多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型mgc的malab模擬

多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型mgc的malab模擬

0計(jì)算機(jī)病毒的仿真研究隊(duì)列理論或隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論是對(duì)服務(wù)對(duì)象的到來和服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出等待時(shí)間隊(duì)列長度、服務(wù)時(shí)間短等數(shù)量指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。然后，根據(jù)這些規(guī)律，我們可以改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，組織服務(wù)對(duì)象，使服務(wù)系統(tǒng)能夠滿足服務(wù)對(duì)象的需求，使組織的成本更經(jīng)濟(jì)，或獲得更多指標(biāo)。這些指標(biāo)通常可以通過數(shù)學(xué)來獲得。然而，在實(shí)際問題中，由于數(shù)學(xué)的普及，使用計(jì)算機(jī)模擬方法成為解決這種問題的有效方法。國內(nèi)外科學(xué)家在研究這一問題方面取得了一些成果。例如，張建軍等人在報(bào)紙上發(fā)表了蒙特卡羅模型的團(tuán)隊(duì)模型m.m1。模仿了團(tuán)隊(duì)模型中的團(tuán)隊(duì)模型，并接受了客戶的等待時(shí)間和系統(tǒng)經(jīng)理。李鶴儀等人模擬了團(tuán)隊(duì)模型的有限隊(duì)長，模擬了每個(gè)客戶的到達(dá)時(shí)間和離開時(shí)間曲線、等待時(shí)間和返回時(shí)間曲線。吳克嘉在excel上執(zhí)行了多個(gè)團(tuán)隊(duì)模型的模擬，并得出結(jié)論，學(xué)校大廳應(yīng)該增加一個(gè)窗口來滿足服務(wù)需求。但是，對(duì)于多服務(wù)站點(diǎn)的等待系統(tǒng)模型mgc的模擬是罕見的。在這項(xiàng)工作中，我們使用了蒙特卡洛模型方法，并研究了mgc模型的模擬算法。1愿待時(shí)間排隊(duì)論是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法,排隊(duì)論的排隊(duì)規(guī)則分為3類:損失制、等待制和混合制.其中,損失制是指顧客到達(dá)時(shí),如果所有服務(wù)臺(tái)都沒有空閑,該顧客不愿等待,就隨即從系統(tǒng)消失;等待制是指顧客到達(dá)時(shí),如果所有服務(wù)臺(tái)都沒有空閑,他們就排隊(duì)等待;混合制是指既有等待又有損失的情況,如顧客等待時(shí)考慮排隊(duì)的隊(duì)長、等待時(shí)間的長短等因素而決定去留.本文所模擬的是多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型M/G/c/∞,系統(tǒng)空間是無限的,顧客來源也是無限的,即設(shè)系統(tǒng)有c個(gè)服務(wù)窗口并聯(lián)排列,各服務(wù)窗口獨(dú)立工作,又各窗口的服務(wù)時(shí)間服從一般分布G,假設(shè)顧客按參數(shù)為λ的泊松分布到達(dá),即顧客到達(dá)的間隔服從指數(shù)分布,如果顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)c個(gè)服務(wù)窗都忙著,則顧客排隊(duì)等待,并且假設(shè)各個(gè)服務(wù)窗口工作時(shí)相互獨(dú)立的遵循先到先服務(wù)原則,允許永遠(yuǎn)排隊(duì).2考慮隨機(jī)現(xiàn)象的模型建立1)在各種統(tǒng)計(jì)計(jì)算中常需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù),而大多數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生均基于均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù),產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本方法有三種,逆變換法,合成方法,篩選方法.這里我們用擬變換法來產(chǎn)生分布函數(shù)的隨機(jī)數(shù).首先介紹逆變換法.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X),定義F-1(y)=inf{x∶F(x)≥y}?0≤y≤1,有如下定理:定理設(shè)隨機(jī)變量U～U(0,1),則X=F-1(U)的分布函數(shù)為F(x).由此定理我們可以知道要產(chǎn)生來自F(x)的隨機(jī)數(shù),只要先產(chǎn)生來自U(0,1)的隨機(jī)數(shù)u,然后計(jì)算F-1(u)即可,具體步驟是首先由U(0,1)抽取u,然后計(jì)算x=F-1(u),其中F-1如上訴中定義.當(dāng)我們得到了分布函數(shù)的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法以后,我們就可以進(jìn)行隨機(jī)模擬了,隨機(jī)模擬方法也稱為蒙特卡洛模擬方法,它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ),利用電子計(jì)算機(jī)數(shù)字模擬技術(shù),解決一些很難直接用數(shù)學(xué)求解或用其他方法不能解決的問題,它的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用一連串的隨機(jī)數(shù)來模擬可能出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象.2)仿真系統(tǒng)模擬,設(shè)T為模擬系統(tǒng)的總服務(wù)時(shí)間,t為時(shí)間變量,t1為顧客的到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間,d為1×c矩陣,第j列記錄第j個(gè)服務(wù)臺(tái)上顧客的離開的時(shí)間,t2=min(d),即顧客最早離開服務(wù)臺(tái)的時(shí)間,n為在t時(shí)刻當(dāng)前到達(dá)系統(tǒng)中的顧客數(shù),A為在t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)中的所有顧客總數(shù).