運籌學課件-運輸問題

1第三章運輸問題

運輸問題與有關概念運輸問題的求解—表上作業(yè)法運輸問題應用—建模本章內(nèi)容重點21.運輸問題模型及有關概念

問題的提出一般的運輸問題就是要解決把某種產(chǎn)品從若干個產(chǎn)地調(diào)運到若干個銷地，在每個產(chǎn)地的供應量與每個銷地的需求量已知，并知道各地之間的運輸單價的前提下，如何確定一個使得總的運輸費用最小的方案。31.運輸問題模型及有關概念

例4.1:某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？4

解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量=總銷量設

xij

為從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列運輸量表：

1.運輸問題模型及有關概念5

MinZ

=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23

s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）1.運輸問題模型及有關概念6

111000

000111100100

010010

001001系數(shù)矩陣1.運輸問題模型及有關概念7

模型系數(shù)矩陣特征

1.共有m+n行，分別表示各產(chǎn)地和銷地；m

n列，分別表示各決策變量；

2.每列只有兩個1，其余為0，分別表示只有一個產(chǎn)地和一個銷地被使用。1.運輸問題模型及有關概念8

一般運輸問題的線性規(guī)劃模型及求解思路一般運輸問題的提法：假設A1,A2,…,Am

表示某物資的m個產(chǎn)地；B1,B2,…,Bn

表示某物資的n個銷地；ai表示產(chǎn)地Ai

的產(chǎn)量；bj

表示銷地Bj

的銷量；cij

表示把物資從產(chǎn)地Ai

運往銷地Bj

的單位運價（表4-3）。如果

a1+a2+…+am

=b1+b2+…+bn則稱該運輸問題為產(chǎn)銷平衡問題；否則，稱產(chǎn)銷不平衡。首先討論產(chǎn)銷平衡問題。1.運輸問題模型及有關概念9表4-3運輸問題數(shù)據(jù)表1.運輸問題模型及有關概念

銷地產(chǎn)地B1B2

…

Bn產(chǎn)量A1A2┇

Amc11c12

…c1nc21c22

…c2n┇┇┇┇cm1cm2

…

cmna1a2┇

am銷量b1b2

…

bn

設xij

為從產(chǎn)地Ai

運往銷地Bj

的運輸量，根據(jù)這個運輸問題的要求，可以建立運輸變量表（表4-4）。10表4-4運輸問題變量表1.運輸問題模型及有關概念

銷地產(chǎn)地B1B2

…

Bn產(chǎn)量A1A2

┇Amx11x12

…x1nx21x22

…x2n┇┇┇┇xm1xm2

…

xmna1a2

┇am銷量b1b2

…

bn

11

m

nMinZ=

cijxij

（4-1）

i=1j=1

n

s.t.

xij

ai

i=1,2,…,m

（4-2）

j=1

m

xij

(=,

)bj

j=1,2,…,n

（4-3）

i=1

xij

0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4-4）1.運輸問題模型及有關概念

于是得到下列一般運輸問題的模型：

在模型（4-1）—（4-4）中，式（4-2）為m個產(chǎn)地的產(chǎn)量約束；式（4-3）為n

個銷地的銷量約束。

12

mn

MinZ=

cijxij

i=1j=1

n

s.t.

xij=ai

i=1,2,…,m

(4-5)

j=1

m

xij

=bj

j=1,2,…,n(4-6)

i=1

xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)1.運輸問題模型及有關概念

對于產(chǎn)銷平衡問題，可得到下列運輸問題的模型：13

在產(chǎn)銷平衡問題中，仔細觀察式（4-2）、

（4-3）分別變?yōu)椋?-5）、（4-6），約束條件成為等式。在實際問題建模時，還會出現(xiàn)如下一些變化：（1）有時目標函數(shù)求最大，如求利潤最大或營業(yè)額最大等；（2）當某些運輸線路上的能力有限制時，模型中可直接加入（等式或不等式）約束；1.運輸問題模型及有關概念14

(3)產(chǎn)銷不平衡的情況。當銷量大于產(chǎn)量時可加入一個虛設的產(chǎn)地去生產(chǎn)不足的物資，這相當于在式（4-2）每一式中加上1個松弛變量，共m

