江蘇省高淳區(qū)2024屆數(shù)學(xué)八上期末考試試題含解析

江蘇省高淳區(qū)2024屆數(shù)學(xué)八上期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD2．隨著生活水平的提高，小林家購(gòu)置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．3．若點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，則下列各點(diǎn)不在正比例函數(shù)的圖象上的是（）A． B． C． D．4．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B，C表示的數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)為()A．-5和-4 B．-4和-3 C．3和4 D．4和55．如圖，直線，∠1=40°，∠2=75°，則∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°6．用不等式表示如圖的解集，其中正確的是（）A． B．x≥2 C． D．x≤27．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B．a(chǎn)﹣1 C．a(chǎn) D．18．從邊長(zhǎng)為的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形紙板后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖乙)．那么通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（）A． B．C． D．9．如果實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝()A．36 B．20 C．52 D．1410．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰直角三角形,則這樣的點(diǎn)C有()A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)11．在中，分式的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知△ABC中，AB=7，BC=4，那么邊長(zhǎng)AC的長(zhǎng)不可能是（）A．11 B．9 C．7 D．4二、填空題（每題4分，共24分）13．等腰三角形有一個(gè)角為30o，則它的底角度數(shù)是_________．14．若分式的值為0，則的值為________．15．如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，則□ABCD的周長(zhǎng)等于__________．16．使分式有意義的x的取值范圍是_____．17．如右圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則此最短路徑的長(zhǎng)為．18．如圖，是的角平分線，點(diǎn)在邊的垂直平分線上，，則__________度．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)、在軸上且關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為，求與的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，連接，作的平分線分別交、于點(diǎn)、，求的長(zhǎng)．20．（8分）年月日是我國(guó)第六個(gè)南京大屠殺難者國(guó)家公祭日，某校決定開展銘記歷史珍愛(ài)和平”主題演講比賽，其中八（1）班要從甲、乙兩名參賽選手中擇優(yōu)推薦一人參加校級(jí)決賽，他們預(yù)賽階段的各項(xiàng)得分如下表：項(xiàng)目選手演講內(nèi)容演講技巧儀表形象甲乙（1）如果根據(jù)三項(xiàng)成績(jī)的平均分確定推薦人選，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙兩人誰(shuí)會(huì)被推薦（2）如果根據(jù)演講內(nèi)容、演講技、巧儀表形象按的比例確定成績(jī)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙兩人誰(shuí)會(huì)被推薦，并對(duì)另外一位同學(xué)提出合理的建議．21．（8分）某超市第一次用元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品件數(shù)的倍比乙商品件數(shù)的倍多件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）2028售價(jià)（元/件）2640（1）該超市第一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品的件數(shù)分別是多少？（2）該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣出后一共可獲得多少利潤(rùn)？（3）該超市第二次以同樣的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品．其中甲商品件數(shù)是第一次的倍，乙商品的件數(shù)不變．甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售．第二次甲、乙兩種商品銷售完以后獲得的利潤(rùn)比第一次獲得的利潤(rùn)多元，則第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售的？22．（10分）觀察下列等式第1個(gè)等式第2個(gè)等式第3個(gè)等式第4個(gè)等式……（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式；（2）用含的代數(shù)式表示第個(gè)等式（為正整數(shù)）.（3）求的值．23．（10分）如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，若S△ABD＝12，求DF的長(zhǎng).24．