2021年陜西省西安市長慶石油勘探局長慶第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021年陜西省西安市長慶石油勘探局長慶第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．圖像關(guān)于點對稱參考答案：C由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，對于A中，由，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增是正確的；對于B中，令，則，∴函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱是正確的；對于C中，，則，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，∴不正確；對于D中，令，則，∴圖像關(guān)于點對稱是正確的，故選C．2.已知是雙曲線（）的兩個焦點．若雙曲線上存在一點P，使得，，成等差數(shù)列，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知，是非零向量，它們之間有如下一種運算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．給出下列命題：①?=?；②λ（?）=（λ）?；③（+）?=?+?；④⊥??=||||；⑤若=（x1，y1），=（x2，y2），則?=|x1y2﹣x2y1|．其中真命題的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用新定義直接判斷①②的正誤；利用向量的運算判斷③的正誤；利用新定義判斷④的正誤；利用新定義化簡求解判斷⑤的正誤；【解答】解：∵，是非零向量，它們之間有如下一種運算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．對于①，?=||||sin＜，＞，?=||||sin＜，＞，∴?=?，∴①正確；對于②，λ（?）=λ||||sin＜，＞，（λ）?=|λ|||sin＜λ，＞，λ≥0時相等，λ＜0時，兩式不相等，∴②不正確；對于③，（+）?=?+?，滿足加法對乘法的結(jié)合律，∴③正確；對于④，⊥，∴sin＜，＞=1??=||||；∴④正確；對于⑤，設(shè)和的起點均為O，終點為A、B，=（x1，y1），=（x2，y2），則?=2S△OAB=|x1y2﹣x2y1|．∴⑤正確；正確命題有4個．故選：C．4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：.考點：1、程序框圖與算法；5.設(shè)，則的值是（

）

A、 B、

C、

D、參考答案：C略6.若集合S={}，T={}，則ST等于（

）A．(-1，2)

B.(0，2)

C．(-1，)

D.(2，)參考答案：D略7.函數(shù)的圖象（

）A、關(guān)于原點對稱

B、關(guān)于直線y=－x對稱

C、關(guān)于y軸對稱

D、關(guān)于直線y=x對稱

參考答案：A略8.函數(shù)y=的值域為（）A．[0，+∞） B．（0，1） C．[0，1） D．[0，1]參考答案：C【考點】函數(shù)的值域．【分析】由題意得0≤1﹣＜1，從而求函數(shù)的值域．【解答】解：∵0≤1﹣＜1，∴0≤＜1，即函數(shù)y=的值域為[0，1）；故選C．9.某次演出共有6位演員參加，規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場，乙和丙必須排在相鄰的順序出場，請問不同的演出順序共有（

）A.24種 B.144種 C.48種 D.96種參考答案：D【分析】先安排甲有2種方案，再安排乙和丙有種方案，最后安排剩余的三個演員有種方案，根據(jù)分步計數(shù)原理可得.【詳解】第一步，先安排甲有種方案；第二步，安排乙和丙有種方案；第三步，安排剩余的三個演員有種方案，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有種方案.故選D.【點睛】本題主要考查計數(shù)原理，先明確是利用分步計數(shù)原理還是分類計數(shù)原理，再求解每一步不同的方案，特殊元素，特殊位置優(yōu)先考慮安排，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).10.設(shè)a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊。已知，c＝2，且asinA＝2bcosAcosC＋2ccosAcosB，則a＝A.1

B.2

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，三棱錐的頂點，，，都在同一球面上，過球心且，是邊長為等邊三角形，點、分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的最大值為__________．參考答案：解：設(shè)，∵為中點，，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴是三棱錐的高，，∴，，在中，，，∴，，∴．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴三棱錐體積的最大值為．故答案為．12.已知函數(shù)f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,則a的取值范圍是_______________.參考答案：1<a<

13.已知函數(shù)f（x）=﹣x，且對任意的x∈（0，1），都有f（x）?f（1﹣x）≥1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≥1或a【考點】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】化簡所求f（x）?f（1﹣x）≥1為+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，列出不等式，解出它們，求并集即可．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=﹣x，f（x）?f（1﹣x）≥1即為（﹣x）（﹣1+x）≥1，則+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），則上式即為+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），對稱軸t=﹣a，若a，則區(qū)間（0，]為增，則f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，則區(qū)間（0，]為減，則f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a則有a；若0＜﹣a≤，則有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈?．綜上可得，a≥1或a．故答案為：a≥1或a．14.已知等比數(shù)列的前三項依次為,則

參考答案：15.對任意，函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項的和為，則

．參考答案：3/416.設(shè)向量滿足,,則

參考答案：【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．1解：∵,,

∴分別平方得兩式相減得，

即，故答案為：1．【思路點撥】將等式進行平方，相加即可得到結(jié)論．17.若，則

．參考答案：,∴，平方得：，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）數(shù)列滿足：，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.參考答案：(Ⅰ)

又,

數(shù)列是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

既

所以…………6分（Ⅱ）.由(Ⅰ)知：

令賦值累加得,

∴……12分19.某高中畢業(yè)學(xué)年，在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時成績按“百分制”折算，排出前n名學(xué)生，并對這n名學(xué)生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．（Ⅰ）請在圖中補全頻率分布直方圖；（Ⅱ）若Q大學(xué)決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行面試．①若Q大學(xué)本次面試中有B、C、D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認(rèn)可即面試成功，且面試結(jié)果相互獨立，已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為、，，求甲同學(xué)面試成功的概率；②若Q大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生接受考官B的面試，第3組中有ξ名學(xué)生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；分層抽樣方法；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由第四組的人數(shù)能求出總?cè)藬?shù)，由此能補全頻率分布直方圖．（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，由此利用獨立事件概率公式能求出甲同學(xué)面試成功的概率．②由題意得，ξ=0，1，2，3，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）∵第四組的人數(shù)為60，∴總?cè)藬?shù)為：5×60=300，由直方圖可知，第五組人數(shù)為：0.02×5×300=30人，又為公差，∴第一組人數(shù)為：45人，第二組人數(shù)為：75人，第三組人數(shù)為：90人（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，則P（A）=…..②由題意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列為：ξ0123P…..20.設(shè)Sn為數(shù)列{an}前n項和，對任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，數(shù)列{bn}滿足，b1=2a1，（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的通項公式；（3）求數(shù)列的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題．【分析】（1）當(dāng)n=1時，由a1=S1=2﹣a1，可求a1，n≥2時，由an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=與an﹣1之間的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求an（2）由，可得，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求，進而可求bn（3）由（1）（2）可求，利用錯位相減求和即可求解【解答】（本小題滿分14分）證明：（1）當(dāng)n=1時，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1．

…當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1．∴．

…∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，即．

…解：（2）b1=2a1=2．

…∵，∴，即．

…∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列．

…∴，…（3）∵，則．

…所以，…即，①…則，②…②﹣①得，…（13分）故．

…（14分）【點評】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，還考查了錯位相減求和方法的應(yīng)用21.已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．（1）證明：PF⊥FD（2）若PA=1，求點A到平面PFD的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）連接AF，通過計算利用勾股定理證明DF⊥AF，證明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后證明DF⊥PF．（2）通過VA﹣PFD=VP﹣AFD，轉(zhuǎn)化求解點A到平面PFD的距離即可