個；當產(chǎn)量大于銷量時可加入一個虛設的銷地去消化多余的物資，這相當于在式（4-3）每一式中加上1個松弛變量，共n個。1.運輸問題模型及有關概念15

運輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃問題，在求解時依然可以采用單純形法的思路，如圖4-1所示。由于運輸規(guī)劃系數(shù)矩陣的特殊性，如果直接使用線性規(guī)劃單純形法求解計算，則無法利用這些有利條件。人們在分析運輸規(guī)劃系數(shù)矩陣特征的基礎上建立了針對運輸問題的表上作業(yè)法。在這里需要討論基本可行解、檢驗數(shù)以及基的轉換等問題。1.運輸問題模型及有關概念161.運輸問題模型及有關概念基本可行解是否最優(yōu)解結束換基是否圖4-1運輸問題的求解思路17

運輸問題求解的有關概念考慮產(chǎn)銷平衡問題，由于我們關心的量均在表4-3與表4-4中，因此考慮把表4-3與表4-4合成一個表,如下表4-5

表4-5運輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表(下頁）1.運輸問題模型及有關概念181.運輸問題模型及有關概念

銷地產(chǎn)地B1B2…Bn產(chǎn)量A1c11

x11c12

x12…c1n

x1na1A2c21

x21c22

x22…c2n

x2na2┇┇┇┇┇┇Amcm1

xm1cm2

xm2…cmn

xmnam銷量b1b2…bn

19中任意m+n階子式等于零，取第一行到m+n－1行與對應的列（共m+n-1列）組成的m+n－1階子式20故r(A)=m+n－1所以運輸問題有m+n－1個基變量。21

運輸問題的基變量共有m+n-1個，A的秩為m+n-1。運輸問題的m+n-1個變量構成基變量的充分必要條件是不含閉回路。重要概念:

閉回路、閉回路的頂點特點

運輸問題基變量的1.運輸問題模型及有關概念22

定義4.1在表4-5的決策變量格中，凡是能夠排列成下列形式的

xab

,xac

,xdc

,xde

,…,xst

,xsb(4-7)或xab

,xcb

,xcd

,xed

,…,xst

,xat(4-8)

其中，a,d,…,s

各不相同；b,c,…,t

各不相同，我們稱之為變量集合的一個閉回路，并將式（4-7）、式（4-8）中的變量稱為這個閉回路的頂點。

為了說明這個特征，我們不加證明的給出一些概念和結論。下面的討論建立在表4-5中決策變量格的基礎上。1.運輸問題模型及有關概念23例如，x13,x16,x36,x34,x24,x23

；

x23,x53,x55,x45,x41,x21

；

x11,x14,x34,x31等都是閉回路。若把閉回路的各變量格看作節(jié)點，在表中可以畫出如下形式的閉回路：1.運輸問題模型及有關概念

閉回路示意圖24

根據(jù)定義可以看出閉回路的一些明顯特點：

(1)閉回路均為一封閉折線，它的每一條邊，或為水平的，或為垂直的；

(2)閉回路的每一條邊（水平的或垂直的）均有且僅有兩個閉回路的頂點（變量格）。1.運輸問題模型及有關概念25

x23

B1B2B3B4B5A1

A2

A3

x35A4

x43

x11x12

x25x31

x42表3－3表3－3中閉回路的變量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8個頂點，這8個頂點間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。

26x11x12x32x33x41

B1B2B3A1

A2

A3

A4

x43表3－4

一條回路中的頂點數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點必須轉90度與另一頂點連接，表3－3中的變量x32及x33不是回閉路的頂點，只是連線的交點。表3－4中閉回路是例如變量組A不能組成一條閉回路，但A中包含有閉回路B的變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；27C是一條閉回路，若把C重新寫成就不難看出C仍是一條閉回路?！径ɡ?】

若變量組B

包含有閉回路，則B中的變量對應的例向量線性相關?！咀C】由線性代數(shù)知，向量組中部分向量組線性相關則該向量組線性相關，顯然，將C中列向量分別乘以正負號線性組合后等于零，即因而C中的列向量線性相關，所以B中列向量線性相關?！径ɡ?】若變量組中包含一個部分組構成閉回路，那么該變量組所對應的系數(shù)列向量線性相關。28