（10分）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，∠CBD＝α，把△ABD沿BD對(duì)折，A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．（1）①當(dāng)α＝15°時(shí)，∠CBA'＝；②用α表示∠CBA'為．（2）如圖2，點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，且∠1＝∠2＝α．①當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，試探究AP，BP，CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說(shuō)明理由．②BP＝8，CP＝n，則CA'＝．（用含n的式子表示）25．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AB，AC邊上且BE=CF．求證：DE=DF．26．現(xiàn)有甲、乙兩種貨車，己知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝20件帳篷，且甲種貨車裝運(yùn)900件帳篷所用車輛與乙種貨車裝運(yùn)600件帳蓬所用車輛相等.求甲、乙兩種貨車每輛車可裝多少件帳蓬？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC＝PD，∠POC＝∠POD，再利用HL證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC＝OD即可判斷．【題目詳解】∵OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，∴PC＝PD，∠POC＝∠POD，故A，B正確；在Rt△OCP與Rt△ODP中，，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴OC＝OD，故C正確．不能得出∠COP＝∠OPD，故D錯(cuò)誤．故選：D．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的判定方法．2、D【解題分析】分析：根據(jù)乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，利用時(shí)間得出等式方程即可．詳解：設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，根據(jù)題意可列方程為：．故選D．點(diǎn)睛：此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵是正確找出題目中的相等關(guān)系，用代數(shù)式表示出相等關(guān)系中的各個(gè)部分，列出方程即可．3、D【分析】先根據(jù)點(diǎn)A在正比例函數(shù)的圖象上，求出正比例函數(shù)的解析式，再把各點(diǎn)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證即可．【題目詳解】解：∵點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，，，故函數(shù)解析式為：；A、當(dāng)時(shí)，，故此點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上；B、當(dāng)時(shí)，，故此點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上；C、當(dāng)時(shí)，，故此點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上；D、當(dāng)時(shí)，，故此點(diǎn)不在正比例函數(shù)圖象上；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是正比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，要明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．4、B【分析】先估算的大小，再求出﹣的大小即可判斷．【題目詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是會(huì)估算二次根式的大?。?、C【解題分析】試題分析：如圖：∵直線l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故選C．考點(diǎn)：1．三角形內(nèi)角和定理；2．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；3．平行線的性質(zhì)6、D【解題分析】解：根據(jù)“開口向左、實(shí)心”的特征可得解集為x≤2，故選D．7、B【解題分析】分析：根據(jù)同分母分式加減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．詳解：原式=，=，=a﹣1故選B．點(diǎn)睛：本題考查同分母分式加減法的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．8、A【分析】分別根據(jù)正方形及平行四邊形的面積公式求得甲、乙中陰影部分的面積，從而得到可以驗(yàn)證成立的公式．【題目詳解】由圖1將小正方形一邊向兩方延長(zhǎng)，得到兩個(gè)梯形的高，兩條高的和為a?b，即平行四邊形的高為a?b，∵兩個(gè)圖中的陰影部分的面積相等，即甲的面積＝a2?b2，乙的面積＝（a＋b）（a?b）．即：a2?b2＝（a＋b）（a?b）．所以驗(yàn)證成立的公式為：a2?b2＝（a＋b）（a?b）．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平方差公式，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．本題主要利用面積公式求證明a2?b2＝（a＋b）（a?b）．9、B【分析】原式利用完全平方公式變形，將已知等式整體代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】解：∵a+b=6，ab=8，

