四川省成都市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中文科試題含解析

Page1四川省成都市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中（文科）試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A． B． C． D．2．將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)得（

）A． B． C． D．3．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．－2 B．2 C．－1 D．15．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知下表是某工廠的廣告費(fèi)用(萬元)與銷售額(萬元)的一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用(萬元)銷售額(萬元)由散點(diǎn)圖可知，銷售額與廣告費(fèi)用間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的遞減區(qū)間為C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值8．圓的極坐標(biāo)方程為A． B． C． D．9．為落實(shí)黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試.如圖是該次考試成績隨機(jī)抽樣樣本的頻率分布直方圖.則下列關(guān)于這次考試成績的估計(jì)錯(cuò)誤的是（

）A．眾數(shù)為82.5B．中位數(shù)為85C．平均數(shù)為86D．有一半以上干部的成績在80~90分之間10．已知函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．過曲線S：上一點(diǎn)的切線方程為（

）A．或 B．C．或 D．12．已知函數(shù)，，對于任意的，存在，使，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A．B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題13．已知x＞1，觀察下列不等式：…按此規(guī)律，第n個(gè)不等式為_________．14．曲線經(jīng)過變換得到曲線，則曲線的方程為________.15．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，若則=___________.16．新高考科目實(shí)行模式：甲、乙、丙三個(gè)高中生，語數(shù)外三個(gè)科目與另外兩個(gè)科目已定，計(jì)劃再從政治、地理、生物中選一科作為高考科目．已知這一科三人所選的科目均不相同，在介紹自己的情況時(shí)，作如下陳述：甲：“我選政治，乙選地理”；乙：“甲選地理，丙選政治”；丙：“甲選生物，乙選政治”.若甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半．根據(jù)以上信息，則下面判斷正確的序號是_________．①甲選地理；②乙選政治；③丙選地理；④甲選生物三、解答題17．設(shè)函數(shù)．(1)求f（x）在處的切線方程；(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．18．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值．19．為了研究人對紅光或綠光的反應(yīng)時(shí)間，某實(shí)驗(yàn)室工作人員試驗(yàn)在點(diǎn)亮紅光或綠光的同時(shí)，啟動(dòng)計(jì)時(shí)器，要求受試者見到紅光或綠光點(diǎn)亮?xí)r，就按下按鈕，切斷計(jì)時(shí)器，這就能測得反應(yīng)時(shí)間．該試驗(yàn)共測得200次紅光．200次綠光的反應(yīng)時(shí)間．若以反應(yīng)時(shí)間是否超過（s：秒）為標(biāo)準(zhǔn)，完成以下問題．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表：反應(yīng)時(shí)間不超過次數(shù)反應(yīng)時(shí)間超過次數(shù)合計(jì)紅光次數(shù)150綠光次數(shù)合計(jì)130(2)根據(jù)（1）中的2×2列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為反應(yīng)時(shí)間是否超過與光色有關(guān)．參考公式與數(shù)據(jù)，其中．0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求、、的直角坐標(biāo)方程；（2）若與的交于點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和AB.21．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷.【詳解】由復(fù)數(shù)的定義可得，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D2．D【解析】【分析】根據(jù)公式，，結(jié)合點(diǎn)在第一象限，為第一象限角求得，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)，所以極徑為，，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以直角坐?biāo)化成極坐標(biāo)得，故選：D.3．B【解析】【分析】由基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式與運(yùn)算法則對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式與運(yùn)算法則知：，，，故A，C，D錯(cuò)誤，B正確故選：B4．B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即得.【詳解】∵函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，∴.故選：B.5．A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】，所以，因此在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A6．B【解析】【分析】由表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得，代入回歸直線方程可求得.【詳解】由表格數(shù)據(jù)得：，，.故選：B.7．