四川省瀘州市瀘縣2021-2022學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

Page2四川省瀘州市瀘縣2021-2022學年高一數(shù)學下學期期中試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第I卷客觀題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)式子特點，逆用兩角和的正弦公式，即可計算出．【詳解】解：.故選：A2.在中，，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：由的度數(shù)求出的值，再由和的值，利用正弦定理求出的值，由大于，根據(jù)大邊對大角，得到大于，得到的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出的度數(shù).詳解：，由正弦定理，得，又，得到，則，故選C.點睛：本題主要考查正弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.3.正方形數(shù)列的一個通項公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的一個通項公式；【詳解】解：依題意，，，……，即可歸納出數(shù)列的一個通項公式為；故選：C4.設，且，則（）A.3 B.12 C.-12 D.-3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：A5.設的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可求得，由此得到，進而得到的形狀.【詳解】由正弦定理得：，即，又，，，，為直角三角形.故選：C.6.在等比數(shù)列中，，則的值為（）A.48 B.72 C.144 D.192【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，而，故．故選：D7.若的對邊分別為，且，,,則A.5 B.25 C. D.【答案】A【解析】【詳解】在中，，，可得，解得．由余弦定理可得：．8.在中，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角和的正切公式求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及誘導公式求出，從而得解；【詳解】解：由，得，∴，∵.∴.又，∴.故選：B.【點睛】本題考查兩角和的正切公式及誘導公式的應用，屬于基礎題.9.某學生家長為繳納該學生上大學時的教育費，于2018年8月20號從銀行貸款a元，為還清這筆貸款，該家長從2019年起每年的8月20號便去銀行償還相同的金額，計劃恰好在貸款的m年后還清，若銀行按年利率為p的復利計息（復利：即將一年后的貸款利息也納入本金計算新的利息），則該學生家長每年的償還金額是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意建立方程，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可求出的值.【詳解】設每年償還的金額為，則，所以，解得故選D.【點睛】主要考查了等比數(shù)列求和，方程的求解，以及數(shù)學應用能力，屬于中檔題.這類型題的關鍵在于結(jié)合生活實際，讀懂題意，合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再進行求解.10.已知，且，則等于A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求得的值，然后求得的值，由此求得題目所求表達式的值.【詳解】依題意，由及，解得，故，故選B.【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查二倍角公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.11.設函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在上的單調(diào)遞減，所以分段函數(shù)的兩段都是各自定義域內(nèi)的減函數(shù)，即，且，即可求解.【詳解】因為在上的單調(diào)遞減，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.12.已知，且，則（）A. B. C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由題意化簡得，平方求得，進而求得，聯(lián)立方程組，求得，得到，結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.【詳解】由，可得，兩邊平方得，可得，因為，所以，所以，所以，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以.故選：A.第II卷主觀題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項和______．【答案】.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列，所以，故答案為：.14.在中，若，，成等差數(shù)列，，的面積為，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式可知的值，然后結(jié)合余弦定理表示出的邊，然后結(jié)合由成等差數(shù)列知，而可知解得的值．【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴,①∵，∴②∵③由①②③得.故答案為：.15.如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是，則河流的寬度等于______.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過求解兩個直角三角形得到DC和DB的長度，作差后可得答案．【詳解】由圖可知，在中，在中，河流的寬度BC等于故答案為：.【點睛】本題給出實際應用問題，求河流在B,C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．16.是等邊三角形，點D在邊的延長線上，且，，則______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】由可得，在中利用余弦定理可求得的長，在中，利用正弦定理可求得的值.【詳解】如圖所示，等邊中，，所以.又，所以，即，解得，所以；由，即，解得.故答案為：；.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)(1)求最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值為,最小值為．【解析】【詳解】(1)，（2）因為，所以，當時，即時，的最大值為，當時，即時，的最小值為.18.已知向量，向量（1）當k為可值時，與垂直；（2）求向量在向量上的投影【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量坐標的運算法則求出與，根據(jù)垂直得到方程可求出；（2）利用向量的投影公式進行求解.【小問1詳解】，，因為，所以，解得：【小問2詳解】∵，∴在上的投影.19.已知且均銳角（）求求【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)基本關系式算出、的值，再用兩角和的正弦公式計算即可.（2）因，故可以利用兩角差的正弦公式求.【詳解】（Ⅰ），，.又均為銳角，，，.（Ⅱ）又，.【點睛】三角函數(shù)的中的化簡求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.20.已知①；②；③，在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.設正項等比數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，，，對都有成立.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，得，從而求出；選①有則，選②，，選③由得，，從而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，結(jié)合錯位相減法即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）時，，時，，又符合上式，，因為為正項等比數(shù)列，.選①，，或（舍）選②，，選③由得，或（舍），（2）①②①-②得：．21.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關系解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因為所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關系的應用，解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關系.22.等差數(shù)列的前項和為；數(shù)列中，，且滿足．（1）求的通項；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）