定理3變量組xab

,xcd

,xef

,…,xst

所對應的系數(shù)列向量pab

,pcd

,pef

,…,pst

線性無關的充分必要條件是這個變量組中不包含閉回路。

推論產(chǎn)銷平衡運輸問題的m+n-1個變量構成基變量的充分必要條件是它不含閉回路。這個推論給出了運輸問題基本解的重要性質，也為尋求基本可行解提供了依據(jù)。這個推論告訴了一個求基變量的簡單方法，同時也可以判斷一組變量是否可以作為某個運輸問題的基變量。這種方法是直接在運價表中進行的，不需要在系數(shù)矩陣A中去尋找，從而給運輸問題求初始基可行解帶來極大的方便。29例如，m=3,n=4，在運價表Cij的格子的右上方填上相應的xij，如表3-5所示。表3－5

BjAiB1B2B3B4aiA1

x11

x12

x13

x14

a1C11C12C13C14A2

x21

x22

x23

x24a2C21C22C23C24A3

x31

x32

x2

x34a3C31C32C33C34bjb1b2b3b4

30這個運輸問題的基變量數(shù)目是3+4－1=6。變量組中有7個變量，顯然不能構成一組基變量，又如中有6個變量，但包含有一條閉回路故不能構成一組基變量。變量組有6個變量且不含有任何閉回路，故可以構成此問題的一組基變量。312.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

上一節(jié)已經(jīng)分析了，對于產(chǎn)銷平衡問題，我們關心的量均可以表示在表4-5中。因此可以建立基于表4-5的求解運輸問題的方法——表上作業(yè)法。這里求解運輸問題的思想和單純形法完全類似，即首先確定一個初始基本可行解，然后根據(jù)最優(yōu)性判別準則來檢查這個基本可行解是不是最優(yōu)的。如果是則計算結束；如果不是，則進行換基，直至求出最優(yōu)解為止。322.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

一、初始基本可行解的確定根據(jù)上面的討論，要求得運輸問題的初始基本可行解，必須保證找到m+n–1個不構成閉回路的基變量。一般的方法步驟如下：

(1)在運輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表中任選一個單元格xij(Ai

行Bj

列交叉位置上的格),令

xij

=min{ai,bj

}即從Ai

向Bj

運最大量(使行或列在允許的范圍內(nèi)盡量飽和，即使一個約束方程得以滿足),填入xij

的相應位

置；332.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

(2)從ai

或bj

中分別減去

xij

的值，即調(diào)整Ai

的擁有量及Bj

的需求量；

(3)若ai=0，則劃去對應的行（把擁有的量全部運走），若bj=0則劃去對應的列（把需要的量全部運來），且每次只劃去一行或一列（即每次要去掉且只去掉一個約束）；

(4)若運輸平衡表中所有的行與列均被劃去，則得到了一個初始基本可行解。否則在剩下的運輸平衡表中選下一個變量，轉(4)。34上述計算過程可用流程圖描述如下（圖4-2）取未劃去的單元格xij

,令xij

=min{ai,bj

}ai’=ai-xijbj’=bj-xijai’=0?劃去第i行劃去第j列是否

bj’=0否所有行列是否均被劃去是找到初始基本可行解圖4-2求運輸問題的初始基本可行解過程352.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

按照上述方法所產(chǎn)生的一組變量的取值將滿足下面條件：(1)所得的變量均為非負，且變量總數(shù)恰好為m+n–1個；(2)所有的約束條件均得到滿足；(3)所得的變量不構成閉回路。因此，根據(jù)定理4.1及其推論，所得的解一定是運輸問題的基本可行解。

在上面的方法中，xij

的選取方法并沒有給予限制，若采取不同的規(guī)則來選取xij

，則得到不同的方法，較常用的方法有西北角法和最小元素法。下面分別舉例予以說明。362.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

1、初始基本可行解的確定（1）西北角法：從西北角（左上角）格開始，在格內(nèi)的右下角標上允許取得的最大數(shù)。然后按行（列）標下一格的數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進行下去，直至得到一個基本可行解。37例1：設有運輸問題如下表所示，求其最優(yōu)解。

銷地

產(chǎn)地可供量(t)907095200806575230需求量(t)10015018038

銷地

產(chǎn)地可供量(t)90（100）70（100）95200（100）8065（50）75（180）230（180）需求量(t)100（0）150（50）180（0）第一次第二次第三次第四次392.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

