2021屆高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺模擬卷五

考前20天終極沖刺高考模擬考試卷（5）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

I.已知集合4={幻/-4犬+3,,0）,B^{x\x>a],若A0|8=0,則實數(shù)。的取值范圍是（

）

A.[3,+oo）B.（3,+oo）C.y,1]D.y,i)

2.復(fù)數(shù)竽3（aeR）的虛部為（）

2-1

2。+2a—42a—2-a+4

A.--------B.------C.--------D.------

5555

3.已知4=2021"*8=log2tm（sinl）,c=sinl,則。，b,c,的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

4.若拋物線y2=2px（P>0）上的點43,y°）到焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍，則先等

于（）

A.±60B.±6C.±120D.±12

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布若P(X>-l)+p(x..5)=l,則〃=()

A.-1B.IC.-2D.2

6.已知函數(shù)/(x)=Asin(2x+e)(A>0,|M”鄉(xiāng)部分圖象如圖所示，若對不同的“Jne[xl)

x2],當/(，〃)=/(")時，總有/(〃7+”)=l,則()

九71

B.超一百=5，（p=-

7171

D.

7.己知。=/肪，c=d+l,則（。一c）2+（Z?-d）2的最小值是（)

A.1B.0C.2D.20

8.如圖，三棱柱中，他=4,AC=3,BC=5,M=6,。為CQ中點，E

為8耳上一點，甌=3而，4,AC=60。，M為平面A41GC上一點，且BM//平面

A.1B.5/2C.6D.2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。

9.關(guān)于多項式（--幻6的展開式，下列結(jié)論正確的是（）

x

A.各項系數(shù)之和為1B.二項式系數(shù)之和為2$

C.存在常數(shù)項D.x4的系數(shù)為12

10.某高中積極響應(yīng)國家“陽光體育運動”的號召，為確保學(xué)生每天一小時體育鍛煉，調(diào)查

該校3000名學(xué)生每周平均參加體育鍛煉時間的情況，從高一、高二、高三三個年級學(xué)生中

按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300名學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小

時），整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法正確的是（）

A.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間為5.8小時

B.估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)約為300人

C.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分比為10%

D.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數(shù)約為600人

11.已知X,ye/?,且滿足V+4y2+2肛=2,下列正確的選項有()

A.孫的最大值為:B.V的最大值為:

32

4

C.x?+4y2的取值可以為§D.r+4y2的取值可以為4

22

12.已知K，E分別為雙曲線C:[-4=l(a>0力>0)的左、右焦點，C的一條漸近線/的

a-b-

方程為y=6x，且K至卜的距離為3石，點P為C在第一象限上的點，點。的坐標為(2,0),

尸。為NF；P工的平分線，則下列正確的是()

)2

A.雙曲線的方程為土—上=1

927

B,也=2

\PF2\

C.西+函=3#

D.點P到x軸的距離為獨1

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線f(x)=sinx-2cosx-l在點(J0)處的切線方程為

14.已知隨機事件A和8相互獨立，若P(AB)=0.36,P(Z)=0.6(%表示事件4的對立事件),

貝IJP(B)=.

15.所謂正多面體，是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的

多面角.例如：正四面體(即正棱錐體)的四個面都是全等的三角形，每個頂點有一個三面

角，共有四個三面角，可以完全重合，也就是說它們是全等的.畢達哥拉斯學(xué)派將正多面體

稱為宇宙體，并指出只有五種宇宙體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正

二十面體.由棱長為1的正方體的六個表面的中心可構(gòu)成一正八面體，則該正八面體的內(nèi)切

球的表面積為.

16.如圖，平面凹四邊形45C￡),其中45=5,BC=8,ZABC=60°,ZADC=\20°,則

四邊形ABCD面積的最小值為.

B

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,b=2,c=3,

三角形ABC的面積為更.

2

(1)求BC邊上的高；

(2)求sin(A-2C).

18.設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為，,若滿足5向=35.+2(〃+1),且4=2.

(1)證明:數(shù)列U+D是等比數(shù)列;

2x3〃1

(2)判斷數(shù)列｛——｝的前“項和與之的大小關(guān)系，并說明理由.

的向2

19.如圖，正四棱錐S—中，S4=4,AB=2,E為棱SC上的動點.

(I)若E為棱SC的中點，求證：54〃平面比)E;

(2)若￡滿足SE=3EC,求異面直線SA與8E所成角的余弦值.

