fù)指數(shù)信號,整個S平面上所有的點(diǎn)代表了整個復(fù)指數(shù)信號集。S平面S平面上虛軸上的所有點(diǎn)代表整個周期復(fù)指數(shù)信號集9.1拉氏變換一個信號x(t)的拉氏變換定義如下：記作：拉氏變換和傅氏變換的關(guān)系而=例9.1和例9.2拉氏變換收斂的必要條件：絕對可積1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱為拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）。ROC僅決定于S的實(shí)部。使拉氏變換收斂的范圍。收斂域（RegionofConvergence

）

ROC：

使積分（9.3）式收斂的s值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。ReReS-planeS-planeImIm-a-a多項(xiàng)式之比只要x(t)是實(shí)指數(shù)或復(fù)指數(shù)信號的線性組合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：N(s)和D(s)分別為分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。使N(s)=0的根為X(s)的零點(diǎn)，在s平面上用“O”表示。使D(s)=0的根為X(s)的極點(diǎn)，在s平面上用“×”表示。若是有理函數(shù)S平面可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對應(yīng)的。ReIm-11xx-2s-planex–rootsofD(s)–rootsofN(s)例9.3的拉氏變換的s平面表示例9.5ReIm12xx-1請問：x(t)的傅立葉變換存在嗎?收斂域的劃分：傅氏變換與拉氏變換之關(guān)系，根據(jù)收斂坐標(biāo)值可分為三種情況：1．0>0：傅氏變換不存在。不能由拉氏變換去求得其傅氏變換。2．0<0：在拉氏變換式中令s=j

,就可得到傅氏變換。3.0=0：傅氏變換中必然包含有沖激函數(shù)或它們的導(dǎo)數(shù)。1、不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。3、如果拉氏變換的ROC包含軸，則有2、只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。小結(jié)：9.2拉氏變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)1:拉氏變換收斂域的形狀：X(s)的ROC在s平面內(nèi)由平行于jω軸的帶狀區(qū)域所組成。S-planeReReReImImIm

R

L

L

R××ReIms平面性質(zhì)2：對有理拉氏變換來說， ROC內(nèi)不包括任何極點(diǎn)。 因?yàn)樵谝粋€極點(diǎn)處，X(s)無限大，積分不收斂。性質(zhì)3：如果x(t)是有限持續(xù)期，并且是絕對可積的，那么ROC就是整個s平面。ReIms平面性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。ReIms平面性質(zhì)5：如果x(t)是左邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。x(t)T2te-

0te-

1tReIms平面性質(zhì)6：如果x(t)是雙邊信號，而且如果這條線位于ROC內(nèi)，那么ROC就一定是由s平面的一條帶狀區(qū)域所組成，直線位于帶中。S-planeReReReImImIm

R

L

L

R性質(zhì)7：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，那么它的ROC是被極點(diǎn)所界定或延伸到無限遠(yuǎn)。另外，在ROC內(nèi)不包含X(s)的任何極點(diǎn)。性質(zhì)8：如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理的，若x(t)是右邊信號，則其ROC在s平面上位于最右邊極點(diǎn)的右邊；若x(t)是左邊信號，則其ROC在s平面上位于最左邊極點(diǎn)的左邊。例9.8××ReIms平面××ReIms平面-2-1-2-1例9.8××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1例9.8××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1例9.8××ReIms平面-2-1可以形成三種ROC：

ROC：

ROC：

ROC：此時是右邊信號。此時是左邊信號。此時是雙邊信號。例9.8小結(jié)對具有某一拉氏變換的信號而言，ROC一定是一下四種情況的一種：（1）拉氏變換的ROC為整個S平面，這對應(yīng)著時域中是有限長的時間信號。（2）拉氏變換的ROC為某一左半平面，這對應(yīng)著時域中是左邊時間信號。（3）拉氏變換的ROC為某一右半平面，這 對應(yīng)著時域中是右邊時間信號。（4）拉氏變換的ROC為某一帶狀收斂域， 這對應(yīng)著時域中是雙邊時間信號。拉氏變換X(s)的ROC對應(yīng)時域信號x(t)的特點(diǎn)整個S平面某一左半平面某一右半平面某一帶狀收斂域有限長左邊時間信號右邊時間信號雙邊時間信號9.3拉氏反變換信號x(t)的拉氏變換為：利用傅立葉反變換：兩邊同乘以est即可從拉氏變換中恢復(fù)x(t)：拉氏反變換所有實(shí)信號x(t)可以表示成復(fù)指數(shù)信號est的加權(quán)。拉氏反變換公式表明：原函數(shù)x(t)可以由它們的像函數(shù)X(s)乘以復(fù)指數(shù)信號est后積分求得。拉氏反變換公式的積分路徑是：收斂域內(nèi)平行于虛軸的一條自下而上的直線。Im××Res平面一、求解拉氏反變換的方法