（2）最小元素法：從運價最小的格開始，在格內(nèi)的右下角標上允許取得的最大數(shù)。然后按運價從小到大順序填數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進行下去，直至得到一個基本可行解。最小元素法的思想是就近優(yōu)先運送，即最小運價Cij對應的變量xij優(yōu)先賦值然后再在剩下的運價中取最小運價對應的變量賦值并滿足約束，依次下去，直到最后一個初始基可行解。40【例2】求表3－6所示的運輸問題的初始基可行解。表3－6

銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量60301010041B1B2B3可發(fā)量A186730A243545A374825未滿足量6030101000

00【解】301510252015452020000產(chǎn)地銷地42

注:應用西北角法和最小元素法，每次填完數(shù)，都只劃去一行或一列，只有最后一個元例外（同時劃去一行和一列）。當填上一個數(shù)后行、列同時飽和時，也應任意劃去一行（列），在保留的列（行）中沒被劃去的格內(nèi)標一個0。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

432.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

表1442.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

452.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

46

最優(yōu)性檢驗就是檢查所得到的方案是不是最優(yōu)方案。檢查的方法與單純形方法中的原理相同，即計算檢驗數(shù)。由于目標要求極小，因此，當所有的檢驗數(shù)都大于或等于零時該調(diào)運方案就是最優(yōu)方案；否則就不是最優(yōu)，需要進行調(diào)整。下面介紹兩種求檢驗數(shù)的方法。

二、基本可行解的最優(yōu)性檢驗2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

47

1、閉回路法為了方便，我們以表1給出的初始基本可行解方案為例，考察初始方案的任意一個非基變量，比如x24。根據(jù)初始方案，產(chǎn)地A2的產(chǎn)品是不運往銷地B4的。如果現(xiàn)在改變初始方案，把A2的產(chǎn)品運送1個單位給

B4

，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使x14

或x34

減少1個單位；而如果x14

減少1個單位，第1行的運輸量就必須增加1個單位，例如x13

增加1個單位，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使x23

減少1個單位。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

48

這個過程就是尋找一個以非基變量x24

為起始頂點的閉回路——{x24

，x14

，x13

，x23}，這個閉回路的其他頂點均為基變量(對應著填上數(shù)字的格)。容易計算出上述調(diào)整使總的運輸費用發(fā)生的變化為8–10+3–2＝-1，即總的運費減少1個單位，這就說明原始方案不是最優(yōu)方案，可以進行調(diào)整以得到更好的方案。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

49

可以證明，如果對閉回路的方向不加區(qū)別（即只要起點及其他所有頂點完全相同，而不區(qū)別行進方向），那么以每一個非基量為起始頂點的閉回路就存在而且唯一。因此，對每一個非基變量可以找到而且只能找到唯一的一個閉回路。表4-10中用虛線畫出以非基變量x22

為起始頂點的閉回路。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

50表4-10以非基變量x22

為起始頂點的閉回路銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量3[]11[]341037139[]218[]47[]4610[]539銷量365620(產(chǎn)銷平衡)A1A2A351

可以計算出以非基變量x22

為起始頂點的閉回路調(diào)整使總的運輸費用發(fā)生的變化為

9–2+3–10+5–4＝1

即總的運費增加1個單位，這就說明這個調(diào)整不能改善目標值。從上面的討論可以看出，當某個非基變量增加一個單位時，有若干個基變量的取值受其影響。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

52

這樣，利用單位產(chǎn)品變化（運輸?shù)膯挝毁M用）可計算出它們對目標函數(shù)的綜合影響，其作用與線性規(guī)劃單純形方法中的檢驗數(shù)完全相同。故也稱這個綜合影響為該非基變量對應的檢驗數(shù)。上面計算的兩個非基變量的檢驗數(shù)為

24=-1，

22=1。閉回路方法原理就是通過尋找閉回路來找到非基變量的檢驗數(shù)。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

53

如果規(guī)定作為起始頂點的非基變量為第1個頂點，閉回路的其他頂點依次為第2個頂點、第3個頂點……，那么就有

ij=(閉回路上的奇數(shù)次頂點單位運費之和)-(閉回路上的偶數(shù)次頂點單位運費之和)

其中ij

為非基變量的下角指標。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

54

按上述作法，可計算出表1的所有非基變量的檢驗數(shù)，把它們填入相應位置的方括號內(nèi)，如圖4-11所示。

銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A13[1]11

[2]341037A2139

[1]218[-1]4A37

[10]4610[12]539銷量365620(產(chǎn)銷平衡)表4-11初始基本可行解及檢驗數(shù)55

顯然，當所有非基變量的檢驗數(shù)均大于或等于零時，現(xiàn)行的調(diào)運方案就是最優(yōu)方案，因為此時對現(xiàn)行方案作任何調(diào)整都將導致總的運輸費用增加。閉回路法的主要缺點是：當變量個數(shù)較多時，尋找閉回路以及計算兩方面都會產(chǎn)生困難。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

