2021屆人教A版平面向量 單元測(cè)試

平面向量

一、單選題

1.已知點(diǎn)A(l,1),B(4,2)和向量。=(2,團(tuán)，若方〃獲，則實(shí)數(shù)2的值為()

23八23

A.--B.-C.一D.--

3232

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得A8=(3,1),-：a//AB,.*.2x1-371=0,

2

解得2=—,故選C.

3

考點(diǎn)：考查了向量共線的條件.

點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是掌握兩個(gè)向量共線的條件，代入兩個(gè)向量的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.

2.AA8C中，A(2,l),8(0,4),C(5,6),貝iJAg-4C=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積坐標(biāo)公式得到結(jié)果.

【詳解】

???4(2,1),以0,4),C(5,6),

UUUUUU

A8=(-2,3),4C=(3,5)

UUUUU1U

???AB-AC=-2x3+3x5=9

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

3.設(shè))工=4,若“在〃方向上的投影為孑，且人在。方向上的投影為3,則“和人的

夾角等于()

【答案】A

【解析】

22

試題分析：若〃在〃方向上的投影為］,??.|4cose=§,匕在。方向上的投影為3,

/.|/?|cos^=3,

,.114I,I..cab1.c71

ci,h=4..1間1=—,/?—6..cos3——；~r——..8=—

3'l?\a\\b\23

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積

4.已知向量a與人的夾角為30°,且忖=6,忖=2,則ab等于（）

A.2A/3B.3

C.V6D.G

【答案】B

【解析】

試題分析：aZ?=WWcos（a,b）=2x6x曰?=3,故選B.

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積.

5.已知點(diǎn)。是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足2Q4+3O8+5OC=0，OAC的面積為鳥，

S.

ABC的面積為則于=

A.3B.3

108

24

C.-D.—

521

【答案】A

【解析】

2OA+3OB+50C=0，：.2（OA+OC）=-3（OB+OC）.

設(shè)AC中點(diǎn)為M,8C中點(diǎn)為N,則2QW=—3ON，

0M3

?:MN為ABC的中位線，且-----=一,

ON2

、313c5,3

??g§CMN=MsABC"皿，即廠方選A.

54

試卷第2頁(yè)，總15頁(yè)

6.已知向量Z=(x,l),b=(4,x),若五不=5,則x的值為()

A.1B.2C.±1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】

解：向量1=(x,1),b-(4,x)>若五不=5，

可得5x=5,解得％=1.

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是基本知識(shí)的考查.

7.已知向量。=(3,1),。=(2攵一1次)，且(a+b)_L力，則A的值是

122

A.-1B.一—或一1C.一1或一D.-

255

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算得到a+b=(2k+2,1+k),再由向量垂直關(guān)系得到方程

(2k—l)(2k+2)+k(l+k)=0,從而解得k值.

【詳解】

向量a=(3,l),b=(2k-l,k),.-.a+b=(2k+2,l+k),

(a+b)±b,.?.(a+b)-b=O,則(2k-l)(2k+2)+k(l+k)=0,

即5k2+3k-2=0得(k一l)(5k+2)=0,得卜=一1或卜=1，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)

用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是

向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)

化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個(gè)作用：①載體

作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題;

②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

8.下列說法正確的是()

A.與向量A5(|A6卜0)共線的單位向量只有網(wǎng)

B.向量“與。平行，則”與。的方向相同或相反

C.向量A8與向量BA是兩平行向量

D.單位向量都相等

【答案】C

【解析】

【分析】

由單位向量的概念判斷A,D;利用平行向量判斷B,C

【詳解】

與向量AB(\AB\^O)共線的單位向量有±*-,故A項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量

平行，因此，若〃與6中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)橄?/p>

量A8與區(qū)4方向相反，所以二者是平行向量，故C項(xiàng)正確;單位向量的長(zhǎng)度都相等，

方向任意，而向量相等不僅需要長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查單位向量的概念，考查平行向量的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題

9.已知a=(-1,1)/=(1,0),則a在/，上的投影為()

A.顯B.一立C.1D.-1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用投影公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

試卷第4頁(yè)，總15頁(yè)

-1

4=(一1,1)/=(1,0),則a在上的投影為：W=T=-1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的投影，意在考查學(xué)生對(duì)于投影的理解.

10.在ABC中，AB=2,AC=3,ABAC=5>則BC=()

A.V3B.77C.272D.V23

【答案】A

【解析】

因?yàn)锳B?AC=|A。cosAB,AC=\AB\|cosA=6cosA=5,

cos=-,由余弦定理可得：

6

BC?=4。2+482-24。-45?0$4=9+4-2乂2乂3><3=3,所以

6

BC=g，故選A.

