云南省昆明市黃岡實驗學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

云南省昆明市黃岡實驗學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.，2．已知向量，則銳角等于A.30° B.45°C.60° D.75°3．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出任意一對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若根據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A.有最大值為1 B.有最小值為1C.有最大值為 D.有最小值為5．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A B.C. D.6．已知,,,,則A. B.C. D.7．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.8．“是鈍角”是“是第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若，則的值為（）A. B.C. D.10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓柱的高為1，它的兩個底面在直徑為2的同一球面上，則該圓柱的體積為____________；12．一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.13．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且以6為周期，若f(2)=0，則f(x)在區(qū)間(0,10)內(nèi)至少有________零點.14．下列命題中，正確命題的序號為______①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；③向量就是有向線段；④模為的向量叫零向量；⑤向量，共線與向量意義是相同的15．已知扇形的半徑為4，圓心角為，則扇形的面積為___________.16．計算______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道總長度(即的周長)表示為的函數(shù)，并求出定義域；（2）問當(dāng)取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.（提示：.）18．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]（1）若與共線，求x的值；（2）若⊥，求x的值；（3）記f（x）=?，當(dāng)f（x）取得最小值時，求x的值19．已知函數(shù)，（1）證明在上是增函數(shù)；（2）求在上的最大值及最小值.20．“百姓開門七件事，事事都會生垃圾，垃圾分類益處多，環(huán)境保護靠你我”，為了推行垃圾分類，某公司將原處理垃圾可獲利萬元的一條處理垃圾流水線，通過技術(shù)改造后，開發(fā)引進生態(tài)項目.經(jīng)過測算，發(fā)現(xiàn)該流水線改造后獲利萬元與技術(shù)投入萬元之間滿足的關(guān)系式：.該公司希望流水線改造后獲利不少于萬元，其中為常數(shù)，且.（1）試求該流水線技術(shù)投入的取值范圍；（2）求流水線改造后獲利的最大值，并求出此時的技術(shù)投入的值.21．某次數(shù)學(xué)考試后，抽取了20名同學(xué)的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖如下：（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求20位同學(xué)成績的平均分；（3）估計樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)和第80百分位數(shù)（保留三位有效數(shù)字）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】根據(jù)時，一定有一個零點，故只需在時有一個零點即可，列出不等式求解即可.【題目詳解】當(dāng)時，令，即可得，；故在時，一定有一個零點；要滿足題意，顯然，令，解得只需，解得.故選：D【題目點撥】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，涉及對數(shù)不等式的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】因為向量共線，則有，得,銳角等于45°，選B3、B【解題分析】依題意可得，即，即可得到方程，解得即可；【題目詳解】：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B4、C【解題分析】利用基本不等式的性質(zhì)進行求解即可【題目詳解】，，且，（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件5、C【解題分析】利用零點存在定理可得出結(jié)論.【題目詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，，，所以，函數(shù)的零點所在區(qū)間是.故選：C.6、C【解題分析】分別求出的值再帶入即可【題目詳解】因為,所以因為,所以所以【題目點撥】本題考查兩角差的余弦公式．屬于基礎(chǔ)題7、B【解題分析】由題意有，可得，從而可得【題目詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：8、A【解題分析】根據(jù)鈍角和第二象限角的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【題目詳解】因為是鈍角，所以，因此是第二象限角，當(dāng)是第二象限角時，例如是第二象限角，但是顯然不成立，所以“是鈍角”是“是第二象限角”的充分不必要條件，故選：A9、D【解題分析】，故選D.10、A【解題分析】由題可得該幾何體為正方體的一半，截去了一個三棱錐，即得.【題目詳解】由三視圖可知該幾何體為正方體的一半，截去了一個三棱錐，如圖，則其體積為.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由題設(shè)，易知圓柱體軸截面的對角線長為2，進而求底面直徑，再由圓柱體體積公式求體積即可.【題目詳解】由題意知：圓柱體軸截面的對角線長為2，而其高為1，∴圓柱底面直徑為.∴該圓柱的體積為.故答案為：12、【解題分析】根據(jù)反射光線的性質(zhì)，確定反射光線上的兩個點的坐標，最后確定直線的一般式方程.【題目詳解】因為一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，所以點A關(guān)于直線對稱點為，根據(jù)對稱性可知，反射光線所在直線過點，又因為反射光線所在直線又過點，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.13、6【解題分析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【題目詳解】因為f(x)是定義在R上奇函數(shù)且以6為周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的圖象關(guān)于3,0對稱，且f3則f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在區(qū)間(0,10)內(nèi)至少有6個零點.故答案為：6個零點14、④⑤【解題分析】由向量中單位向量，向量相等、零向量和共線向量的定義進行判斷，即可得出答案.【題目詳解】對于①.單位向量方向不同時，不相等，故不正確.對于②.向量，滿足時，若方向不同時，不相等，故不正確.對于③.有向線段是有方向的線段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向線段來表示，二者不等同，故不正確,對于④.根據(jù)零向量的定義，正確.對于⑤.根據(jù)共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正確.故答案為：④⑤15、【解題分析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積【題目詳解】根據(jù)扇形的弧長公式可得，根據(jù)扇形的面積公式可得故答案為：16、11【解題分析】進行分數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)式的運算即可【題目詳解】原式故答案為11【題目點撥】本題考查對數(shù)式和分數(shù)指數(shù)冪的運算，熟記運算性質(zhì)，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），定義域為.（2）當(dāng)或時所鋪設(shè)的管道最短，為米.【解題分析】（1）如圖，因為都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可變形為，令后，則有，其中，故取的最大值米.【題目詳解】（1）.由于，，所以，故.管道的總長度，定義域為.(2).設(shè)，則，由于，所以.因為在內(nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時，取的最大值米.（此時或）.答：當(dāng)或時所鋪設(shè)的管道最短，為米.【題目點撥】在三角變換中，注意之間有關(guān)系，如，，三者中知道其中一個，必定可以求出另外兩個.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用兩向量平行有可得到一個關(guān)于的方程，利用三角函數(shù)恒等變化化簡進而求得x的值.（2）利用兩向量垂直有可得到一個關(guān)于的方程，利用三角函數(shù)恒等變化化簡進而求得x的值.（3）根據(jù)化出一個關(guān)于的方程，再利用恒等變化公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化成，從而找到最小值所取得的x的值.【題目詳解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]與共線，∴，∴tanx=-，∵x∈[0，π]，∴x=（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=（3）f（x）=?=cosx-，∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，∴x-=時，f（x）取得最小值-2，∴當(dāng)f（x）取得最小值時，x=【題目點撥】向量間的位置關(guān)系：兩向量垂直，則，兩向量平行，則.19、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，有最小值2；當(dāng)時，有最大值.【解題分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，直接證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，確定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：在上任取，，且，，，，，，，即，故在上是增函數(shù)；（2）解：由（1）知：在上是增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值2；當(dāng)時，有最大值.【題目點撥】本題主要考查證明函數(shù)單調(diào)性，以及由函數(shù)單調(diào)性求最值，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.【解題分析】（1）由題意得出，解此不等式即可得出的取值范圍；（2）比較與的大小關(guān)系，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出函數(shù)的最大值及其對應(yīng)的的值.【題目詳解】（1），，由題意可得，即，解得，因此，該流水線技術(shù)投入的取值范圍是；（2）二次函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸為直線.①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，；②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，【題目點撥】本題考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用，同時也考查了二次函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.21、（1）；（2）；（3）第一四分位