56【解】用最小元素法得到下列一組基本可行解【例4】求下列運輸問題的一個初始基本可行解及其檢驗數(shù)。矩陣中的元素為運價Cij

，矩陣右邊的元素為產(chǎn)量ai

，下方的元素為銷量bj

。1060403057矩陣中打“×”的位置是非基變量，其余是基變量，這里只求非基變量的檢驗數(shù)。求λ11，先找出x11的閉回路，對應的運價為再用正負號分別交替乘以運價有直接求代數(shù)和得58同理可求出其它非基變量的檢驗數(shù)：這里λ34<0，說明這組基本可行解不是最優(yōu)解。只要求得的基變量是正確的且數(shù)目為m+n－1，則某個非基變量的閉回路存在且唯一，因而檢驗數(shù)唯一。59

2.位勢法根據(jù)單純形法中檢驗數(shù)的定義，可以從約束條件中解出基變量（用非基變量表示基變量），然后代入目標函數(shù)消去目標中的基變量，得到的非基變量系數(shù)就是檢驗數(shù)。這一過程可以用下列位勢法等價地加以實現(xiàn)。位勢：設對應基變量xij

的m+n-1個ij

，存在ui,vj

滿足

ui+vj=cij

，i=1,2…,m;j=1,2…,n.

稱這些ui,vj

為該基本可行解對應的位勢。

2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

60位勢法求檢驗數(shù)是根據(jù)對偶理論推導出來的一種方法。設平衡運輸問題為設前m個約束對應的對偶變量為ui,i=1,2,…,m，后n個約束對應的對偶變量為vj,j=1,2,…,n則運輸問題的對偶問題是61加入松馳變量λij將約束化為等式ui+vj+λij=cij記原問題基變量XB的下標集合為I，由第二章對偶性質知，原問題xij的檢驗數(shù)是對偶問題的松弛變量λij當（i，j）

時λij=0，因而有解上面第一個方程，將ui、vj代入第二個方程求出λij。62【例5】用位勢法求例4給出的初始基本可行解的檢驗數(shù)。【解】第一步求位勢u1、u2、u3及v1、v2、v3、v4。10604030令u1=0得到位勢的解為63再由公式求出檢驗數(shù)，其中Cij是非基變量對應的運價。計算結果與例4結果相同。642.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

前例3用位勢法求檢驗數(shù)：65

當非基變量的檢驗數(shù)出現(xiàn)負值時，則表明當前的基本可行解不是最優(yōu)解。在這種情況下，應該對基本可行解進行調(diào)整，即找到一個新的基本可行解使目標函數(shù)值下降，這一過程通常稱為換基(或主元變換)過程。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

三、求新的基本可行解66

（1）選負檢驗數(shù)中最小者

rk，那么xrk

為主元，作為進基變量（上頁圖中x24）;

（2）以xrk

為起點找一條閉回路，除xrk

外其余頂點必須為基變量格（上頁圖中的回路）;2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

在運輸問題的表上作業(yè)法中，換基的過程是如下進行：

（3）為閉回路的每一個頂點標號，為1，沿一個方向（順時針或逆時針）依次給各頂點標號；67

（4）求

=Min{xij

xij對應閉回路上的偶數(shù)標號格}=xpq那么確定xpq為出基變量，

為調(diào)整量；2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

（5）對閉回路的各奇標號頂點調(diào)整為：xij+

，對各偶標號頂點調(diào)整為：xij-

，特別

xpq-

=0，

xpq變?yōu)榉腔兞?。重?2)、(3)步，直到所有檢驗數(shù)均非負，得到最優(yōu)解。68【例9】求下表所示的運輸問題的最優(yōu)解。表3－6

B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量603010100產(chǎn)地銷地69B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量603010100【解】3015102520＋－＋－[-1]前面已得到此題的初始可行解，現(xiàn)在接著做下去。用閉回路法求檢驗數(shù)如下：產(chǎn)地銷地70