S

20.高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著

若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面?/p>

有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊

碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾

頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以!的概率

2

向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1,2,…，7的球槽內(nèi).例

如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.

圖1圖2

（I）如圖1,進行一次高爾頓板試驗，求小球落入5號球槽的概率；

（II）小紅、小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽

獎”活動.小紅使用圖1所示的高爾頓板，付費6元可以玩一次游戲，小球掉入，"號球槽

得到的獎金為€元，其中4=|16-4愣］.小明改進了高爾頓板（如圖2）,首先將小木塊減少

成5層，然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時，有:的概率向左，5的概率向右滾下,

最后掉入編號為1,2,???,5的球槽內(nèi)，改進高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次游戲,

小球掉入〃號球槽得到的獎金為〃元，其中？=（〃-4）2.兩位同學(xué)的高爾頓板游戲火爆進行，

很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小紅和小明同學(xué)誰的盈利多？請說明理由.

21.已知橢圓「:二+與=1（4乂>0）的右焦點為F（c,0）（c>0）,離心率為趙，經(jīng)過尸且

ab"2

垂直于X軸的直線交r于第一象限的點M,o為坐標原點，且|。加|=半.

（I）求橢圓「的方程；

（H）設(shè)不經(jīng)過原點O且斜率為!的直線交橢圓「于A,5兩點，A,3關(guān)于原點O對稱

2

的點分別是C，D,試判斷四邊形438的面積有沒有最大值.若有，請求出最大值；若

沒有，請說明理由.

22.己知函數(shù)/(x)=gf+〃a+2濃-〃在點(1,.f(1))處的切線垂直于了軸.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若f(x)存在三個都為正數(shù)的零點，求證：任意兩個零點的差小于2.

考前20天終極沖刺高考模擬考試卷(5)答案

1.解：因為集合4={刈，-4*+3轟D}={x|lA?3),

又A「p=0,

所以.3.

故選：A.

2.解：復(fù)數(shù)失(a+2i)(2+i)2a—2a+4.

(2-z)(2+0-551

Z的虛部為孚,

故選：D.

3.解：0<sinl<1,

.-.202產(chǎn)>2021°=1.log^/sin1)<log2021l=0,

:.b<c<a.

故選：B.

4.解：拋物線y2=2px(p>0)上的點A(3,y0)到焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍，可得

3+5=9,解得p=12,所以拋物線方程為：y2=24x,拋物線丁=2px(p>0)上的點

A(3,%),

可得丫；=24x3,解得％=±6夜.

故選：A.

5.解：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃Q2),對稱軸為X=〃,

又尸(X>-1)+P(X..5)=1,而P(X>-1)+P(X,,-1)=1,

所以P(X屋)=P(X-1),所以5和-1關(guān)于對稱軸對稱，

則“互>1=2,

故選：D.

6.解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(2x+e)(4>0,|0?9部分圖象，可得4=2,

函數(shù)的周期為=="，.?.々一玉=LT=],故排除A、C.

222

對不同的”?，ne[xt,句,當不時，總有了(祖+")=1,

.2m+9+2〃+0_2占+0+2X2+(p_萬一29

2222

JI

故/(機+〃)=2$出(乃-2夕+夕)=2$出夕=1,:.(p=—,

6

故選：D.

7.解：根據(jù)題意，a=hib,則SM)是曲線C：y=/nr上的點，

c=d+\,貝ij(d,c)是直線/：y=x+l上的點；

則(a-c)2+g-d)2可看成曲線C上的點到直線/上的點的距離的平方.

對函數(shù)y=/依求導(dǎo)得了'='，令y'=i,得x=i,

X

所以，曲線c上一點到直線/上距離最小的點為(1,0),

該點到直線/的距離3.

d=Vi+T

因此，(〃-c)2+(b-d)2的最小值為2；

故選：C.

8.解：由題意得5￡=2,CD=3,在C￡>上取點％,使MQ=2,M,C=1,則

且=

所以四邊形是平行四邊形，所以8必〃?！?

CM.CM、1

在AC上取點使〃,A=2,M,C=1,則號=G=7,所以必加，“A。.

M\DM2A2

又8陷口加附2=用1,DEQAZ>=D,

所以平面8MM//平面4)E,所以點M的軌跡就是線段叫用2，

在中，CM,=CM2=1,ZM,CM,=120°,

由余弦定理得MtM2=《BM；+BM；_2BM「BM?cos120°=Q.

