立體及其截交線

一、棱柱體作圖：（1）畫出頂、底面的三面投影；（2）畫出每條棱線的兩面投影，判別可見性。棱柱是由兩個平行的頂面、底面以及若干個側(cè)棱面圍成的實體，且側(cè)棱面的交線（稱棱線）互相平行。把棱線垂直于底面的棱柱稱為直棱柱，棱線與底面斜交的棱柱稱為斜棱柱，底面為正多邊形的直棱柱稱為正棱柱。以正五棱柱為例，繪制其三面投影圖。第一頁第二頁，共29頁。作圖：（1）根據(jù)“長對正”，作A點水平投影a，利用“高平齊”、“寬相等”，求出A點的W面投影a

，且為可見；棱柱體表面上取點（2）同樣方法求得B點的投影b、b，并判別可見性。已知表面上點的一個投影，求作點的其余兩面投影，可充分利用棱柱的側(cè)表面投影有積聚性特點作圖?！纠?-1】已知正五棱柱表面上A、B兩點的某一投影a

、b〞，求其另外兩面投影。第二頁第三頁，共29頁。二、棱錐體作圖：（1）畫出底面ABC和頂點S的三面投影；（2）完成棱線SA、SB、SC的三面投影，并判別可見性。棱錐是由一個底面和若干個側(cè)棱面圍成的實體，底面是多邊形，各側(cè)棱面為三角形，所有側(cè)棱面交于錐頂。與棱柱類似，也有正棱錐和斜棱錐之分。以正三棱錐為例，繪制其三面投影圖。

第三頁第四頁，共29頁。棱錐體表面上取點、取線作圖：（1）繪制棱錐的W面投影;（2）求作直線EF的V、W面投影。（3）求作直線DE的V、W面投影。求作棱錐表面上的點和線的投影，實際就是求作平面上點和線的投影,要注意分析點和直線從屬于哪個表面，該表面投影是否可見。【例3-2】已知三棱錐SABC的V、H面投影及其表面上直線DE、EF的水平投影，試完成其余兩面投影。第四頁第五頁，共29頁。3.1.1平面立體表面截交線的投影把平面與立體表面的交線稱為截交線，該平面稱為截平面。一、平面立體表面截交線的性質(zhì)1．共有性。截交線是截平面與平面立體表面的共有線，其上所有點既在截平面上又在立體表面上，是它們的共有點；移走部分截平面2．封閉性。由于立體占據(jù)空間一定的范圍，故其在空間截交線一定是封閉的平面圖形。第五頁第六頁，共29頁。

二、平面立體表面截交線的作圖當用截平面截切平面立體，所得截交線是一平面多邊形，其每個頂點是截平面與立體棱線或底邊的交點，每一條邊是截平面與棱面或底面的交線（直線）。因此，求解截交線的投影可歸結(jié)為求這些頂點和交線的投影，可以利用兩平面相交求交線、直線與平面相交求交點的作圖方法求出平面多邊形各頂點的投影。第六頁第七頁，共29頁。

1．棱柱表面上截交線

分析：截平面分別與五棱柱的頂面以及四個側(cè)棱面相交，截交線形狀是五邊形。由于截平面為正垂面，所以截交線的正面投影為一斜線（具有積聚性）。交線所在的四個棱面都垂直于水平投影面，截交線上的四條邊的水平投影與這些棱面的水平投影重合。作圖：（1）畫出完整的正五棱柱的W面投影；【例3-3】已知切口五棱柱的V、H面投影,求作W面投影。（2）確定截交線的正面投影和水平投影,并找出五個頂點A、B、C、D、E；（3）求作各頂點的側(cè)面投影a

、b、c、d、e，并順序連接各點，判別可見性；（4）補全切口五棱柱的輪廓線，擦去多余線條。第七頁第八頁，共29頁。2．棱錐表面上截交線分析：截平面與四棱錐相交，截交線形狀是四邊形，四個頂點為截平面與四條棱線的交點。由于截平面為正垂面，所以截交線的正面投影是直線（具有積聚性），水平投影面和側(cè)面投影為類似的四邊形。作圖：【例3-5】已知截頭四棱錐的正面投影，補全其水平投影，求作側(cè)面投影。（1）畫出完整正四棱錐的W面投影；（2）取截交線的四個頂點A、B、C、D，并求作各頂點的H、W面投影；

