銀行排隊問題的模型化求解

銀行排隊問題的模型化求解

經(jīng)濟發(fā)展為銀行帶來了繁榮，但也帶來了不可避免的問題。我最近都聽到了銀行工作人員的名單。針對這個問題，許多銀行采取了適當(dāng)?shù)拇胧?，如調(diào)整銀行的銷售渠道，并允許顧客使用自助設(shè)備，但效果并不明顯。排隊論是研究系統(tǒng)由于隨機因素干擾而出現(xiàn)排隊現(xiàn)象的一門學(xué)科,能夠在研究各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上,解決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題.將泊松過程與排隊論結(jié)合,并應(yīng)用到銀行窗口服務(wù)中研究,是解決銀行排隊問題的一次新角度嘗試.1相關(guān)理論1.1泊松過程定義泊松過程是應(yīng)用最廣泛的一類隨機過程,它常用來描述排隊系統(tǒng)中顧客到達的過程.記N(t)為時間區(qū)間[0,t)(t>0)內(nèi)發(fā)生的事故數(shù),如果N(t)是一個隨機變量,那么{N(t)|t∈(0,t)}就稱為一個隨機過程.泊松過程的定義為:對于隨機過程{N(t),t≥0},如果滿足(2)具有獨立增量;(3)在任何長度為t的時間內(nèi),發(fā)生的事件數(shù)服從參數(shù)為λt的泊松分布.則稱上述過程為泊松過程,且λ為其強度.1.2顧客的到達數(shù)不相重疊的區(qū)間內(nèi),顧客的到達數(shù)不相重疊如果N(t)為時間區(qū)間[0,t)(t>0)內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù),那么N(t)是一個隨機變量,且{N(t)|t∈(0,t)}是一個隨機過程.若該隨機過程滿足:(1)在不相重疊的區(qū)間內(nèi),顧客的到達數(shù)是相互獨立的;(2)在時間區(qū)間[t,t+Δt)內(nèi),顧客的到達與時間起始點t無關(guān),而只與區(qū)間長度Δt有關(guān);1.3確定服務(wù)窗口數(shù)量的方法一般的排隊系統(tǒng)由三個基本部分組成:輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機構(gòu).當(dāng)研究的是多服務(wù)臺單隊列隊時,排隊過程見圖1.銀行排隊問題是一個典型的并列多服務(wù)臺單隊排隊系統(tǒng),可表示為M/M/s模型.它是指輸入過程為泊松輸入、服務(wù)時間服從負指數(shù)分布、共有s個服務(wù)窗口的排隊系統(tǒng)模型.現(xiàn)對該模型所用到的一些數(shù)量指標(biāo)符號作下述規(guī)定:L:平均隊長,表示系統(tǒng)中的顧客數(shù),是排隊等候的顧客和正在接受服務(wù)的顧客的總和.Lq:平均列隊長,表示系統(tǒng)中排隊等候的顧客數(shù).μ:平均服務(wù)速率,即單位時間內(nèi)服務(wù)完畢離去的顧客數(shù).ρ:服務(wù)強度,表示每個服務(wù)窗口單位時間內(nèi)的平均服務(wù)時間,有公式成立,且只有當(dāng)ρ<1時才不會排成無限的隊列.從狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系分析M/M/s模型,可以得到:用遞推法解上述差分方程,得到狀態(tài)概率:于是求得各指標(biāo)如下:平均隊長平均列隊長平均逗留時間平均等待時間根據(jù)上述各表達式可以知道,只要確定了顧客到達的平均速率λ和平均服務(wù)速率μ,即可計算出W和Wq,進而確定服務(wù)窗口數(shù)量.1.4最佳服務(wù)臺數(shù)目的確定銀行排隊系統(tǒng)包括顧客和銀行兩方面.