AA,

故選：C.

9.解：對于多項式(*-x)6的展開式，令x=l,可得各項系數(shù)之和為1,故A正確；

X

二項式系數(shù)和為=64,故B正確；

根據(jù)它的通項公式為(+1=晨,26一.(-1廣/-6,當「=3時，x的基指數(shù)等于零，故第四項

為常數(shù)項，故C正確；

令展開式中x的幕指數(shù)等于4,求得r=5,可得展開式中/的系數(shù)為C；x2x(-1)=-12,

故。錯誤，

故選：ABC.

10.解：對于A,估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間為

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8小時，故選項A正確；

4

對于8,高一年級的總?cè)藬?shù)為3000x正=1200人，

由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生每周平均體育運動時間不足4小時的頻率為

(0.025+0.1)x2=0.25,

所以估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)約為1200x0.25=300人，故選

項8正確；

對于C,該校學(xué)生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分比為(0.075+0.025)x2=20%,

故選項C錯誤；

對于。，該校學(xué)生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數(shù)約為3000x0.2=600人，故

選項。正確.

故選：ABD.

11.解：對于A,B：2-x2+4y2+2xyJ^-xy+2xy=6xy=>xy當且僅當x=2y=土如

33

時，等號成立，故A正確，8錯誤，

對于D：由2=f+4y?+2孫京ip+4y2+4)，2)=>/2+4)，g,當且僅

當x=2y=土，時，等號成立，故工2+4)，2的取值可以為g,也可以為4,故C,D正確,

故選：ACD.

12.解：???漸近線/的方程為了=△，.?.2=6,

a

|—'(-c)l

?.?耳(-c,0)至I"的距離為34，3v3=^--=h,

..a=3,

22

??.雙曲線的標準方程為x工-v匕=1,即選項A正確；

927

c=Ja2+尸=的+27=6?

—),每(6,0),

由角分線定理知‘制=匿=5=2'即選項B正確;

由雙曲線的定義知，|P/"-|Pg|=2a=6,

.?」即巴

|=12=|4\PF2\=6,

在等腰△P6F2中，cosNPF，K=2Ltn=」=L

124

2

.?.sinZPF2￡=^\-COSAPF2F.=殍,

19

.,.4=|OF2\-\PF2\cosZPF2Fi=6-6x-=-,

即選項。正確;

yp=\PF21sin/-PF^\=6x—^=3^,

??.IOP|=號+(孚)2=3瓜>

.'.IPF\+PF\\=\2OP\=2\OP|=6娓,即選項C錯誤.

故選：ABD.

13.解：fM=sinx-2cosx-1的導(dǎo)數(shù)為/'(%)=cosx+2sinx,

可得曲線/(x)=sinx-2cosx-l在點g,0)處的切線的斜率為廣(9=cos]+2sin]=2,

TT

則切線的方程為y-0=2(x-g),

即為2x_y_%=0.

故答案為：2X-了-萬=0.

14.解：隨機事件A和5相互獨立，P(A8)=0.36,P(4)=0.6(無表示事件A的對立事件)，

:.P(A)=1—0.6=04,

P(AB)0.36八,、

?p(B)=—?--=——=0.9.

'尸⑷0.4

故答案為：0.9.

15.解：由對稱性可知，正八面體的內(nèi)切球的球心為正方體的中心，設(shè)為O,

則O到其中一個面ABC的距離即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)為R，

由正方體的棱長為1,可得AB=BC=AC=變，

2

由V=丫可得夜X&X^R

出VA-BOCVO-ABCfWJ1^—XTXTXTXT-ZXZXX——X--K,

3222232222

可得寵=走

6

兀

???該正八面體的內(nèi)切球的表面積為S=4TTX

IT

故答案為：y.

16.解：連接AC,則S.BCO=S^sc-S/MDC=5，AS-BC?sinZABC-=106-S1Vlec,

XAC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=49，故AC=7，

在AADC中

AC2=49=AD2+DC2-2AD-DCCOSZADC=AD2+DC2+AD-DC..3AD-DC,

故竺，故5仙碇=-ADDCsinZADC=—ADDC?,

3AAec2412

故^ABCD=10百-=,

zioCZyZi/iZxC[2[2

故四邊形"8面積的最小值為Z史，當且僅當AO=OC=拽時"=”成立，

123

故答案為：辿.

