陜西省西安市國際港務(wù)區(qū)鐵一中陸港初級中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

【初2024屬】2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)測評數(shù)學(xué)（滿分：100+20分時間：100分鐘）一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分，每一小題只有一個選項符合題意）1.下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】一元二次方程是指含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的多項式方程，據(jù)此來判斷即可．【詳解】解：A選項，當(dāng)是，原方程是一次方程，不符合題意；B選項符合一元二次方程的定義；C選項有兩個未知數(shù)，也不符合題意；D選項是分式方程，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程識別，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2.用配方法解一元二次方程，則方程可化為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)配方法的步驟解答即可．【詳解】解：，，，．故選A．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟：1、把原方程化為的形式；2、將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，即將二次項系數(shù)化為1；3、方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；4、再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；5、若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解3.下列說法中錯誤的是（）A.一組鄰邊相等的矩形是正方形B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C.一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形、菱形、平行四邊形、矩形的定義或判定即可得到答案．【詳解】根據(jù)正方形、菱形、平行四邊形的定義知A、B、D正確；一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，選項C錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形、菱形、平行四邊形、矩形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題意，牢記相關(guān)概念．4.關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k≤﹣ B.k≤﹣且k≠0 C.k≥﹣ D.k≥﹣且k≠0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，則k的取值范圍是k≥﹣且k≠0．故選：D．【點睛】此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式的運用．5.向上拋擲兩枚相同的硬幣，落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出表格表示出所有等可能的情況，再找出符合出現(xiàn)一正面、一反面的情況，最后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下，第二次第一次正反正正，正反，正反正，反反，反由表格可知共有4種等可能得情況，其中出現(xiàn)一正面、一反面的情況有2種，∴落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是．故選：C．【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的情況是解題關(guān)鍵．6.如圖，在矩形中，對角線相交于點O，點E、F分別是的中點，連接，若，，則的長是（）A.5 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出，從而求出．再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴．∵點E、F分別是的中點，∴為的中位線，∴．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．7.如圖，正方形和正方形中，點在上，，，是的中點，則的長是（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】連接、，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，，則，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，求的長．【詳解】解：如圖，連接、，正方形和正方形中，，，，，，，由勾股定理得，，是的中點，．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.某公司今年銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤10萬元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同．設(shè)2，3月份利潤的月增長率為x，那么x滿足的方程為（）A.B.C.10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D.【答案】D【解析】【分析】等量關(guān)系為：一月份利潤+一月份的利潤×（1+增長率）+一月份的利潤×（1+增長率）2=36.4，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：設(shè)二、三月份的月增長率是x，依題意有：，故選D．【點睛】主要考查一元二次方程的應(yīng)用；求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．9.如圖，中，，，，，，則的值為（）A.14 B.11 C.7 D.15【答案】A【解析】【分析】延長交于點F．易證，即得出，．結(jié)合，可判斷為的中位線，即得出，最后由求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于點F．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，∴為的中位線，∴，∴．故選A．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．10.用兩個全等且邊長為4的等邊三角形和拼成菱形．把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)?shù)拿娣e是時，的長為（）A.2或4 B.2或6 C.4或6 D.0或8【答案】B【解析】【分析】過點A作．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出，結(jié)合可求出．又易證，即得出，從而即可得解．【詳解】如圖，過點A作．∵為等邊三角形，∴，∴．∵，即，∴，∴．∵三角尺的角的頂點與點A重合，∴，∴，即．又∵兩個全等且邊長為4的等邊三角形和拼成菱形，∴，，∴，∴；如圖，由（1）可知，∴，∴．∵，∴，即．又∵，，∴，∴．∴的長為2或6．故選B．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）11.順次連接矩形各邊中點所得四邊形為__________形．【答案】菱【解析】【分析】連接、，根據(jù)矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】如圖，連接、，、、、分別是矩形的、、、邊上的中點，，，矩形的對角線，，四邊形是菱形．故答案為：菱．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，將已知根代入方程，求得待定參數(shù)值．【詳解】解：由題意，，∵方程一根為0，∴，解得（舍去），．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，方程根的定義，解方程，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．13.如圖是一個五角星圖案，中間部分的五邊形是一個正五邊形，則圖中的度數(shù)是_________度．【答案】108【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和正多邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴．故答案為：108．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，正多邊形的性質(zhì)．掌握n邊形內(nèi)角和公式為是解題關(guān)鍵．14.西安有“碳水之都”美譽(yù)，現(xiàn)有4張卡片正面分別寫著“碳”“水”“之”“都”，卡片除漢字不同其他別無二致，將卡片正面朝下洗勻，然后同時隨機(jī)抽取2張，剛好抽到“碳”“水”二字的概率是__________．【答案】【解析】【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到抽到“碳”“水”二字的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式進(jìn)行求解即可．