顧客總是希望逗留時間越短越好,服務(wù)窗口數(shù)目越多越好、服務(wù)效率越高越好,而這些往往會使得銀行的服務(wù)費用大大增加,有損銀行的利益.因此,在考慮銀行排隊的優(yōu)化問題時,應(yīng)從顧客和銀行雙方的利益出發(fā),以費用作為指標(biāo),進行考察.至于最佳服務(wù)臺數(shù)目s*的確定,在M/M/s模型中,服務(wù)臺數(shù)可控,取單位時間全部費用的期望值的最小者,即其中s為服務(wù)臺數(shù),cs是每個服務(wù)臺單位時間的成本,cw是每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費用.cs和cw均可人為給定.運用邊際分析法有結(jié)合(6)和(7)式并化簡得此時,依次求s=1,2,…時的L值,并計算相鄰兩個L值的差,鑒于cs/cw是已知數(shù),故可根據(jù)該數(shù)落在哪個不等式的區(qū)間來確定最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)s*.2顧客基本特征與統(tǒng)計2.1數(shù)據(jù)處理以某銀行為研究對象,對其進行多次實際調(diào)查和統(tǒng)計,選取其中一天上午9點30分到11點30分內(nèi)所到達顧客的相關(guān)信息進行匯總整理,得到樣本數(shù)據(jù).部分數(shù)據(jù)見表1.2.2流量過程服從泊松分布結(jié)合表1的數(shù)據(jù),運用SPSS統(tǒng)計軟件進行單樣本K-S檢驗,結(jié)果見表2.a.檢驗分布為Poisson分布.b.根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到.由于P=0.992>0.05,故可認為銀行顧客流量過程服從泊松分布.同時還可以知道,顧客到達的平均速率λ=5(人/10分鐘)=0.5(人/分鐘).同理可驗證銀行排隊系統(tǒng)的服務(wù)時間服從負指數(shù)分布,且還可得到每個窗口的平均服務(wù)速率μ=3(人/10分鐘)=0.3(人/分鐘).2.3閑置概率結(jié)合公式(1)-(5),可以得到s取不同值時各指標(biāo)對應(yīng)的計算值.窗口空閑概率由表3知,當(dāng)銀行設(shè)置3個服務(wù)窗口時,減少排隊人數(shù)3.772-0.377=3.395≈3人,排隊問題可以得到較好解決;但當(dāng)設(shè)置4個服務(wù)窗口時,減少的排隊人數(shù)0.377-0.074=0.303人,排隊問題沒能得到很好解決.2.4服務(wù)窗口數(shù)目的確定鑒于經(jīng)驗分析,假設(shè)cs為1(元/分鐘),cw為0.8(元/分鐘).結(jié)合上表和式子(6)、(8),得到表4.則由于cs/cw=1.25,落在區(qū)間(0.573,3.393)內(nèi),所以s*為3.且從上表中的最右邊一列也可驗證,當(dāng)設(shè)置3個服務(wù)窗口時的總費用是最小的,即minZ(s*)=Z(3)=css+cwL=13+0.82.045=4.636(元)綜上,在該時間段內(nèi),當(dāng)該銀行設(shè)置的服務(wù)窗口數(shù)目為3時,顧客和銀行的利益達到最優(yōu)平衡.同時,根據(jù)觀察得知,此結(jié)論與當(dāng)前銀行的實際情況相符.3平均醫(yī)院等待時間和顧客離口距離(1)將泊松過程與排隊論結(jié)合,驗證了在銀行排隊系統(tǒng)中,顧客流量服從泊松分布,而窗口服務(wù)時間服從負指數(shù)分布.(2)通過對基于泊松過程和排隊論的銀行窗口排隊問題的實際應(yīng)用,驗證了二者的結(jié)合是解決銀行排隊問題的一種新途徑,且能夠為銀行的窗口數(shù)設(shè)置、最優(yōu)系統(tǒng)問題提供決策支持.W:平均逗留時間,包括等待時間和服務(wù)時間.Wq:平均等待時間,也稱平均排隊等待時間.P