2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)模擬考試卷（十五）【含答案】

2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)模擬考試卷（十五）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={X|X2-X-2<0},B=若={x|1<x<2},則

實數(shù)m的取值范圍為（）

A.{2}B.[2,+oo）C.（1,+<?）D.[1,2]

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l-i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)彳的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

07

3.（5分）已知a=log。*0.3,/2=Iog（）70.4,c=0.3,則（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

4.（5分）設(shè)非零向量a,B滿足|引=4|5|,cos<a>b>=—,a-（a-b'）=30,貝U|5|=（

4

）

A.72B.GC.2D.x/5

5.（5分）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和

舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80.?如為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血

壓滿足函數(shù)式p?）=+25sin（I60m）,其中p⑺為血壓（單位：，加”g）,r為時間（單位：

min）,則下列說法正確的是（）

A.收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值

B.收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值

C.收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值

D.收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值

6.（5分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知點P（l,0）和圓O：f+y2=],在圓O上任取一點

Q,連接尸。，則直線尸。的斜率大于的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6336

7.（5分）已知拋物線Uy?=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過尸的直線與拋物線C交

于點A,B,與/交于點。，若麗=4麗|AF|=4,則p=（）

A.2B.3C.4D.6

8.（5分）球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩個點的大圓在這兩點間的一段

劣弧的長度（大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓），我們把這個弧長叫做兩點的球面

距離.已知正A4BC的頂點都在半徑為2的球面上，球心到A4BC所在平面距離為？馬員，

3

則A,8兩點間的球面距離為（）

Ar>萬27r37c

A.TVB.—C.——D.—

234

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。

9.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（g-e）（o>0,的部分圖象如圖所示，則下列選項正

確的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為3萬

STT

B.（―,0）為函數(shù)八幻的一個對稱中心

4

C./（0）=-1

D.函數(shù)/（x）向右平移］個單位后所得函數(shù)為偶函數(shù)

10.已知下列選項中正確的為（）

A.若右一服=1,貝1Ja-bvlB.若〃2一/=1,則

若則

C.2“-2'=1,a—hvlD.log2a-log2b-\,則。一hvl

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=e"一"X-sin2x,若/(%)>/(%2)，貝U()

A.B.C.In|x,|>In|x21D.A,|x,|>x21|

12.（5分）設(shè)隨機變量X表示從1到"這“個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，y表示從1到X

這X個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，貝！1（）

A.當(dāng)"=3時，P（X=2,y=l）=-

3

B.當(dāng)〃=4時，P（X+r=4）=—

24

C.當(dāng)〃=《k..2且AeN*）時，P（X=k,y=l）=5

D.當(dāng)〃=2時，y的數(shù)學(xué)期望為之

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（x-2）4的展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答）

X

14.（5分）已知向量右=（1肉,1=（2->3）,若aj_（2”5）,且1x0,則cosva,h>=.

15.（5分）已知數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列,設(shè)c.=2"，+2%+2%+~+2"”，若存在常

數(shù)加，使得數(shù)列｛%+叫為等比數(shù)列，則機的值為一.

16.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線9=2px（p>0）與雙曲線

22

二-烏=1（“>（）,/,>0）及其漸近線在第一象限的交點分別為P,A,拋物線的焦點F恰與

ab

雙曲線的右頂點重合，AFLx軸，則2=______;若以7=的芭，則〃=_.

a2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在AA8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且方+c=?cosC.

（1）求角5的大??；

（2）設(shè)。為邊AC上一點，ZABD=NCBD,BD=\,求AABC面積的最小值.

18.（12分）已知數(shù)列｛”,｝的首項為&=3,5“是｛《,｝的前”項和.

（I）若S,=ga,,+1+1.求數(shù)列｛6,｝的通項；

（II）若a“*]>3a“，證明：S.>絲萬一?（〃..2）.

19.（12分）為檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研人員從某市隨機選取

20000名志愿者，并將該疫苗注射到這些人體內(nèi)，獨立環(huán)境下試驗一段時間后檢測這些人的

某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，統(tǒng)計得到如表頻率分布表：

醫(yī)學(xué)指標(biāo)19,11)L11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21)[21,23J

值X

頻率0.050.10.150.40.20.060.04

（I）根據(jù)頻率分布表，估計20000名志愿者的該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值無（同一組數(shù)據(jù)用該組

數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；

（II）若認(rèn)為注射該疫苗的人群的此項醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X服從正態(tài)分布用（I）中

的平均值無近似代替〃，且P（14,,X<17.76）=0.5,且首次注射疫苗的人該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)值不

低于14時，則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；現(xiàn)從該市隨機抽取3人進行第一次疫苗注射，求

能產(chǎn)生抗體的人數(shù)J的分布列與期望.