（3）順序連接各點的同面投影，補全切口四棱錐的輪廓線第八頁第九頁，共29頁。3.2回轉(zhuǎn)體及其表面截交線3.2.1回轉(zhuǎn)體表面特性及其投影一、回轉(zhuǎn)面的形成回轉(zhuǎn)體是由回轉(zhuǎn)面與平面或全部由回轉(zhuǎn)面圍成的實體，而回轉(zhuǎn)面可以認為是母線繞著空間指定的軸線旋轉(zhuǎn)而成的軌跡面，如圖所示，母線繞空間一直線作旋轉(zhuǎn)運動形成回轉(zhuǎn)面，該直線稱回轉(zhuǎn)軸，母線任一位置稱素線。母線上任一點的運動軌跡是圓，又稱緯圓，其所在平面垂直于回轉(zhuǎn)軸。繪制回轉(zhuǎn)體的投影，應先畫出回轉(zhuǎn)軸的投影，然后再畫出相對于投影面的轉(zhuǎn)向輪廓線（簡稱轉(zhuǎn)向線）、圓的對稱中心線等。第九頁第十頁，共29頁。圓柱體圓錐體圓球體表面特性形成圓柱體由頂面、底面和圓柱面圍成，圓柱面是由直母線繞著與之平行的軸線回轉(zhuǎn)后形成。圓錐體由圓錐面和底面圍成。圓錐面是由直母線繞著與之相交的軸線回轉(zhuǎn)后形成。圓球可以看成是一圓母線繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。直觀圖投影圖二、常見回轉(zhuǎn)體的表面特性及投影第十頁第十一頁，共29頁。3.2.2回轉(zhuǎn)體表面上取點、取線一、圓柱體表面上取點、取線【例3-7】已知圓柱體表面上點A、B的正面投影,求作其余兩面投影。分析：由a

、(b)投影可以判定點A在左前半圓柱面上，點B在右后半圓柱面上。水平投影為積聚性圓，投影a、b在此圓上，可利用“三等”關(guān)系求投影a、b。作圖：（1）求作圓柱的W面投影。（2）根據(jù)A、B的兩面投影求出投影a

、b，投影a為可見，投影（b）為不可見。第十一頁第十二頁，共29頁。二、圓錐體表面上取點、取線圓錐面的三個投影都沒有積聚性，因此，欲在表面上取點，并求該點的其余投影，只能借助于在圓錐面上作輔助線的方法來解?！纠?-9】已知圓錐面上點K的正面投影k

，用輔助線求解點K的其余兩面投影。輔助直素線法根據(jù)圓錐面的形成特點，過點K與圓錐錐頂S連接，必然得到圓錐面上一條直素線。第十二頁第十三頁，共29頁。輔助緯圓法過點K在圓錐面上作一緯圓，該緯圓一定垂直于回轉(zhuǎn)軸，借助于緯圓作為輔助線即可獲得該點的其它投影第十三頁第十四頁，共29頁?！纠?-10】已知圓錐面上曲線AB、直線SB的V面投影，求其H、W面投影。分析：直線SB為過圓錐頂點的直素線，故只需求出點B即可。欲求AB投影，可采用取其線上若干點，并利用圓錐面上取點的作圖方法求出這些點的投影，最后，將各點的同面投影光滑地連成曲線即為所求。作圖：（1）利用直素線法求B點投影b、b

，連接sb、sb

即得直線SB的投影。（2）求曲線AB上最低、最左點A的投影a、a，取最前點C（又是側(cè)面投影轉(zhuǎn)向點），求出投影c、c；（3）取一般點D、E，并用直素線法求出投影。（4）依次用光滑曲線連接各點的同面投影，水平投影為可見，側(cè)面投影a

