江蘇省南通市第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省南通市第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，，滿足，則的取值范圍是A. B.C. D.2．已知集合A=，B=，則A.AB= B.ABC.AB D.AB=R3．為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度4．若直線過點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°5．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是A. B.x=πC. D.x=2π6．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．在內(nèi)，不等式解集是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A. B.C. D.9．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}，則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.410．在線段上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)大于1的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式x2-5x+6≤0的解集為______.12．已知某扇形的半徑為，面積為，那么該扇形的弧長為________.13．若，，，則的最小值為______.14．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________15．下面四個(gè)命題：①定義域上單調(diào)遞增；②若銳角，滿足，則；③是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則；④函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是；其中真命題的序號(hào)為______.16．在正三角形中，是上的點(diǎn)，，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)fx=2sin（1）在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)fx2x-0ππ3π2πx3π5π9πf0200完成上述表格，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=fx在區(qū)間0,π（2）求函數(shù)fx（3）求函數(shù)fx在區(qū)間-π18．等腰直角三角形中，，為的中點(diǎn)，正方形與三角形所在的平面互相垂直（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)到平面的距離19．已知函數(shù)（1）若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且20．已知函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（1）當(dāng)取什么值時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？（2）解關(guān)于的方程：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】不妨設(shè)，由，得，結(jié)合圖象可知，，則，令，可知在上單調(diào)遞減，故，則，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)2、A【解題分析】由得，所以，選A點(diǎn)睛:對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理3、B【解題分析】利用誘導(dǎo)公式，的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【題目詳解】解：為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，故選：B4、A【解題分析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【題目詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A5、C【解題分析】利用函數(shù)值是否是最值，判斷函數(shù)的對(duì)稱軸即可【題目詳解】當(dāng)x時(shí)，函數(shù)cos2π＝1，函數(shù)取得最大值，所以x是函數(shù)的一條對(duì)稱軸故選C【題目點(diǎn)撥】對(duì)于函數(shù)由可得對(duì)稱軸方程，由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).6、A【解題分析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【題目詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.7、C【解題分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論【題目詳解】解：在[0，2π]內(nèi)，若sinx，則x，即不等式的解集為（，），故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解不等式，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，再由得答案【題目詳解】∵函數(shù)和在上均為增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù)，∵，，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查了初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9、C【解題分析】畫圖可知四個(gè)零點(diǎn)分別為－1和3，和e，但注意到f(x)的定義域?yàn)閤>0，故選C.10、B【解題分析】設(shè)“所取點(diǎn)坐標(biāo)大于1”為事件A，則滿足A的區(qū)間為[1,3]根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，故選B.點(diǎn)睛：(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)即可求解.【題目詳解】由x2-5x+6≤0，可以看作拋物線，拋物線開口向上，與x軸的交點(diǎn)為，∴，即原不等式的解集為.12、【解題分析】根據(jù)扇形面積公式可求得答案.【題目詳解】設(shè)該扇形的弧長為,由扇形的面積,可得,解得.故答案.【題目點(diǎn)撥】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】利用基本不等式求出即可.【題目詳解】解：若，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)則的最小值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、##【解題分析】由冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則即可求解.【題目詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.15、②③④【解題分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷①真假；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，可以判斷③的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，我們可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案【題目詳解】解：由正切函數(shù)的單調(diào)性可得①“在定義域上單調(diào)遞增”為假命題；若銳角、滿足，即，即，則，故②為真命題；若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，若，則，則，故③為真命題；由函數(shù)則當(dāng)時(shí)，故可得是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故④為真命題；故答案為：②③④【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，偶函數(shù)，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵16、【解題分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的定義式，結(jié)合向量的特點(diǎn)，可以確定，故答案為考點(diǎn)：平面向量基本定理，向量的數(shù)量積，正三角形的性質(zhì)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）單調(diào)遞增區(qū)間：-π8（3）-2,【解題分析】(1)利用給定的角依次求出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，進(jìn)而填表，結(jié)合“五點(diǎn)法”畫出圖象即可；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間計(jì)算即可；(3)根據(jù)x的范圍求出2x-π4【小問1詳解】2x-0ππ3π2πxπ3π5π7π9πf020-20函數(shù)圖象如圖所示，【小問2詳解】令-π2+2kπ≤2x-得-π8+kπ≤x≤所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間：-π8【小問3詳解】因?yàn)閤∈-π4所以sin2x-當(dāng)2x-π4=-π2當(dāng)2x-π4=π4所以函數(shù)fx在區(qū)間-π418、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）連,交于,連,由中位線定理即可證明平面.（Ⅱ）根據(jù),由等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】（Ⅰ）連,設(shè)交于,連,如下圖所示:因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),則面,不在面內(nèi)，所以平面（Ⅱ）因?yàn)榈妊苯侨切沃?則,又因?yàn)樗云矫鎰t設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.注意到，由,代入可得：，解得.即點(diǎn)到平面的距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面平行的判定,等體積法求點(diǎn)到平面距離的方法,屬于中等題.19、（1）（2）證明見解析.【解題分析】（1）把已知條件轉(zhuǎn)化成大于在上的最小值即可解決；（2）先求導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，圖像走勢(shì)，再判斷函數(shù)零點(diǎn)，隱零點(diǎn)問題重在轉(zhuǎn)化.【小問1詳解】由得，則在上單調(diào)遞增，在上最小值為若，成立，則必有由，得故實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問2詳解】在上單調(diào)遞增，且恒成立，最小正周期，在上最小值為由此可知在恒為正值，沒有零點(diǎn).下面看在上的零點(diǎn)情況.，，則即在單調(diào)遞增，，故上有唯一零點(diǎn).綜上可知，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).令，則，令，則即在上單調(diào)遞減，故有20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系得出實(shí)數(shù)a，b的值；（2）不等式f（x）≥1－x2等價(jià)于，結(jié)合基本不等式得出實(shí)數(shù)a的取值范