12

17.解：(1)因為b=2,c=3,三角形ABC的面積為^=)hcsinA='x2x3xsinA,

222

解得sinA=—，

2

因為A為銳角，可得A二。，

由余弦定理可得〃=^Jh2+c2-he=A/22+32-2X3=不，

設(shè)3C邊上的高為力，則l〃〃=J_xV7x〃=迪，

222

解得〃=之亙.

7

即3c邊上的高為主包.

片+加-c?7+4-9_6

(2)因為cosC=

2ab-2xV7x2-14

可得sinC=Jl-cos2c=2^1,sin2C=2sinCcosC=>cos2C=2cos2C-l=--,

141414

所以sin(A-2C)=sinAcos2C-cosAsin2c=-x(--)-—x.

2142147

18.(1)證明：由5,向=3，+2(”+1)可得：S?=3S?,l+2n(n..2),

兩式相減得：an+t=3??+2,幾.2,

又當〃=1時，有$2=3SI+4,即a2=2q+4=3q+2也適合上式,

,%=3%+2，

,4,+i+1=3(4+1)，

又%+1=3。0,

,數(shù)歹U｛《,+1｝是首項、公比均為3的等比數(shù)列;

(2)解：由(1)可知/+1=3",即凡=3"-1,

2x3"2x3"_1_______1_

'aa.~(3"-l)(3n+1-1)-3"-1"3n+l-1，

111111n1

+1<

=-一=-

丁32321334-..-+-13I3/?+12

-13W1-

-1-1-1

--

19.（1）證明：連結(jié)AC交加于點O,則O為AC的中2點，連結(jié)OE,

因為E為SC的中點，所以必〃OE,

因為S4仁平面皿無，OEu平面5/）￡,

所以54〃平面BDE;

（2）解：因為S-ABCD是正四棱錐，所以O(shè)為頂點S在底面的射影,

故SO_L底面且AC_L8D,

故以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

因為SA=4,AB=2,SE=3EC,

則A(在0,0),5(0,0,3揚,8(0,0,0),C(-0,0,0),E(-—,0,—),

44

所以耘=(夜,0,-3夜)，BE=(--,-72,—),

44

M|COS<SA^^BB=-V=—

則|SA||B?2&x典85，

2

故異面直線SA與BE所成角的余弦值為返.

85

20.高解：（I）設(shè)這個小球掉入5號球槽為事件4.掉入5號球槽，需要向右4次向左2

次,

所以P（A）=C：（；）2（；）“=^|.所以這個小球掉入5號球槽的概率為著.

（4分）

（II）小紅的收益計算如下：每一次游戲中，J的可能取值為0,4,8,

12.P?=0)=P(m=4)=戲(I)3(〈)3=A,

2216

P短=4)=P(m=3)+尸(〃?=5)=*2(夕+嫁本(3=,

P/=8)=P(m=2)+P(m=6)=*)夕+*抬)=,,

P記=12)=P(m=1)+P(m=7)=<^(1)6+或(乎='.

￡04812

p51531

1732T632

一次游戲付出的獎金心=0'磊+4*1|+8'得+12''=?,

159

則小紅的收益為6—-=—.---------（8分）

44

小明的收益計算如下：每一次游戲中，〃的可能取值為0,1,4,9.

12,32

P?=0)=p(〃=4)=C；(-)(-)3=言，

?2240

PS=1)=P5=3)+P(n=5)=C：q)2(-)2+C：6)4=—,

333ol

I28

=4)==2)=C：($(-)=—,

P(〃=9)=P("=1)=(!)4=!.

:11的分布列為:

n0149

p324081

8?8?8181

32402i

一次游戲付出的獎金切=0x興+lx黑+4x2+9x*=1,則小明的收益為4—1=3.

81818181

9

3>—,?,.小明的盈利多..............（12分）

4

21.解：（I）由題意知￡=正，即①，

a23

^a2=b2+c2,可得I=[②,

3

x=c\x=c

聯(lián)立Vy2,，解得h2，

b+F=1y=±—

Ia

則點M(c,—),

a

則|OM|=Jc2+(—)2=叵③,

\a2

聯(lián)立①②③，解得c=a=2,b=l,

所以橢圓「的方程為%

（II）設(shè)直線4?的方程為y=gx+〃7,

I

y=—x+m

2

聯(lián)立得2x24-4tnx+4(/n2-1)=0,

X2

—+V2=1

.4