1、留數(shù)定理；（這里不討論）√2、由一些熟知的拉氏變換對，利用性質(zhì)，求得未知的拉氏變換，或它們的反變換。√3、對于有理形式拉氏變換，最常用的是部分分式展開法。二、部分分式展開法求解拉氏反變換思路：單個單邊復(fù)指數(shù)信號的拉氏變換是一些簡單的有理函數(shù)，其收斂域也是單純的。單邊實(shí)指數(shù)和復(fù)指數(shù)線性組合而成的信號，它們的拉氏變換一定是式（9.31）那樣的有理函數(shù)，其收斂域是每一項(xiàng)復(fù)指數(shù)分量相應(yīng)的收斂域的交集。假設(shè)信號x(t)的拉氏變換X(s)沒有多階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次（有理真分式），那么X(s)就可以展開成如下形式：設(shè)：對X(s)進(jìn)行部分分式展開：ReIm-1xx-2X(s)的零極點(diǎn)圖和ROC如圖所示：分別對應(yīng)什么時間信號？設(shè)：對X(s)進(jìn)行部分分式展開：X(s)的零極點(diǎn)圖和ROC如圖所示：分別對應(yīng)什么時間信號？ReIm-1xx-2設(shè)：對X(s)進(jìn)行部分分式展開：X(s)的零極點(diǎn)圖和ROC如圖所示：分別對應(yīng)什么時間信號？ReIm-1xx-29.4由零極點(diǎn)圖對傅立葉變換進(jìn)行幾何求值目的：揭示信號和系統(tǒng)的復(fù)頻域表示與其頻域特性間的關(guān)系。對于系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)的因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)，其收斂域包括s平面虛軸，那么系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)如果有理系統(tǒng)函數(shù)H(s)表示為分別為零點(diǎn)和極點(diǎn)這類因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示法，復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上原點(diǎn)到該點(diǎn)的向量來表示。按照向量和差運(yùn)算法則，兩個復(fù)數(shù)的差分別是s平面上點(diǎn)指向點(diǎn)jω的向量。ImRe××jω零點(diǎn)指向點(diǎn)jω的向量為零點(diǎn)向量，記作極點(diǎn)指向點(diǎn)jω的向量為極點(diǎn)向量，記作幅頻響應(yīng)H(jω)：例：有一階系統(tǒng) 用幾何法確定其傅立葉變換。ReImx9.5拉氏變換的性質(zhì)一、線性則二、時移性質(zhì)若則三、S域平移若則四、時域尺度變換若則五、共軛若則注：若x(t)為實(shí)函數(shù)，如果X(s)有一個極點(diǎn)或零點(diǎn)在s=s0處，那么X(s)也一定有一個復(fù)數(shù)共軛的極點(diǎn)或零點(diǎn)。六、卷積性質(zhì)那么七、時域微分若則八、s域微分若則九、時域積分若則十、頻域積分若則十一、初值和終值定理若t<0，x(t)=0且在t=0不包括任何沖激或高階奇異函數(shù)，則初值定理所得到的初值都是x(t)在t=0+時刻的值，而不是在t=0或t=0-時刻的值。例：在圖所示電路中加入一個單位階躍電壓u(t)。求輸出電壓vR(t)的初值vR(0)和終值vR(∞)。

CvR(t)

+

+

u(t)_R-解：利用初值定理：利用終值定理：說明：當(dāng)電路較為復(fù)雜時，初值與終值定理的方便之處將顯得突出，因?yàn)樗恍枰瞿孀儞Q，即可求出原函數(shù)的初值和終值。對于某些反饋系統(tǒng)的研究，例如鎖相環(huán)路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，就是這樣。9.6常用拉氏變換對P499表9.2。9.7用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng)利用卷積性質(zhì)，有：H(s)為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。利用系統(tǒng)函數(shù)分析LTI系統(tǒng)的性質(zhì)一、因果性一個因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個右半平面。對于一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的因果性就等效于ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊的右半平面。ReImxs=jws-plane按定義證明，對一因果系統(tǒng)，s0

ROC:如果對

s0收斂,考慮任何

s1>s0因此，s1

ROC。例9.17有一系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為其系統(tǒng)函數(shù)和ROC為：系統(tǒng)函數(shù)是有理的，ROC是右半平面，所以系統(tǒng)是因果的。例9.18有一系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為其系統(tǒng)函數(shù)和ROC為：系統(tǒng)函數(shù)的ROC不是右半平面，所以系統(tǒng)是非因果的。利用系統(tǒng)函數(shù)分析LTI系統(tǒng)的性質(zhì)二、穩(wěn)定性定理一：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的ROC包括jω軸[即：Re{s}=0]時，一個LTI系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。ReImxs=jws-plane系統(tǒng)穩(wěn)定h(t)絕對可積H(jω)收斂穩(wěn)定性傅立葉變換的存在性例：考慮一LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)ReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-plane因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)非因果、穩(wěn)定系統(tǒng)非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)定理二：一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)H(s)的因果LTI系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)都位于s平面的左半平面時，也即全部極點(diǎn)都有負(fù)的實(shí)部時，該系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。ReImxxs=jws-plane例：ReIm-1xx-2s=jws-p