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積及余弦定理.

11.已知向量4=(24),/?=(-1,1),則2。一/?=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

【答案】A

【解析】

因?yàn)?a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-l,l)=(5,7),故選A.

考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.

12.已知向量a=(3,4),a—26=(11,4),若向量a與向量分的夾角為。，則cos9=()

33C44

AA.-D—C.-Dn?----

5555

【答案】B

【解析】

試題分析：由于向量a=(3,4),a—2b=(ll,4),設(shè)6=G,y)，則a—強(qiáng)=6—2x,

4-2y)=(11,4),3-2%=11,4-2y=4,x=—4,y=0,則b=(―4,0),

a?b3x(—4)+4x0

所以cos0=選B

\a\'kl5x45

考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

二、填空題

13.已知向量；=（1,2），向量/；=（3,-4），則向量￡在向量「方向上的投影為.

【答案】-1

【解析】

向量a在向量b方向上的投影為討=丁亨喜口=一1,故答案為-1.

14.中，M為線段OC的中點(diǎn)，AM交3。于點(diǎn)。，若AQ=九

【解析】

由DQM~BQ4可得：AQ=2QM

：.AQ=-AM=-xl（AZ）+AC）=-^D+-AC

332、>33

,2

A+//=~

r22

15.已知雙曲線C：一■一與=l（a>8>0）的右焦點(diǎn)為F,過戶且斜率為出的直線交

ab~

C于A、B兩點(diǎn),若A尸=4用3,則。的離心率為.

【答案】I

【解析】

【分析】

設(shè)A（玉,％）,B（x2,y2）,將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立消元得出

,+%=羋絲，,必=二^7,由AE=4EB可得X=T%，這幾個(gè)式子再結(jié)

*-3a2-b23a2-b2

試卷第6頁(yè)，總15頁(yè)

合-化簡(jiǎn)可得c=1a

【詳解】

因?yàn)橹本€A8過點(diǎn)R(C,O),且斜率為G

所以直線A8的方程為：y=43(x-c)

x2y2

與雙曲線二=1聯(lián)立消去工,得

CT

y2+^^-b2cy+b4=0

設(shè)4(%,%),3(/,%)

2屜2c_-3b4

所以，+%

^^'"2二^7^

因?yàn)锳F=4EB，可得

代入上式得—3%=名"

-3a2-〃力3a2_b2

4c3oo

消去％并化簡(jiǎn)整理得：-c2=-(3a2-b2)

36o

將〃=c2_/代入化簡(jiǎn)得：co2=—a2

解之得c=(a

c6

因此，該雙曲線的離心率e=—=—

a5

故答案為：y

【點(diǎn)睛】

L直線與雙曲線相交的問題，常將兩個(gè)的方程聯(lián)立消元，用韋達(dá)定理表示出橫(縱)坐

標(biāo)之和、積，然后再結(jié)合條件求解

2.求離心率即是求a與C的關(guān)系.

16.已知a=(l,l),Z?=(l,0),貝!J,一2目=.

【答案】V2

【解析】

由。_給=(-1,1)知卜一2*J(—l)2+F=0.

三、解答題

17.已知|之|二歷|=1，W與與的夾角為120。，

求：（1）a*b;

⑵航-2之）*（4a+b）-

【答案】（1）awb=|a||b|cos^z~=

o乙

⑵（3b-21）?（41+b）=-8|a|2+10a-b+3|bI^-IO-

【解析】

試題分析：（1）（2）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

解:⑴a,b=|a11b|cos-^z~=-4;

o乙

（2）（3b-2a）?（41+b）=-8|a|2+10a'b+3|bI^-IO-

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

L兀

18.已知點(diǎn)。是ABC的外接圓的圓心，AB=3,AC=2。ZBAC^-.

（1）求外接圓。的面積.

（2）求BOBC

【答案】（1）彳57r；（2）5

22

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)余弦定理求出BC.設(shè)外接圓的半徑為「，由正弦定理得2r=,即

sinZBAC

求外接圓。的面積；

（2）設(shè)的中點(diǎn)為￡,則EO_L8C，則8。-BC=（3E+E0）-BC,即可求出數(shù)

量積.

【詳解】

（1）由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOS^=32+（2何一2x3x2血x/=5，

：.BC=y/5-

試卷第8頁(yè)，總15頁(yè)

2r_BC:也R

設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得sin/BA。-0~

2

所以外接圓的面積為5=萬(wàn)產(chǎn)

（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為E,則EO_L5C，

BOBC（BEEOBCBEBCEOBCBC2

=\+/]=+=-2=2-.