C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞減，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.8．D【解析】【詳解】將，代入直角坐標(biāo)方程得，即．故選D．9．C【解析】【分析】由頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并判斷在80~90分之間的干部占比，即可得答案.【詳解】由頻率直方圖知：眾數(shù)為82.5，A正確；又，即中位數(shù)為85，B正確；由，C錯(cuò)誤；由，則有一半以上干部的成績在80~90分之間，D正確.故選：C10．B【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，分離參數(shù)可得參數(shù)范圍．【詳解】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，所以恒成立，，所以恒成立，所以，即．故選：B．11．C【解析】【分析】當(dāng)A為切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程；當(dāng)A不是切點(diǎn)，根據(jù)曲線的極值情況，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，則、上，上，所以在、上遞減，上遞增，則極小值為，極大值為，若A是切點(diǎn)，則，此時(shí)切線方程為，即，若A不是切點(diǎn)，則過的切線為.故選：C12．A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，把問題轉(zhuǎn)化為，再求出函數(shù)，最大值，列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)閷τ谌我獾?，存在，使，則，顯然在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，則，由解得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)，，若，，有成立，故.13．【解析】【分析】從每個(gè)不等式左邊單項(xiàng)式的指數(shù)和分式分母的特征，右邊整數(shù)的特征進(jìn)行歸納推理即可.【詳解】…按此規(guī)律，第n個(gè)不等式為：，故答案為：14．【解析】【分析】根據(jù)變換可得，將其代入曲線并整理，即可得曲線的方程.【詳解】由題設(shè)，代入，可得：，∴曲線的方程為.故答案為：.15．【解析】【分析】可以求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可得．【詳解】∵，∴∴，解得．故答案為：.16．④【解析】【分析】若若甲選政治正確，則與條件不相符；若甲選政治錯(cuò)誤，則有甲選生物，乙選地理，丙選政治，即可判斷結(jié)果．【詳解】若甲選政治正確，則乙選地理錯(cuò)誤；甲選地理錯(cuò)誤，丙選政治正確；甲選生物錯(cuò)誤，乙選政治正確；這與三人所選的科目均不相同不相符；若甲選政治錯(cuò)誤，則乙選地理正確；甲選地理錯(cuò)誤，丙選政治正確；甲選生物正確，乙選政治錯(cuò)誤；所以甲選生物，乙選地理，丙選政治．故答案為：④17．(1)；(2)最大值是13，最小值是－19.【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性即可求出最值.(1)由題意知，，即切點(diǎn)為（1，－3），又，所以所以f（x）在處的切線方程為：，即；(2)，令得；令得或，故f（x）的減區(qū)間為（－1，3），增區(qū)間為（－∞，－1）和，函數(shù)f（x）的極大值，函數(shù)f（x）的極小值，又，∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1918．(1)在遞增，在遞減(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可．(1)的定義域是，，令，解得：0＜x＜1，令得x＞1，∴在遞增，在遞減；(2)由（1）得：在x=1處取得極大值，，無極小值.19．(1)表格見解析(2)有的把握認(rèn)為反應(yīng)時(shí)間是否超過與光色有關(guān)．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出2×2的列聯(lián)表；（2）計(jì)算與臨界值比較即可得出結(jié)論.(1)根據(jù)題意，可得2×2的列聯(lián)表：反應(yīng)時(shí)間不超過次數(shù)反應(yīng)時(shí)間超過次數(shù)合計(jì)紅光次數(shù)15050200綠光次數(shù)12080200合計(jì)270130400(2)因?yàn)樗杂械陌盐照J(rèn)為反應(yīng)時(shí)間是否超過與光色有關(guān)．（1）：；：，的普通方程為（2）的坐標(biāo)，AB=14【解析】【分析】（1）由曲線的極坐標(biāo)方程能求出曲線的普通方程，由曲線的極坐標(biāo)方程能求出曲線的普通方程.（2）由曲線的極坐標(biāo)方程求出曲線的普通方程，聯(lián)立與得，解得點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），.設(shè)，.將代入，得，求出，.【詳解】解：（1）∵曲線的極坐標(biāo)方程為，∴根據(jù)題意，曲線的普通方程為.∵曲線的極坐標(biāo)方程為，∴曲線的普通方程為，即；∵曲線的極坐標(biāo)方程為，∴曲線的普通方程為，（2）聯(lián)立與，得，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，將代入，得，則，，，【點(diǎn)睛】本小題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)時(shí)，函數(shù)有極值，建立方程組求出a、b，再進(jìn)行檢驗(yàn)符合題意；（2）利用列表法求出的極值，根據(jù)有三個(gè)解，即可取出的范圍.(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽..由題意可得：，解得：，所以.此時(shí)，.令，解得：或；令，解得：.所以在，上單增，在上單減，所以時(shí)，函數(shù)有極值，符合題意；故解析式為.(2)令，解得：或.列表得：x12+0-0+單增極大值單減極小值單增要使關(guān)于的方程有三個(gè)解，只需.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得，然后對進(jìn)行分類討論即可求解（2）在上有零點(diǎn)等價(jià)于方程在上有根，即在上成立，然后，令，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)討論的范圍，進(jìn)而可求解(1)，①當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，