∴，

故選：B．【題目點(diǎn)撥】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．10、A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【題目詳解】如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有2個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．11、B【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【題目詳解】解：在中，分式有，∴分式的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以象不是分式，是整式．12、A【解題分析】分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊可得AC的取值范圍，即可求解．詳解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得：7-4＜AC＜7+4，

即3＜AC＜11，

故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．二、填空題（每題4分，共24分）13、30o或75o【分析】因?yàn)橐阎o出的30°角是頂角還是底角不明確，所以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況討論來(lái)求底角的度數(shù)．【題目詳解】分兩種情況；

（1）當(dāng)30°角是底角時(shí)，底角就是30°；

（2）當(dāng)30°角是頂角時(shí)，底角．

因此，底角為30°或75°．

故答案為：30°或75°．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．14、1【分析】根據(jù)分式值為零的條件，分子為零且分母不為零，求解．【題目詳解】解：若分式的值為0∴a-1=0且a+1≠0解得：a=1故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查分式為零的條件，掌握分式值為零時(shí)，分子為零且分母不能為零是解題關(guān)鍵．15、1【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠ABE=∠AEB，繼而可得AB=AE，然后根據(jù)已知可求得結(jié)果．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴?ABCD的周長(zhǎng)=4+4+6+6=1，故答案為1．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)．16、x≠﹣1．【分析】直接利用分式有意義則分母不為零進(jìn)而得出答案．【題目詳解】解：∵分式有意義，∴x+1≠0，故x≠﹣1．故答案為：x≠﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.17、【解題分析】試題分析：如圖，將正方體的三個(gè)側(cè)面展開，連結(jié)AB，則AB最短，．考點(diǎn)：1．最短距離2．正方體的展開圖18、1【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即得答案．【題目詳解】解：∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，∴DB=DC，∴∠DBC=，∵是的角平分線，∴∠ABD=，∴．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）C（4，0）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)知為等邊三角形，利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用面積法可求得，再利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征即可求得答案；（3）利用(2)的結(jié)論求得，利用角平分線的性質(zhì)證得，求得，利用面積法求得，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案．【題目詳解】（1）∵點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即：；（3）∵點(diǎn)到的距離為，∴，∴，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，∵為的角平分線，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，，∴，∴．【題目點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理、靈活運(yùn)用面積法求線段的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．20、（1）乙將被推薦參加校級(jí)決賽；（2）甲將被推薦參加校級(jí)決賽，建議：由于演講內(nèi)容的權(quán)較大，乙這項(xiàng)得成績(jī)較低，應(yīng)改進(jìn)演講內(nèi)容，爭(zhēng)取更好得成績(jī)．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出平均數(shù)，再比較即可判斷；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義即可求出各自平均數(shù)，再比較即可判斷【題目詳解】（1）（分），（分），，∴乙將被推薦參加校級(jí)決賽．（2）（分），（分），，∴甲將被推薦參加校級(jí)決賽．建議：由于演講內(nèi)容的權(quán)較大，乙這項(xiàng)得成績(jī)較低，應(yīng)改進(jìn)演講內(nèi)容，爭(zhēng)取更好得成績(jī)．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的定義與性質(zhì)．21、（1）該超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品160件，購(gòu)進(jìn)乙種商品100件；（2）該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣出后一共可獲得2160元；（3）第二次乙商品是按原價(jià)打八五折銷售．【分析】（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，購(gòu)進(jìn)乙種商品y件，根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，列式計(jì)算即可求出結(jié)論；

（3）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打m折銷售，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，購(gòu)進(jìn)乙種商品y件，根據(jù)題意得：，解得．答：該超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品160件，購(gòu)進(jìn)乙種商品100件．（2）（26﹣20）×160+（40﹣28）×100＝2160（元）．答：該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣出后一共可獲得2160元．（3）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打m折銷售的，根據(jù)題意得：（26﹣20）×160×2+（40×﹣28）×100＝2160+360，解得：m＝8.1．答：第二次乙商品是按原價(jià)打八五折銷售．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量列式計(jì)算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．22、（1）；（2）；（3）【分析】（1）、（2）根據(jù)題干中的規(guī)律，繼續(xù)往下寫即可；（3）先提取公因式，然后發(fā)現(xiàn)用裂項(xiàng)相消發(fā)可以抵消掉中間項(xiàng)，從而算得結(jié)果.【題目詳解】（1）根據(jù)題干規(guī)律，則第5項(xiàng)為：（2）發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，第n項(xiàng)是的形式，寫成算式的形式為：（3）=+++=[+++]==【題目點(diǎn)撥】本題考查找規(guī)律，需要注意，當(dāng)我們找到一般規(guī)律后，建議多代入幾項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，防止出錯(cuò).23、DF=1.【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)三角形的面積公式求出DE的長(zhǎng)，即可得出DF的長(zhǎng)度．【題目詳解】解：∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△ABD=12，AB=6，，∴DE=1．

∴DF=1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了角平分線定義的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF是解此題的關(guān)鍵．24、（1）①30°；②60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由見(jiàn)解析；②8﹣2n【分析】（1）先求出∠ABC＝60°，得出∠ABD＝60°﹣α，再由折疊得出∠A'BD＝60°﹣α，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出△BP'C≌△APC，得出CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，再判斷出△CPP'是等邊三角形，得出PP'＝CP；②先求出∠BCP＝120°﹣α，再求出∠BCA'＝60°+α，判斷出點(diǎn)A'，C，P在同一條直線上，即：PA'＝PC+CA'，再判斷出△ADP≌△A'DP(SAS)，得出A'P＝AP，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠CBD＝α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α，由折疊知，∠A'BD＝∠ABD＝60°﹣α，∴∠CBA'＝∠A'BD﹣∠CBD＝60°﹣α﹣α＝60°﹣2α，①當(dāng)α＝15°時(shí)，∠CBA'＝60°﹣2α＝30°，故答案為30°；②用α表示∠CBA'為60°﹣2α，故答案為60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由：如圖2，連接CP，在BP上取一點(diǎn)P'，使BP'＝AP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵∠1＝∠2＝α，∴△BP'C≌△APC(SAS)，∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，∴∠PCP'＝∠ACP+∠ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，∵CP'＝CP，∴△CPP'是等邊三角形，∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP；②如圖3，由①知，∠BPC＝60°，∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，由（1）知，∠CBA'＝60°﹣2α，由