20.（12分）如圖，在四邊形PDC5中，PD//BC,BALPD,PA=AB=BC=\,=沿

2

BA將APAB翻折到ASBA的位置，使得SD=—.

2

（1）作出平面SC￡）與平面SB4的交線/,并證明/L平面CSB；

（2）點。是棱SC上異于S,C的一點，連接QQ,當(dāng)二面角Q-BDC的余弦值為遠(yuǎn)時，

6

求此時三棱錐Q-BCD的體積.

21.（12分）己知拋物線C：V=2px（p>0）的焦點是尸，若過焦點的直線與C相交于尸，Q

兩點，所得弦長|P。|的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)A,5是拋物線C上兩個不同的動點，O為坐標(biāo)原點，若。41.03,OMLAB,M

為垂足，證明：存在定點N,使得|MN|為定值.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=a/nx-x,a&R.

(1)若/(x),,0恒成立，求a的最大值；

(2)若函數(shù)尸(x)=/(x)+x2存在兩個極值點X1,x2.

①求a的取值范圍；

②設(shè)曲線y=F(x)在x=處的切線方程為y=G(x).當(dāng)x>0時，試比較尸。)與G(x)的

大小，并說明理由.

答案

1.解：*/A={x|-1<%<2},B={x\\<x<m]y_EAQB={x|1<x<2},

"7..2,

??.m的取值范圍為：［2,+oo).

故選：B.

得卷=湍匕1-2/+/2-2Z

2.解:由z(l+/)=1-/,Z

12+12~~T

z=i.

故選：A.

3.解：vl=log040.4va=log040.3<log040.16=2,b=log070.4>log()70.49=2

c=0.3°7Vo.30=1,

故cv0va，

故選：A.

4.解：非零向量MB滿足|初=4151,cos<a,b>=—a-(a-b)=30,可得

4

222

a-ah=\6b-h=309

解得|5|=JL

故選：A.

5.解：p(r)=101+25sin(160^),

?.,一掇小in(160加)1,

/.p(t)G[76,126],

即為收縮壓為126,舒張壓為76,

?.?120e[78,126],讀數(shù)120/80“M〃？為標(biāo)準(zhǔn)值，

收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值、舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，

即選項C符合，

故選：C.

6.(解：當(dāng)直線尸。的傾斜角為120。時，斜率-6,

當(dāng)。沿著圓弧QP順時針運動時，斜率小于-6,

由ZPOQ=60°得所求概率P=-.

36006

故選：D.

過點A作AN_L準(zhǔn)線/于N,過點3作準(zhǔn)線乙于

則|AF|=|4V|,\BM[=\BF\,

又因為詼=4喬，^\DB\=4\BF\=4\BM\,

所以cosNE>8W=g^=L,所以cosN必N=」，

BD44

AJ-f1

過/作/7/_LAV,則cosNE4N=——=一，

AF4

由AF=4可得：AH=1,

又因為AV=AF=4,所以M7=4-l=3,

即點尸到準(zhǔn)線的距離為3,

所以由拋物線定義可得p=3,

故選：B.

8.解：設(shè)正AA8C的中心為01,連結(jié)QA,OA,

是正AABC的中心，A、B、C三點都在球面上，

.?.Q0_L平面ABC,

?.?球的半徑R=2,球心O到平面ABC的距離為半，得00=平，

22

.-.AOt=^AO-OOt=卜一(當(dāng)f=孚，

ABc“八46

?/--------=2AO.=-^—,

sin60013

7T

:.AB=2,ZAOB=-,

3

二.A,〃兩點間的球面距離為：2x-=—.

33

故選：C.

9.解：根據(jù)函數(shù)/(x)=sin(or-0)3>0,|/|<鄉(xiāng)的部分圖象，

可得，-T=7r--所以7=34，故A正確；

44f

由=3幾，可得g=2,

co3

由點(；，0)在函數(shù)圖像上，可得singx?-9)=0,可得2x?-9=)br,k&Z,解得

(p=--k7T>k^Z,

6

因為lek三，可得夕=%,可得f(x)=sin(2x一馬，

2636

因為/(.)=sin(2x'-2)=$山至=且片0,故3錯誤；

434632

由于/(0)=sin(--)=--,故C正確；

62

將函數(shù)〃x)向右平移三個單位后所得函數(shù)為/(X-鳥=sin[2(x_馬_M]=_cos立為偶函

223263

數(shù)，故。正確.