c

可見，c

b

不可見。第十四頁第十五頁，共29頁。作圖：（1）過點A作水平緯圓，V、W面投影為水平的直線，H面投影是圓；（2）求作緯圓上A點的投影a、a

，并根據(jù)A點在球面上的位置判別可見性。三、圓球表面上取點由于圓球的三面投影都無積聚性，因此，表面上取點只能采用輔助緯圓法作圖?？紤]到投影作圖簡單、準確，應盡可能使緯圓的投影為直線或圓，一般是作三種位置的緯圓，分別平行于三個投影面?！纠?-11】已知球面上點A的正面投影，求其余兩面投影。分析：根據(jù)所給點A的投影及可見性，可以判定A點在前右上半球面上，其水平投影可見，側(cè)面投影不可見。水平緯圓正平緯圓第十五頁第十六頁，共29頁。3.2.3回轉(zhuǎn)體表面上截交線一、回轉(zhuǎn)體表面上截交線的性質(zhì)平面截切回轉(zhuǎn)面所得截交線一般是平面曲線，特殊情況下為直線，其形狀取決于回轉(zhuǎn)面的幾何性質(zhì)以及它與截平面的相對位置。截交線的投影還與截平面相對于投影面的位置有關(guān)。當截平面垂直于某投影面——截交線在該投影面上的投影是直線（有積聚性）當截平面平行于某投影面——該投影反映截交線的實形；當截平面傾斜于某投影面——該投影反映截交線的類似形。截交線是截平面與回轉(zhuǎn)面的共有線，截交線上的點是截平面與回轉(zhuǎn)面的共有點，求解截交線可以歸結(jié)為求解截交線上一系列點。第十六頁第十七頁，共29頁。求解截交線的步驟：1．空間及投影分析分析回轉(zhuǎn)面表面性質(zhì)，想象截交線的大致形狀；分析截平面與回轉(zhuǎn)面軸線的相對位置，想象截交線的空間形狀（唯一性）；根據(jù)截平面與投影面的相對位置，確定截交線的投影；分析截交線的投影是否具有對稱性，以簡化作圖，保證一定的準確性。2．投影作圖在已知截交線的投影上取特殊點，如極限位置點、可見與不可見的分界點等；根據(jù)作圖精度要求，在兩特殊點之間取若干個一般點；利用回轉(zhuǎn)面上取點的作圖方法（直素線法或緯圓法），求解點的其它投影；依次光滑地連接各點的同面投影，判別可見性。第十七頁第十八頁，共29頁。二、求解回轉(zhuǎn)體表面上截交線的投影1．圓柱面上截交線（表面上截交線形狀可以有三種情況）截平面的位置垂直于圓柱的軸線平行于圓柱的軸線傾斜于圓柱的軸線截交線圓兩條平行直線橢圓直觀圖投影圖第十八頁第十九頁，共29頁。【例3-12】已知被截切圓柱的正面投影和水平投影，求作側(cè)面投影。分析：（1）給定回轉(zhuǎn)面為圓柱面，截交線可能是圓、橢圓或直線；（2）由于平面與圓柱軸線斜交，所得截交線是橢圓；（3）因為截平面為正垂面，截交線的正面投影是一條斜線；又因圓柱面的水平投影有積聚性，截交線的水平投影為圓；截交線的側(cè)面投影是橢圓的類似形，且前后對稱，作圖時可以只在對稱的前半面上取點。作圖：(1)畫出完整圓柱的側(cè)面投影；(2)取特殊點投影。最低、最左點A、最高、最右點B、最前點C、最后點D，并求作其側(cè)面投影；(3)取一般點，并求作側(cè)面投影；(4)依次光滑地連接各點；(5)完成截切后圓柱的輪廓線。第十九頁第二十頁，共29頁?！纠?-13】知聯(lián)軸節(jié)接頭的側(cè)面投影，補全其兩面投影中的截交線。分析：左邊切槽和右邊切口可以看作是圓柱被多個平面截切的結(jié)果。左端矩形槽是由兩個對稱于圓柱軸線的水平面和一個垂直于圓柱軸線的側(cè)平面截切后，再將中間部分移走的結(jié)果。右端切口則是由兩個對稱于圓柱軸線的正平面和一個側(cè)平面截切后，再拿走前后兩塊。作圖：（1）求作左端的矩形槽。在前半圓柱面上取特殊點A、B、C、D，并求出其投影，畫出直線AB、CD以及圓弧AB的水平投影。（2）求作右邊的缺口。取對稱的特殊點E、F、G、K，并求截交線的正面投影。（3）補全缺口圓柱的輪廓線。第二十頁第二十一頁，共29頁。2．圓錐面上截交線截平面的位置過錐頂垂直于軸線θ=90o與軸線傾斜α/2<θ<90o與某素線平行θ=α/2與軸線平行截交線兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線直觀圖投影圖第二十一頁第二十二頁，共29頁?！纠?-14】已知圓錐被一個正平面P截切，求截交線的正面投影。分析：由于平面與圓錐軸線平行，所得截交線是雙曲線；截平面為正平面，其水平投影是直線，正面投影反映雙曲線的實形，且左右對稱。作圖：（1）求特殊點：最低點A、B（又是最左、最右點），最高點C；（2）求一般點D、E；（3）依次光滑地連接各點的正面投影。

第二十二頁第二十三頁，共29頁。3.圓球面上截交線平面截切圓球面，所得截交線形狀一定是圓。但截交線的投影可能是圓、直線或橢圓。平面平行于H面平面垂直于H面平面傾斜于H面直觀圖投影圖

第二十三頁第二十四頁，共29頁?！纠?-16】求作開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。

分析：從形體上來看，半球頭部被挖切了一塊方槽，槽口即由左右兩個對稱的側(cè)平面P和一個水平面R截切而成，截交線都是圓弧。作圖：（1）畫出兩側(cè)平面P與半圓球的截交線AB；（2）求作水平面與半圓球的截交線AC；（3）補畫出兩個截平面相交的交線，側(cè)面投影不可見，畫成虛線，并完成半球輪廓線。