數(shù)學(xué)微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法

PAGE1求數(shù)列前n項(xiàng)和的8種常用方法一.公式法（定義法）：1.等差數(shù)列求和公式：特別地，當(dāng)前項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，即前項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算；2.等比數(shù)列求和公式：（1），；（2），，特別要注意對(duì)公比的討論；3.可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4.常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）.例1已知，求的前項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得＝＝＝1－例2設(shè)，,求的最大值.解：易知，∴＝＝＝∴當(dāng)，即時(shí)，.二.倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè).例3求的值解：設(shè)…………①將①式右邊反序得…………②（反序）又因?yàn)棰?②得（反序相加）＝89∴S＝44.5例4函數(shù)，求的值.三.錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.如：等比數(shù)列的前項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.例5求和：…………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)………………②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）即：∴變式求數(shù)列前項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………①………②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得，（錯(cuò)位相減）∴四.裂項(xiàng)相消法:即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.適用于，其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是.常見裂項(xiàng)公式：（1），；（的公差為）；（2）.（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；（4）；；（5）；（6）；（7）；（8）常見放縮公式：.例6求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝例7求和.例8在數(shù)列中，，又，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解：∵∴（裂項(xiàng)）∴數(shù)列的前項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和）＝＝例9求證：解：設(shè)∵（裂項(xiàng)）∴（裂項(xiàng)求和）＝＝＝＝∴原等式成立變式求.解：五.分段求和法：例10在等差數(shù)列中，求：（1）數(shù)列前多少項(xiàng)和最大；（2）數(shù)列前項(xiàng)和.六.分組求和法:有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，可把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11求數(shù)列的前項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）當(dāng)時(shí)，＝.例12求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）＝＝（分組求和）＝變式求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：七.并項(xiàng)求和法：在數(shù)列求和過程中，將某些項(xiàng)分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊數(shù)列，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求.利用該法時(shí)要特別注意有時(shí)要對(duì)所分項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論.例13求cos1°+cos2°+cos3°+…+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+…..+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）++（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0例14數(shù)列：，求.解：設(shè)＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴＝（合并求和）＝＝＝＝5例15在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10變式求和.八.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例16求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝例17已知數(shù)列：的值.解：∵（找通項(xiàng)及特征）＝（設(shè)制分組）＝（裂項(xiàng)）∴（分組、裂項(xiàng)求和）＝＝變式求的前項(xiàng)和.解：∵以上8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或進(jìn)行消項(xiàng)處理來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解.微專題全套27講見：數(shù)學(xué)微專題27之1-高考熱點(diǎn)之證明數(shù)列不等式數(shù)學(xué)微專題27之2-高考數(shù)學(xué)微專題立體幾何中關(guān)于折疊的所有問題數(shù)學(xué)微專題27之3-關(guān)于三角函數(shù)最大值問題數(shù)學(xué)微專題27之4-函數(shù)放縮公式集錦數(shù)學(xué)微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值數(shù)學(xué)微專題27之6-衡水中學(xué)內(nèi)部數(shù)學(xué)錯(cuò)題集數(shù)學(xué)微專題27之7-極化恒等式在向量問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之8-解析策略-解析幾何中的數(shù)與形數(shù)學(xué)微專題27之9-精準(zhǔn)培優(yōu)專練圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問題探究數(shù)學(xué)微專題27之11-立體幾何求角的三角函數(shù)值（非空間向量）數(shù)學(xué)微專題27之12-平面解析幾何：易錯(cuò)點(diǎn)與二級(jí)結(jié)論數(shù)學(xué)微專題27之13-求數(shù)列通項(xiàng)公式的11種方法數(shù)學(xué)微專題27之14-三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)數(shù)學(xué)微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法(最全)數(shù)學(xué)微專題27之16-數(shù)學(xué)手冊(cè)數(shù)學(xué)微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法數(shù)學(xué)微專題27之18-同構(gòu)思想在指對(duì)型函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之19-外接球的幾種求法數(shù)學(xué)微專題27之20-阿波羅尼斯圓專題