故選：ACD.

10解：A：當(dāng)a=9,6=4時，滿足-卡=1,(Ha—Z?=5>1>錯誤，

B：若〃-從=1,則/一g從，即(a+i)(a_i)=〃，

a+1>a—1)ci—1<b,即a—b<1,B?

C：若2"—2"=1,則a-6=Iog2(2"+l)—人=log2(l+2"),由于6>0,

所以0<2”<1,所以。一〃<log22=l,故C正確，

D：log,a-log,b=log,—=1,則a=2b即可，當(dāng)a=4,b=2,a-b=2>l,故￡>錯誤.

b

故選：BC.

11.解：因為f(x)=e'-eT-sin2x,定義域為R,

f(-x)=e~x-ex+sin2x=-f(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，

又f'(x)=ex+e-x-2cos2x朦-2cos2x0,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

由/(X1)>/(彳2)，可得芯>々,所以'-工2>。,

所以e*f>1,故8正確；

又因為函數(shù)y=x|x|在A上單調(diào)遞增，所以內(nèi)|為|>々1%1，故。正確；

由司>々，取特殊值玉=1,x,=-2,可判斷A,C錯誤.

故選：BD.

12.解：A.當(dāng)〃=3時，P(X=2)=-,P(y=l)=l,.-.p(X=2,y=l)=-x-=-,因此A

32326

不正確；

B.當(dāng)〃=4時，X+y=4,-：X..Y,;.X=3,y=l；X=2,y=2.

x=3,y=i時，p（x=3,y=i）=-x-=—；

4312

X=2,丫=2時，f（X=2,Y=2）=-x-=-.

428

，p（x+y=4）=p（x=3,y=i）+p（x=2,y=2）=—+--,因此3正確.

12824

c.當(dāng)”=M&..2且keN*）時，P（X=A:）=l=P（y=l）,.-.p（x=k,Y=l）=-x-=—,因

kkkk

此c正確.

D.當(dāng)〃=2時，尸(X=1)=P(X=2)=；,

.?.X的分布列為：

X12

P12

22

P（X=1,y=1）=工，P（X—2,Y=1）=—x—=—?P（X=2,y=2）=—x—.

2224224

的分布列為:

Y12

P32

44

.?.E（y）=lx（；+；）+2x；=|.因此O正確.

故選：BCD.

13.解：展開式的通項公式為加(-2)，=(_2)/》

x

令4-2廠=0得r=2

得常數(shù)項為C：(-2)2=24.

故答案為24.

14.解:根據(jù)題意,向量a=(1水),5=(2-2,3),則2萬-5=(k,2k-3),

若］_L（26一5）,貝IJ萬＜2萬-5）=&+無（2左一3）=0,

解可得：左=0或左=1,

又由AxO,貝ijA=l,

則1=(1,1),6=(1,3),

則有|&|=0,||=V10,10=1+3=4,

rab42后

fixcos<a?b>=-----=—F=—==-------,

\a\\b\x/2xV105

故答案為：巫.

5

15.解：數(shù)列｛”"｝是公差為d的等差數(shù)列，

可得d=4-a,i，

c?=T'+T1+2n,+...+2°"=2"貝一：",

由于數(shù)列｛q,+M為等比數(shù)列，

yi\

所以inH-------=0,即/2=.

1-2J2—

故答案為：

2d-1

16.解：?.?拋物線的焦點F恰與雙曲線的右頂點重合,

:.a=—<EPp=2a,

2

?.?AF_Lx軸，且點A在漸近線y=?x上，

a

A(a,b)，

V=2Px

聯(lián)立y2,且P=2a,b=2a,則有f-or—/=0,

干評I

1+A/51+5/5

解得x=-------a=--------p,

24

由拋物線的定義知，PF=x+E=±5p+E=上叵，

2422

p--2?

故答案為：2；2.

17.解：(1)由正弦定理知，—=—=—,

sinAsinBsinC

?/2a+c=2/?cosC,

/.2sinA4-sinC=2sinBcosC,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2cosBsinC+sinC=0,

vsinC^O,cos^=--,

2

,/Be(0,4)，/.B=—.