【點(diǎn)睛】

本題考查正、余弦定理和向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4（-1,2）,3（4,3）,C（3,6）,

AP=AB+AAC（AeR）.

（1）試求實(shí)數(shù)％為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二、四象限的角平分線上；

（2）若點(diǎn)尸在第三象限內(nèi)，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

7/、

【答案】⑴4=-3；⑵1）

O

【解析】

【分析】

（i）根據(jù)向量線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算可求得（?P=（4+4/1,3+42）,由此得到P點(diǎn)坐標(biāo)，

由點(diǎn)P位置可知4+4幾=一（3+4/1）,進(jìn)而求得結(jié)果；

（2）根據(jù)第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【詳解】

（1）由題意得:AB=（5,1）,AC=（4,4）

UUUUL11UUIU

QAP=AB+AAC

OP=QA+AP=QA+AB+XAC=OB+4AC=（4,3）+X（4,4）=（4+44,3+4/1）

.?.*4+443+44)

7

P在第二、四象限的角平分線上.-.4+4l=-（3F4）,解得：2=--

O

(2)由(1)知：P(4+42,3+4/1)

f4+4X<0

「在第三象限內(nèi)八八，解得：2<-1

[3+4A<0

.../I的取值范圍為(-8,-1)

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)點(diǎn)的位置求解參數(shù)值和范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運(yùn)算和坐

標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo).

20.已知向量滿足國(guó)=|4=1,限+司=碼。一碼，伏wA且k/0).

(I)求用k表示。力的解析式/(%)；

(U)若向量“與匕的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(ni)當(dāng)k>o時(shí)，求向量“與/7的夾角的最大值.

【答案】(I)/(&)=t^(AwO)；(n)伙k>0且+6且左。2—J§｝；(HD

4k

7t

T,

【解析】

【分析】

(I)對(duì)加⑨卜四4|兩邊平方，化簡(jiǎn)后可求得/仕)的表達(dá)式.(H)當(dāng)向量a與

〃的夾角是銳角時(shí)，ab>Q，即土二〉0,k>Q,再排除同向時(shí)k的值，可

4k

求得k的的取值范圍.(HI)利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得cos。的最小值,

從而求得。的最大值.

【詳解】

解：([)由已知,+同=網(wǎng)”一閩，得：|3+同2=(6,_,,，即

k2a2+2ka-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2，又同=1|=1,

Skab=2k2+2,:.a-b=，即工0).

(H)當(dāng)向量a與8的夾角是銳角時(shí)，4包>0,由(I)可知a電=匚^>0.；.Z>0.

4k

又當(dāng)向量a與b同向時(shí)，a-b=\a\-\h\,由(I)可知幺上1=1,.?.左=2±6.

11妹

試卷第10頁(yè)，總15頁(yè)

當(dāng)向量a與人的夾角是銳角時(shí)，攵的取值范圍是伙|女〉0且ZH2+G且左。2—石｝.

（III）設(shè)向量a與b的夾角是。，

0abk1+\1（ni\CiV

則cos"麗=b=土+r五）+2，

當(dāng)&=J=,即％=1時(shí)，cos。有最小值上，

又0?64%且丁=3。在［0,句上單調(diào)遞減，

ITTT

,此時(shí)。有最大值為。=不，即向量a與人的夾角的最大值為7.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量的運(yùn)算，考查兩個(gè)向量夾角為銳角時(shí)參數(shù)的取值范圍的求法，考查

二次函數(shù)型函數(shù)求最值的方法，屬于中檔題.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（。,勿，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（COS5,sinox）,其中〈/十〃且。＞0.設(shè)/（幻二以心從

（1）若。=百，b=l,3=2,求方程/。）=1在區(qū)間［0,2可內(nèi)的解集.

（2）若函數(shù)/*）滿足：圖象關(guān)于點(diǎn)（：,（）］對(duì)稱，在x=5處取得最小值，試確定。、

b和。應(yīng)滿足的與之等價(jià)的條件.

,（兀11兀5兀23兀1A—廣

【答案】（1）解集為:“丁5，1~，合卜（2）見解析.

