湖南省湘潭市名校2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省湘潭市名校2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.2．在正內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足等式，，則（）A. B.C. D.3．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，給定下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則（）A.16 B.8C.4 D.25．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6．的值是（）A. B.C. D.7．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位8．已知扇形的圓心角為2弧度，其所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則扇形的弧長(zhǎng)等于A. B.C. D.9．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.10．函數(shù)在上的圖象為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，，且，則的最小值為_(kāi)_______12．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.13．用二分法求方程x2＝2的正實(shí)根的近似解(精確度0.001)時(shí)，如果我們選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達(dá)到精確度至少需要計(jì)算的次數(shù)是______________14．已知，，則ab＝_____________.15．正方體中，分別是，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值是_______.16．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（Ⅰ）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，，求值18．已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并說(shuō)明理由；設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．已知且是上的奇函數(shù)，且（1）求的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求取值范圍；（3）把區(qū)間等分成份，記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，設(shè)，記，是否存在正整數(shù)，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，說(shuō)明理由.20．在四面體B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明:;（2）若E是BD的中點(diǎn)，求二面角的大小.21．已知函數(shù)f(x)=（1）求f(x)的最小正周期；（2）當(dāng)x∈[-π6,

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出即可.【題目詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】過(guò)作交于，作交于，則，可得，在中由正弦定理可得答案.【題目詳解】過(guò)作交于，作交于，則，，在中，，，由正弦定理得.故選：A.3、C【解題分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)證明C；【題目詳解】解：對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，若則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，，，滿(mǎn)足，則，，不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，所以，故C正確；對(duì)于D：若，滿(mǎn)足，但是，故D錯(cuò)誤；故選：C4、A【解題分析】利用恒等式可得定點(diǎn)P，代入冪函數(shù)可得解析式，然后可得.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)記，則有，解得所以.故選：A5、D【解題分析】先利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)定義得，再判斷，和的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，即得結(jié)果.【題目詳解】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.，故，而，，即，故，由單調(diào)性知，即.故選：D.6、C【解題分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求出【題目詳解】故選：C7、A【解題分析】，設(shè)，，令，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.選A.8、A【解題分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出半徑r，再計(jì)算弧長(zhǎng)【題目詳解】如圖所示，，，過(guò)點(diǎn)O作，C垂足，延長(zhǎng)OC交于D，則，；中，，從而弧長(zhǎng)為，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，求出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題9、A【解題分析】判斷出三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，可求出，，并判斷，進(jìn)而可得到答案【題目詳解】因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，，所以；因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，恒成立，故的零點(diǎn)小于0，即；因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，，故，故．故選：A．10、B【解題分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)奇偶性求出結(jié)果【題目詳解】函數(shù)的解析式滿(mǎn)足，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，由可知：，排除A選項(xiàng).故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值即可，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】由題設(shè)，知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：4.12、【解題分析】正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積13、7【解題分析】設(shè)至少需要計(jì)算n次，則n滿(mǎn)足，即，由于，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次14、1【解題分析】將化成對(duì)數(shù)形式，再根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式可求ab的值.【題目詳解】，.故答案為：1.15、【解題分析】結(jié)合異面直線所成角的找法，找出角，構(gòu)造三角形，計(jì)算余弦值，即可【題目詳解】連接，而，所以直線與所成角即為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，所以余弦值為【題目點(diǎn)撥】考查了異面直線所成角的計(jì)算方法，關(guān)鍵得出直線與所成角即為，難度中等16、3【解題分析】令f(x)＝0求解即可.【題目詳解】，方程有三個(gè)解，故f(x)有三個(gè)零點(diǎn).故答案為：3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與取交集可得出結(jié)果；（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，利用兩角和的正弦公式可求得的值【題目詳解】（Ⅰ）令，，得，令，得；令，得.因此，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（Ⅱ）由，得，，又，，因此，【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了利用兩角和的正弦公式求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）見(jiàn)解析；（2），【解題分析】代入a的值，求出的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；由題意把函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可【題目詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，又由在遞減，所以遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù)；由，得，即，若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)得，即有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，可化為，即，此時(shí)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，由得：，解得：或，當(dāng)即時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)即時(shí)，若是的零點(diǎn)，則，解得：，若是的零點(diǎn)，則，解得：，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，所以或，，綜上，a的范圍是，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，同時(shí)把函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，合理令二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.19、（1）；（2）；（3）存在，正整數(shù)或2.【解題分析】（1）根據(jù)，，即可求出的值，從而可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性由題意可得到恒成立，然后通過(guò)分類(lèi)討論，根據(jù)二次不等式恒成立問(wèn)題的解決方法即可求出答案；（3）設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.首先根據(jù)，可得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而可得到，；進(jìn)而可求出；再根據(jù)，從而只需求即可.【小問(wèn)1詳解】∵是上的奇函數(shù)，∴，由，可得，，∵，∴，，所以.又，所以為奇函數(shù).所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又為上的奇函數(shù)，所以由，得，所以，即恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為不能恒成立，故不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，要滿(mǎn)足題意，需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】把區(qū)間等分成份，則等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，又，為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?故存在正整數(shù)或2，使不等式有解.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）取AC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,由等腰三角形的性質(zhì),先證平面BFD,再證；（2）連接FE,由（1）可得,,則即為二面角的平面角,進(jìn)而求解即可【題目詳解】（1）取AC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,是正三角形,,又是直角三角形,且,,又,平面BFD,平面BFD,平面BFD,又平面BFD,.（2）連接FE,由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,,,即為二面角的平面角,設(shè)