詳解】解：設(shè)用A、B、C、D分別表示“碳”“水”“之”“都”這四個字，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽到“碳”“水”二字（即抽到A和B）的結(jié)果數(shù)有2種，∴抽到“碳”“水”二字的概率為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，正確列出對應(yīng)的表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．15.若，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)換元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】，．令，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一元二次方程的解法，本題屬于中等題型．16.如圖，在矩形中，E為上一點，以為邊作矩形，其中經(jīng)過點A，連接，若，，，則的長為__________．【答案】８【解析】【分析】延長，交的延長線于點H，由矩形的性質(zhì)得，，，可證，于是，；中,可證,于是,可證四邊形是平行四邊形,于是；中，，中，，由，得，解得，．【詳解】解：延長，交的延長線于點H，∵四邊形是矩形，∴，．∵四邊形是矩形，∴．∵，，∴．∴．∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴，．∵，∴．∴四邊形是平行四邊形．∴．中，，中，，∵∴解得，．故答案為：８．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)；添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，得到相等線段，相等角是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，計72分，解答應(yīng)寫出過程）17.（1）用公式法解方程：．（2）用配方法解方程：．（3）用分解因式法解：．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用公式法解方程即可；（2）先把一次項移到左邊，然后常數(shù)項移到方程右邊，再配方解方程即可；（3）先移項，然后提取公因式分解因式解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即，∴，∴，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得；（2）∵，∴，∴，∴，∴，解得；（3）∵，∴，∴，即，∴或，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.解方程：．【答案】原方程無解【解析】【分析】解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．依此即可求解．【詳解】解：，去分母得，（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2，去括號得，x2﹣4x+4﹣16＝x2+4x+4，移項合并得，﹣8x＝16，系數(shù)化為1得，x＝﹣2，經(jīng)檢驗：x＝﹣2不是原方程的解，∴原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．19.已知：直線上一點C及其外一點A，求作：菱形，使菱形的邊在直線上．（保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】連接，作線段的垂直平分線，與直線的交點即為點B，以點C為圓心，以長為半徑作弧，與線段的垂直平分線的交點即為點D．【詳解】解：如圖菱形即為所作．【點睛】本題考查作圖—線段的垂直平分線，作圖—作與已知相等的線段，菱形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．20.如圖，在中，是邊上的中線，E是的中點，延長到F，使，連接．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形是平行四邊形，得出．易判斷為的中位線，即得出，從而可根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形．【詳解】解：∵E是的中點，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，即．∵，即點E為中點，∴為的中位線，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．21.接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑.現(xiàn)有甲、乙兩個社區(qū)疫苗接種點，已知甲社區(qū)接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)是乙社區(qū)接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)的1.25倍，且甲社區(qū)接種點完成3000人的疫苗接種所需的時間比乙社區(qū)接種點完成4000人的疫苗接種所需的時間少2天.（1）求甲、乙兩個社區(qū)疫苗接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)；（2）一段時間后，乙社區(qū)疫苗接種點加大了宣傳力度.該接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)比原來平均每天接種疫苗的人數(shù)增加了25%，受乙社區(qū)疫苗接種點宣傳的影響，甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)比原來平均每天接種疫苗的人數(shù)減少了人，但不低于800人，這樣乙社區(qū)接種點天接種疫苗的人數(shù)比甲社區(qū)接種點天接種疫苗的人數(shù)多6000人，求的值.【答案】（1）甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種1000人，乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種800人（2）的值為10【解析】【分析】（1）設(shè)乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種x人，則甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種人，根據(jù)題意得，根據(jù)“甲社區(qū)接種點完成3000人的疫苗接種所需的時間比乙社區(qū)接種點完成4000人的疫苗接種所需的時間少2天”列出方程并解答；（2）根據(jù)“乙社區(qū)接種點天接種疫苗的人數(shù)比甲社區(qū)接種點天接種疫苗的人數(shù)多6000人”列出方程并解答．【小問1詳解】解：設(shè)乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種x人，則甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種人，根據(jù)題意得，解得經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意所以，.答：甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種1000人，乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種800人；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得，整理，得，解得，，由于，解得；所以舍去答：的值為10．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程并解答．22.如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，垂直于邊的延長線于點E，垂直于邊的延長線于點F，且．（1）求證：四邊形是菱形；（2）當(dāng)，時，求菱形的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，再由角平分線的判定定理得到平分，由此證明得到，即可證明四邊形是菱形；（2）先求出，由菱形的性質(zhì)得到設(shè)，在中，由勾股定理建立方程，解方程得到，再根據(jù)菱形面積公式進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：∵，∴，∵四邊形是菱形，∴設(shè)，在中，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的判定，等角對等邊，平行四邊形的性質(zhì)等等，熟知菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．23.已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若為（1）中符合條件的最小正整數(shù)，設(shè)此時對應(yīng)的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求代數(shù)式的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式時，有兩個不相等的實數(shù)根進(jìn)行求解即可；（2）由題意結(jié)合（1）可知，即此時該方程為．根據(jù)一元二次方程的解的定義得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，最后代入求值即可．【小問1詳解】解：∵該方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：；【小問2詳解】解：∵為（1）中符合條件的最小正整數(shù)，∴，∴該方程為．∵此時該一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程沒有實數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是