統(tǒng)考版2023高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第二篇必備知識為基練基礎(chǔ)快增分第4講計數(shù)原理二項式定理理

第4講計數(shù)原理、二項式定理考點一計數(shù)原理與排列組合——分類加法、分步乘法，有序排列，無序組合導(dǎo)向性考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，以生活應(yīng)用為主．原則性排列與組合相結(jié)合，屬冷考點．1.[2022·福建莆田市莆田二中高三月考]2021年1月初，河北某區(qū)域的“新冠疫情”出現(xiàn)明顯反彈，相關(guān)部門緊急從H省抽調(diào)包括甲、乙在內(nèi)的七名醫(yī)療專家進駐該區(qū)域的三個疫情“高風(fēng)險”地區(qū)進行協(xié)助防控，要求每個地區(qū)至少安排兩名專家，則甲、乙兩名專家安排在不同地區(qū)的概率為()A.1621B．1021C．13142．四色定理(Fourcolortheorem)又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里(FrancisGuthrie)提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”四色問題的證明進程緩慢，直到1976年，美國數(shù)學(xué)家運用電子計算機證明了四色定理．現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有()A.18種B．36種C．48種D．72種3．[2022·長沙市湖南師大附中高三月考]如圖，洛書(古稱龜書)是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)．若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中隨機選取3個數(shù)，則選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為()A.30B．40C．42D．444．[2022·峨山彝族自治縣第一中學(xué)模擬]在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有()A.56個B．57個C．58個D．60個練后領(lǐng)悟解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．警示注意排列、組合問題的3個易錯點：(1)分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，有重復(fù)或遺漏；(2)混淆排列問題與組合問題；(3)解決捆綁問題時，忘記“松綁”后的全排列．考點二二項式定理——抓住“通項”公式，區(qū)分兩種系數(shù)導(dǎo)向性求展開式中的特定項或其系數(shù)，考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．原則性與代數(shù)式運算交匯，屬冷考點．1.[2022·銀川市銀川一中高三模擬](x＋13x)8的展開式中的常數(shù)項為(A.8B．28C．56D．702．[2022·江西景德鎮(zhèn)一中模擬]x+2x+15的展開式中，xA.8B．9C．10D．203．[2022·河北饒陽中學(xué)高三](x＋x＋1)·(x-2x)6的展開式中x2的系數(shù)為A.72B．60C．48D．364．[2022·張家口市宣化第一中學(xué)高三月考]令(x＋1)2020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2020x2019＋a2021x2020(x∈R)，則a2＋2a3＋…＋2019a2020＋2020a2021＝()A.2019·22019B．2019·22020C.2020·22019D．2020·220205．如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn)．設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則mnx2-1A.15B．－15C．1354D．－練后領(lǐng)悟1．利用二項式定理求解相關(guān)問題的兩種常用思路(1)二項式定理中最關(guān)鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的．(2)二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值．2．應(yīng)用通項公式時的注意點(1)它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定．(2)Tr＋1是展開式中的第r＋1項，則不是第r項．(3)公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置．(4)對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題．第4講計數(shù)原理、二項式定理考點一1．解析：記事件A為“甲、乙兩名專家安排在不同地區(qū)”，則基本事件的總數(shù)為C72C52A22C33×A33＝630(種)．甲，乙兩名專家安排在相同地區(qū)共有C51答案：A2．解析：涂色方案可分為兩類，第一類只使用3種顏色的涂色方案，第二類使用4種顏色的涂色方案，只使用3種顏色的涂色方案有4×3×2種，使用4種顏色的涂色方案4×3×2×2種，所以不同的染色方案有4×3×2×(2＋1)＝72種．故選D.答案：D3．解析：根據(jù)題意，4個陰數(shù)即4個偶數(shù)：2、4、6、8；5個陽數(shù)即1、3、5、7、9，從中任選3個，使選出的三個數(shù)的和為奇數(shù)，共有兩種可能：①選出的3個數(shù)都是奇數(shù)，有C②選出的3個數(shù)有綜上所述，一共有30＋10＝40種選法．故選B.答案：B4．解析：第一類23154，有1個，第二類234**形式，有2個，第三類235**形式，有2個，第四類24***形式，有A33＝6個，第五類25***形式，有A33＝6個，第六類3****形式，有A44＝24個，第七類41***形式，有A33＝6個，第八類42***形式，有A33＝6個，第九類答案：C考點二1．解析：x+13x8的展開式的通項公式為Tr＋1＝C8rx8－r1令8－43r＝0，得r＝6所以x+13x故選B.答案：B2．解析：1+x+2x5＝1+x+2x+2xr的展開式通項為Bk＋1＝Crk·xr－所以1+x+Tr＋1，k＋1＝C5rCrk·2k·xr－3k2，其中0≤k令r-3k2＝1，得r＝3k＋2≤5，得k≤1所以，展開式中x的系數(shù)為C故選D.答案：D3．解析：Tr＋1＝C6r(x)6－r·-2xr＝-2r·C6r·x3－r(r＝0，1令3－r＝1，得r＝2；令3－r＝32，得r＝32?Z，舍去；令3－r＝2，得r故(x＋x＋1)·x-2x6的展開式中x2的系數(shù)為-22·C62+答案：C4．解析：由題可知，ar＋1＝C2020r，對(x＋1)2020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2020x2019＋a2021x2020(x∈R)等式，兩邊分別求導(dǎo)可得：2020(1＋x)2019＝a2＋2a3x＋3a4x2＋…＋2020a2021x所以2020(1＋x)2019＝a2令x＝1，有：2020×22019＝a2＋2a3＋…＋2019a2020＋2020a2021，故選C.答案：C5．解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半