【解析】

分析：（1）由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得/（x）=2sin（2x+g］,令

（兀、］（兀、7E

sin2x+-=力，從而可得結(jié)果；（2）“圖象關(guān)于點(diǎn)彳,0對(duì)稱，且在尤=一處/（x）

it71Tn

取得最小值”.因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，---=~+-T,故有

3642

兀2兀2〃+1

—=--------

604

TT,

；.0=6〃+3,〃eN,當(dāng)且僅當(dāng)。=E,keZ時(shí)，/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

37

此時(shí)a=0,［=±1,對(duì)b討論兩種情況可得使得函數(shù)/(x)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)(三,0)

對(duì)稱，且在x=3處/(x)取得最小值的充要條件”是“b〉0,a=0時(shí)，0=12m+9,

6

meN；或當(dāng)2<0。=0時(shí)，co=12m+3,mcN”.

詳解：(1)根據(jù)題意/(x)=Q4?OB=/?sin5+acos5,

當(dāng)。=百，b=l,G=2時(shí),

/(x)=sinlx+V3cos2x=2sinf2x+(=1,nsin(2x+二

I3J2

TTTTTT5兀

則有2x+—=2E+—或2x+—=2R兀+—，keZ.

3636

717t

即工=&兀----或尢=女兀+一,keZ.

124

Ijriijr5冗237r

又因?yàn)楣ぁ辏?,2可,故/(x)=l在［0,2兀］內(nèi)的解集為，5

._____2兀

(2)解：因?yàn)?(司=。4。6=>/。2+。25m(8+。)，設(shè)周期丁=1.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)須滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)］,0)對(duì)稱，且在x=弓處/(x)取得最小值”.

6

TTTtTn

因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，---=-+-7,

u一兀2兀2〃4-1

故有T=--------:一

6694

，3=6〃+3,neN,

又因?yàn)椋稳纭▁)=^a2+bhm(cox+^的函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心都是/(x)的零點(diǎn),

Tl、

故需滿足sin-co+(/)=0,而當(dāng)69=6/2+3,〃￡N時(shí),

13J

兀

因?yàn)椤?6〃+3)+。=2〃兀+兀+。,neN；

所以當(dāng)且僅當(dāng)。=E,ZEZ時(shí),

/.(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)泉0對(duì)稱;

a

sin(/)-=0

此時(shí)，,

b

COS(/)=±1

J/+/

試卷第12頁(yè)，總15頁(yè)

b

tZ=0,777=±1

例

(i)當(dāng)b〉0,a=0時(shí)，〃x)=s泳wx,進(jìn)一步要使》=巴處/(x)取得最小值,

6

/X

71

則有/7=sin—-CD

(6

7

71兀

二.—co—2.kit—，故69=12k—3,kEZ.

62

又口＞0,則有刃=12攵—3,keN",

a)=6n+3,neN

因此，由《可得口=12m+9,tnwN.

①=12k-3,kGN

(ii)當(dāng)。<0。=0時(shí)，f\x)^-sincox,進(jìn)一步要使x=4處/(x)取得最小值,

6

兀、/、

則有/2〕=-sin.I71_,71._.

-co—1—co=ZKK+—69=12K；

6J(6)2

又口〉0,則有3=12攵+3,keN.

①=6n+3,neN

因此,由<可得啰=12m+3meN.

①=l2k+3,kGN

綜上，使得函數(shù)/(X)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在x處/(X)取得最小值

的充要條件"是“〃>0,。=0時(shí)，co=12m+9,meN；或當(dāng)/?<0〃=0時(shí)，

CD=12m+3,msN”.

點(diǎn)睛：本題主要考查公式三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于難題.利

______b

2

用該公式/(%)=asincox-^-bcoscox=y]a+/sin(s;+9)(tan^>=—)可以求

_2兀

出:①/(X)的周期T=L;②單調(diào)區(qū)間(利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過解不等式求

得)；③值域(-正+b1a1+。2)；④對(duì)稱軸及對(duì)稱中心(由=A乃+:|?可

得對(duì)稱軸方程，由(yx+e=z萬(wàn)可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).

22.(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)/(x)=mn,其中向量/n=(2cosx,l),

n=(cosx,5/3sin2x),XER.

(1)求/(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)在△ABC中，。、b、。分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知/(A)=2,b=l,

△ABC的面積為立，求一山一的值.

2sinB+sinC

【答案】(1)\-+k7T,—+k7T],k&Z;

63

⑵gc=2

sinB+sinC

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角公式、輔助角公式可得

/(x)—m-n—

re27r7i37r

2sin(2x+生)+1,故周期丁=’"=乃，再由三+2人乃＜2工+2＜二+2女乃，2￡2,

62262

可得單調(diào)減區(qū)間為［三+版?，至+上乃］，左eZ；(2)由/(A