設(shè)循環(huán)變量為i,g(i)記錄在一次循環(huán)中不同事件發(fā)生的時(shí)間間隔,h(i)記錄在一次循環(huán)中系統(tǒng)中的顧客數(shù),c為1×c矩陣,記錄c個(gè)服務(wù)臺(tái)的工作狀態(tài),其中元素為1表示該服務(wù)臺(tái)正忙,元素為0表示該服務(wù)臺(tái)處于空閑狀態(tài),設(shè)變量b為系統(tǒng)當(dāng)前的顧客數(shù).模擬算法;Step1初始化,輸入模擬系統(tǒng)的總服務(wù)時(shí)間T,設(shè)t=0,n=0,A=0此時(shí)系統(tǒng)中沒有顧客,所有服務(wù)臺(tái)都空閑,c矩陣各列元素都為0,d矩陣各列元素都是∞,b=0.Step2產(chǎn)生第一個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間t1,這時(shí)循環(huán)變量i=0.Step3進(jìn)入循環(huán),i=i+1,h(i)=b,如果t1<T,則有g(shù)(i)=min(t1-t2)-t,否則結(jié)束.Step4如果t1<t2,說明顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間小于服務(wù)臺(tái)上顧客的離開時(shí)間,使t=t1,產(chǎn)生下一顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間t1,這時(shí)總顧客數(shù)多了一個(gè),A=A+1,n=n+1,b=n,即系統(tǒng)中的顧客數(shù)也加1,如果有c(j)=0,說明第j個(gè)服務(wù)臺(tái)空閑,將系統(tǒng)中的顧客分配給第j個(gè)服務(wù)臺(tái),同時(shí)產(chǎn)生第j個(gè)服務(wù)臺(tái)上顧客的離開時(shí)間.Step5如果t1≥t2,說明有顧客離開服務(wù)臺(tái),使t=t2,系統(tǒng)中的顧客減少了一個(gè),n=n-1,b=n,此時(shí)如果系統(tǒng)中還有顧客,就上前服務(wù),同時(shí)產(chǎn)生其離開時(shí)間,然后轉(zhuǎn)Step3,直至t1>T.3數(shù)值模擬結(jié)果實(shí)例1設(shè)有3個(gè)打字員,平均打印文件的速度為μ=6份/小時(shí),文件到達(dá)率為15份/小時(shí),試求1)在打字室內(nèi)現(xiàn)在有的平均文件數(shù);2)每份文件在打字室平均停留時(shí)間;3)3個(gè)打字員均不空閑的概率.我們可以看到這是M/M/c/∞模型,運(yùn)用排隊(duì)論的數(shù)學(xué)計(jì)算公式有:c=3?λ=15?μ=6?ρ1=λμ=2.5?ρ=λcμ=56p0=(c-1∑k=0ρk1k!+ρc1c!×11-ρ)-1=(1+2.5+12×2.5×2.5+16×2.53×11-56)-1=0.0449p1=ρ1p0=2.5×0.0449=0.1123p2=12×ρ21p0=0.5×2.5×2?5×0.0449=0.1403L=ρc+11p0(n-1)!(n-ρ1)2+ρ1=154×0.044964×2×(3-0.5)2+2.5=6.01W=Lλ=6.0115=0.4407?p=1-p0-p1-p2=0.7025.如果用上文給出的方法進(jìn)行仿真,題中顧客的到達(dá)時(shí)間和接受服務(wù)的時(shí)間都服從泊松過程,由概率知識(shí)可知,當(dāng)隨機(jī)過程是強(qiáng)度為λ的泊松過程時(shí),其點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,即f(t)={λe-λtt?00t≤0相應(yīng)的分布函數(shù)為F(t)={1-λe-λtt?00t≤0因此由上述定理我們可以得到t=-1λln(1-F(t)),由于F(t)～U(0,1)分布,因此1-F(t)～U(0,1),模擬泊松過程到達(dá)的時(shí)間間隔公式為ti=-1λlnui?i=1?2??,其中ui～U(0,1),將λ=15和μ=6分別代入,就得到顧客到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)數(shù),根據(jù)算法,編寫Matlab程序,模擬100次,取平均值,結(jié)果如表1:對(duì)比理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),兩者非常接近,說明本文提出仿真方法有效可行,我們可以通過增加模擬次數(shù)來提高模擬精度.實(shí)例2某高校工商銀行設(shè)有三個(gè)服務(wù)臺(tái),營業(yè)時(shí)間為早上8時(shí)到下午16時(shí),新來的顧客到達(dá)后,若已有顧客正在接受服務(wù),則需要排隊(duì)等待.假設(shè)顧客流為負(fù)指數(shù)分布,且顧客到來的平均時(shí)間間隔為2.5min,窗口的服務(wù)時(shí)間服從U(2,4)分布,求系統(tǒng)隊(duì)長,顧客的逗留時(shí)間和顧客的等待概率.由題可知,為M/G/c/∞模型,其中G～U(2,4),該模型不具有馬爾可夫性,用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式比較困難的,這時(shí)可以用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬,首先產(chǎn)生窗口服務(wù)時(shí)間U(a,b)的隨機(jī)數(shù),其密度函數(shù)如下:f(t)={1b-a,a≤t≤b0其他.相應(yīng)的分布函數(shù)為∶F(t)={0t<at-ab-aa≤t?b1t≥b由逆變換法,有ti=a+(b-a)ui,i=1,2,…,ui～U(0,1).此題中,a=2,b=4,由U(0,1)抽得u,則t=2+2u是來自u(píng)(2,4)的一個(gè)隨機(jī)數(shù),有了窗口服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)數(shù),我們就可以根據(jù)前面介紹的算法編寫Matlab程序,模擬100次,結(jié)果如表2.4基于系統(tǒng)模擬的仿真本文用蒙特卡羅的思想,涉及了排隊(duì)模型的仿真算法,并驗(yàn)證了該算法的有效性,蒙特卡洛模擬法在求解排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)中,有一定的優(yōu)越性和實(shí)用性,并且在其他排隊(duì)系統(tǒng)的模擬中均有指導(dǎo)意義,由于隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)本身的概率規(guī)律性,要用解析的方法來處理一個(gè)復(fù)雜的隨