B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量60301010030151020[-1]＋－＋－[2]25產(chǎn)地銷地【解】前面已得到此題的初始可行解，現(xiàn)在接著做下去。用閉回路法求檢驗數(shù)如下：71B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量60301010030151020[-1][2]25＋－＋－[-2]產(chǎn)地銷地【解】前面已得到此題的初始可行解，現(xiàn)在接著做下去。用閉回路法求檢驗數(shù)如下：72B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量60301010030151020[-1][2]25＋－＋－[-2]產(chǎn)地銷地[2]【解】前面已得到此題的初始可行解，現(xiàn)在接著做下去。用閉回路法求檢驗數(shù)如下：73B1B2B3A1867A2435A374830151020[-1][2]25[-2]產(chǎn)地銷地[０]

因為有２個負檢驗數(shù)，所以這組基本可行解不是最優(yōu)解。取非基變量x32進基,用閉回路法調(diào)整如下閉回路如上圖，標負號的運量是：x31=25、x22=30，取其最小值25作為調(diào)整量，在閉回路上x21、x32分別加上25，x31、x22分別減去25，調(diào)整后得到一組新的基可行解。＋－＋25－

40

5

74B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量603010100540102520[-1]

[2]＋－＋－

[2]再檢驗（表中括號中的數(shù)字為檢驗數(shù)）75B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量603010100540102520[-1]

[2][4]＋－＋－

[2]＋－再檢驗（表中括號中的數(shù)字為檢驗數(shù)）76B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量603010100540102520[-1]

[2][4]＋－

[2]＋－5

45

15檢驗數(shù)l12=-1,方案需調(diào)整，下面用閉回路法調(diào)整77B1B2B3產(chǎn)量A186730A243545A374825銷量60301010025451015再計算一次檢驗數(shù)（表中括號中的數(shù)字）產(chǎn)地銷地5

[2]

[1]

[1]

[3]檢驗數(shù)已全非負，故表中的解已為最優(yōu)解，最小運費為500元。782.表上作業(yè)法

ij

≥0，得到最優(yōu)解x13=5,x14=2,x21=3,x24=1,

x32=6,x34=3,其余xij=0;

最優(yōu)值：

f*=3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3=8579

四、產(chǎn)銷不平衡問題的處理在實際中遇到的運輸問題常常不是產(chǎn)銷平衡的，而是下列的一般運輸問題模型

m

nMinf=

cij

xij

（4-1）

i=1j=1

n

s.t.

xij

si

i=1,2,…,m

（4-2）

j=1

m

xij

(=,

)dj

j=1,2,…,n(4-3）

i=1

xij

0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4-4）2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

80

我們已經(jīng)介紹過，可以通過增加虛設產(chǎn)地或銷地（加、減松弛變量）把問題轉換成產(chǎn)銷平衡問題，下面分別來討論。

1.產(chǎn)量大于銷量的情況

m

n

考慮

si

>dj

的運輸問題，得到的數(shù)學模

i=1

j=1型為2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法812.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

mn

Minf=

cijxij

i=1j=1

n

s.t.

xij

si

i=1,2,…,m

j=1

m

xij

=dj

j=1,2,…,n

i=1

xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)82

只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（前m個不等式約束）中引入m個松弛變量xin+1i=1,2,…,m即可，變?yōu)椋?/p>

n

xij+xin+1=si

i=1,2,…mj=1然后，需設一個銷地Bn+1,它的銷量為：

mn

bn+1=si-dj

i=1j=1

2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

83

這里，松弛變量xin+1

可以視為從產(chǎn)地Ai

運往銷地B

n+1

的運輸量，由于實際并不運送，它們的運費為cin+1=0i=1,2,…,m。于是，這個運輸問題就轉化成了一個產(chǎn)銷平衡的問題。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

84

例4.2:某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

85

解：增加一個虛設的銷地運輸費用為02.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

86

2.銷量大于產(chǎn)量的情況

mn

考慮

si<dj的運輸問題，得到的數(shù)學模型為

i=1

j=12.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

mn

Minf=

cijxij

i=1j=1

n

s.t.