3

(2)由(1)知，B=—,

3

71

."ABD=NCBD=-,

3

在MBD中，由余弦定理知

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=c2+\-2c\-=c2-c+\,

2

在A5CD中，由余弦定理知

CD2=BC2+BD2-2BCBDcosZCBD=a2+l-2al-=a2-a+\,

2

由角分線定理知，絲=絲=￡,

CDBCa

C*2—c+]W

---------=—,化簡得(a-c)(〃+c-ac)=0,

a—a+la"

當(dāng)。一。=0,即。=c時，AABC為等腰三角形，其面積為定值；

當(dāng)a+c-ac=0時，ac=a+c..2\[ac,:.ac.A,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，等號成立,

AA8C的面積S=—-sinR.x4xsin—=y/3,

223

AA8C面積的最小值為G.

18.(I)解：由S"=1.+l得：當(dāng)〃..2時，Sn.=~a+l,

ii2"+i/i—i2”

?e?Sn-Si=g(%-%)，即4=g(4+i一4)，

.,.幾.2時，4=3,

又q=3,5|=~4+1，*,*%=4,

a4

..—2=一。3,

43

當(dāng)兒.2時，〃〃=4X3”-2,

數(shù)列｛““｝的通項公式為.

[4x3，幾.2

2311

(II)證明：若a"+]>3a〃得：an>3an_x>3an_2>3an_3>...>S""ax(n..2),

2

?.an>3""4=3",an_｛>3"“q=3"」，....，a2>3a1=3?4=q,

各式相加得：Sn=%+。)+…+>3+3~+3,3+…+3"(〃..2),

又???3+32+3、…+3“=

1-32

..S“>~(〃-2).

19.解：(I)x=0.05x10+0.lx12+0.15x14+0.4x16+0.2x18+0.06x20+0.04x22=15.88；

(II)由P(14領(lǐng)k17.76)=0.5,且正態(tài)密度曲線關(guān)于x=〃=15.88對稱，

所以P(X<14)=P(X>17.76)='"4.灰17.76)=Q25,

2

P(X..14)=1-P(X<14)=1-0.25=-,

4

由題意可得，隨機變量g=o,i,2,3,且入8(3,3，

4

所以pe=o)=C(：)3(%=],

4464

尸C=1)=C(：1)23(=)0T，

4464

所以隨機變量4的分布列為:

40123

p192727

64646464

39

所以隨機變量g的數(shù)學(xué)期望為E?=〃P=3X±=N.

44

20.解：(1)如圖，延長54,8相交于E,連接SE,則SE為平面S8與平面S8A的交

線/.

證明：在A5A￡>中，S4=l,AD=~,SD=—,則SA?+AO?=SO?,r.SA_LA￡>,

22

由SA_LAD,ADYAB,SA^AB=A,得AD_L平面SAB,

又BCUAD,.?.3CL平面SA3,則3CJ_S￡,

由尸￡>〃BC,AB=BC=\,AD=~,得AE=1,

2

:.AE=AB=SA,可得SELSB,

又SB=B,SE-L平面CSB,

即/±平面CSB；

(2)由(1)知，SA_L4?,AD±AB,AD±SA.

以點A為坐標(biāo)原點，分別以AD,AB,AS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

貝|JA(O,0,0),8(0,I,0),C(1,1,0),D[-,0,0),5(0,0,1),

2

BD=(-,-l,0),設(shè)苑=彳豆(0<2<l),則Q(/l,2,1-A),

2

BQ—(A,A,—1,1—A)9

設(shè)月=(x,y,z)是平面QBO的一個法向量，

n-BD=—x-y=0?1-34

則2，取x=2,可得”=(2,1,-----),

n-BQ=+(2-1)j+(1-2)z=0%

m=(0,0,1)是平面CBD的一個法向量,

1-32

,,-_|?乃?比?

由cos<Fl,m>|=-----1-2一,

\n\\tn\L/—34\>>6

5+(--Yxl1

I-A

解得;1=；,.?.點。是sc的中點，

VXXXX1X1X

:t?w-?DC=^W^^]=|^]^=^-

21.解：⑴設(shè)直線P0的方程為》=沖+$%%，乂)，。(々，必)，

聯(lián)立,2y2-2pmy+p-=0,

y2=2px

所以X+必=2Pm,XM=p2，

2

x,+X2-myt+y+my2+^=m{yi+y2)+p=2pm+p

所以IPQHP用+|/7。1=&+￡+々+5=西+々+0=20/+2/?=2爪1+>),

當(dāng)帆=0時，|尸0|,“加=20=4,解得°=2,

所以拋物線的方程為y?=4x.

(2)設(shè)直線AB的方程為x=)+s,A(w，/)，8Q4,y4),

因為Q4_L