xij

=si

i=1,2,…,m

j=1

m

xij

dj

j=1,2,…,n

i=1

xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)87

只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（后n個不等式約束）中引入n個松弛變量xm+1j

j=1,2,…,n即可，變?yōu)椋?/p>

m

xij+xm+1j=dj

j=1,2,…mi=1然后，需設一個產(chǎn)地Am+1,它的銷量為：

nmam+1=dj

-si

j=1i=1

2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

88

這里，松弛變量xm+1j

可以視為從產(chǎn)地Am+1

運往銷地Bj

的運輸量，由于實際并不運送，它們的運費為cm+1j=0j=1,2,…,n。于是，這個運輸問題就轉化成了一個產(chǎn)銷平衡的問題。2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

89

例4.3:某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最小？2.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

90

解：增加一個虛設的產(chǎn)地運輸費用為02.運輸問題求解

—表上作業(yè)法

91

例4.4:石家莊北方研究院有一、二、三，三個區(qū)。每年分別需要用煤3000、1000、2000t，由河北臨城、山西盂縣兩處煤礦負責供應，價格、質量相同。供應能力分別為1500、4000t，運價如下表。由于需大于供，經(jīng)院研究決定一區(qū)供應量可減少0—300t，二區(qū)必須滿足需求量，三區(qū)供應量不少于1700t，試求總費用為最低的調(diào)運方案。3.運輸問題的應用92

解:根據(jù)題意，作出產(chǎn)銷平衡與運價表：取M

代表一個很大的正數(shù)，其作用是強迫相應的x31、x33、x34取值為0。

3.運輸問題的應用93

例4.5:設有A、B、C三個化肥廠供應1、2、3、4四個地區(qū)的農(nóng)用化肥。假設效果相同，有關數(shù)據(jù)如下表。試求總費用為最低的化肥調(diào)撥方案。3.運輸問題的應用94

解：根據(jù)題意，作出產(chǎn)銷平衡與運價表:最低要求必須滿足，因此把相應的虛設產(chǎn)地運費取為M

，而最高要求與最低要求的差允許按需要安排，因此把相應的虛設產(chǎn)地運費取為0。對應4”的銷量50是考慮問題本身適當取的數(shù)據(jù)，根據(jù)產(chǎn)銷平衡要求確定D的產(chǎn)量為50。3.運輸問題的應用95

生產(chǎn)與儲存問題例4.6:某廠按合同規(guī)定須于當年每個季度末分別提供10、15、25、20臺同一規(guī)格的柴油機。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺柴油機的成本如右表。如果生產(chǎn)出來的柴油機當季不交貨，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費用為最小的決策方案。3.運輸問題的應用96

交貨：生產(chǎn)：x11

=10x11+x12+x13+x14≤25

x12+x22=15x22+x23+x24≤35

x13+x23+x33

=25x33+x34≤30

x14+x24+x34+x44=20x44≤10

解：設xij為第i

季度生產(chǎn)的第j季度交貨的柴油機數(shù)目，那么應滿足：

3.運輸問題的應用97把第i季度生產(chǎn)的柴油機數(shù)目看作第i

個生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第j

季度交貨的柴油機數(shù)目看作第j

個銷售點的銷量；成本加儲存、維護等費用看作運費?？蓸嬙煜铝挟a(chǎn)銷平衡問題：

目標函數(shù)：Minf=10.8x11+10.95x12+11.1x13+11.25x14+11.1x22+11.25x23+11.4x24+11.0x33+11.15x34+11.3x44

3.運輸問題的應用98

生產(chǎn)與儲存問題例4.7:光明儀器廠生產(chǎn)電腦繡花機是以產(chǎn)定銷的。已知1至6月份各月的生產(chǎn)能力、合同銷量和單臺電腦繡花機平均生產(chǎn)費用見下表：

3.運輸問題的應用99

已知上年末庫存103臺繡花機，如果當月生產(chǎn)出來的機器當月不交貨，則需要運到分廠庫房，每臺增加運輸成本0.1萬元,每臺機器每月的平均倉儲費、維護費為0.2萬元。在7--8月份銷售淡季，全廠停產(chǎn)1個月，因此在6月份完成銷售合同后還要留出庫存80臺。加班生產(chǎn)機器每臺增加成本1萬元。問應如何安排1--6月份的生產(chǎn)，可使總的生產(chǎn)費用（包括運輸、倉儲、維護）最少？運輸問題（7）§3運輸問題的應用100

解：這個生產(chǎn)存儲問題可化為運輸問題來做?？紤]：各月生產(chǎn)與交貨分別視為產(chǎn)地和銷地。

1）1-6月份合計生產(chǎn)能力（包括上年末