2021年北京市豐臺(tái)區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2021年北京市豐臺(tái)區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（每小題4分）.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1「對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y嗎)x

B.y=x1C.y=(x-1)2D.y=lwc

3.已知向量7=(-1,2),E=(2,相)，,若之〃E，則機(jī)=（)

B.」

A.-4C.—D.4

22

4.在平面直角坐標(biāo)系x。），中，角a以O(shè)x為始邊，它的終邊與以原點(diǎn)O為圓心的單位圓的

9JT

交點(diǎn)為P（W，泗），則sin（―+a）=（）

32

A.—B.上C.豆D.

3333

5.已知a,0,丫是三個(gè)不同的平面，a,6是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）

A.若a_Ly，P-Ly>則?！?B.若“_|_01,b±a,則〃〃方

C.若“〃a,b//a,則a〃6D.若a〃a,a〃0,貝Ua〃0

6.“a=l”是“直線x+ay-1=0與直線依-y+l=0相互垂直”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

7.已知雙曲線￥72=1仁>0）的漸近線與圓爐+5?2_4盧3=0相切，則.=（）

&

A.3B.?C.返D.—

V33

8.將函數(shù)y=k）g2（2A+2）的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

函數(shù)g（X）的圖象，則g（X）=（）

A.Iog2（2r+l）-1B.Iog2（2JV+1）+1

C.10g2X-1D.10g2X

9.某中學(xué)舉行“十八而志，青春萬歲”成人禮，現(xiàn)在需要從4個(gè)語言類節(jié)目和6個(gè)歌唱類

節(jié)目中各選2個(gè)節(jié)目進(jìn)行展演，則語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目8至少有一個(gè)被選中的不

同選法種數(shù)是（）

A.15B.45C.60D.75

io.如圖，半橢圓三三=i（x2o）與半橢圓J三=iawo）組成的曲線稱為“果

abbc

圓”，其中層=加+/,。＞（）,h＞c＞0.AitA2和5，&分別是“果圓”與x軸，y軸的

交點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：

①位VaV&6；

②若依也|=四&|,則a：b：c=5：4：3；

③若在“果圓”y軸右側(cè)部分上存在點(diǎn)尸，使得/AIPA2=90°,則《＜￡＜立二1.

2a2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（每小題5分）.

11.函數(shù)/（x）=sinx+cosx的值域?yàn)?

12.能夠說明“若a,b,m均為正數(shù)，則婦毆〉上”是假命題的一組整數(shù)mb的值依次

a+ma

為.

13.已知點(diǎn)P（xo,泗）為拋物線C：^=4y上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C焦點(diǎn)的距離為3,

則|刖|=.

14.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“趙

爽弦圖”--由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖1所

示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一

個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在AABC中，若AF=\,FD=2,則AB

R

圖1圖2

15.函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f4-X)=f(-^-+x)，且當(dāng)法[0,n)時(shí)，

sinx

f(x)=一^---------,給出下列四個(gè)結(jié)論：

x"-兀x+冗

?f(TT)=0;

②7T是函數(shù)/(X)的周期；

③函數(shù)/(X)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增；

④函數(shù)g(x)=f(x)-sinl(xG[-10,10])所有零點(diǎn)之和為3TT.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知數(shù)列｛〃”｝中，0=1,且滿足.

(I)求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛““+2"即的前"項(xiàng)和S?.

從①斯+1=2“"(〃eN*)；②如+1-斯=2(〃eN*)；③。＞+1+斯=2(〃eN*)這三個(gè)條件中選

擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

17.某公司開發(fā)了一款手機(jī)應(yīng)用軟件，為了解用戶對(duì)這款軟件的滿意度，推出該軟件3個(gè)月

后，從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽查了1000名，將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：[30,

40),[40,50),…，[90,100],整理得到如圖頻率分布直方圖.

根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個(gè)等級(jí)：

滿意度的分?jǐn)?shù)[30,60)[60,100]

滿意度的等級(jí)不滿意滿意

(I)從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率；

(H)用頻率估計(jì)概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中

滿意度的等級(jí)為“滿意”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

頻率

18.如圖，在多面體ABCQEF中，四邊形ABC。和CDE尸都是直角梯形，AB//CD,CD//

JT

EF,AB=EF=1,DA^DC=DE=2,NAOE=NAOC=/￡￡^=萬，點(diǎn)M為棱CF上

一點(diǎn)，平面AEM與棱BC交于點(diǎn)M

(I)求證：EZ)J_平面A3CZ)；

(II)求證：AE//MN-

(III)若平面4E例與平面CDE尸所成銳二面角的余弦值為告，求罌的值.

3FC

19.已知函數(shù)f(x)=(x2-2ax)lnx4x2+2ax(”eR).

(I)若a=0,求/(x)的最小值；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2c

20.己知橢圓C：與-+丫2=1，過點(diǎn)(-1,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)A,B.

(I)當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，求發(fā)印

(II)在X軸上是否存在定點(diǎn)P,使瓦?西為定值？若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及證.而的

值；若不存在，說明理由.

21.設(shè)數(shù)集S滿足：①任意x€S,有侖0；②任意x,)，€S,有x+yeS或k-y|eS,則稱數(shù)集

S具有性質(zhì)P.

(I)判斷數(shù)集4=(0,1,2,4｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由:

(II)若數(shù)集8={〃i,6,…,且的〈勿+1(z—L2，…，n-1)具有性質(zhì)P.

(i)當(dāng)〃=2021時(shí)，求證：ai,s,…,小是等差數(shù)列；

(ii)當(dāng)m,3,…，如不是等差數(shù)列時(shí)，寫出〃的最大值.(結(jié)論不需要證明)

參考答案

一、選擇題（每小題5分）.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=9h對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

i_i(2+i)=i2+2i=12.

解:-z-221

2r(2-i)(2+i)"2+1~^^

復(fù)數(shù)Z=春對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）,位于第二象限.

2~155

故選：B.

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=（-y）xB.y=x1C.y=（x-1）2D.y=lnx

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y=（y）\是指數(shù)函數(shù)，在R上為減函數(shù)，不符合題意，

對(duì)于B,y=x|=」，是反比例函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上為減函數(shù)，不符合題意,

x

對(duì)于C,y=（x-1）2,是二次函數(shù)，在區(qū)間（0,1）上為減函數(shù)，不符合題意，

對(duì)于。，y=底,是對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意，

故選：D.

3.已知向量之=(-1,2),3=(2,m),若二〃9則機(jī)=()

A.-4B.」C.—

D.4

22

解：..,向量；=(-1,2),工=(2,tn),若W

貝(J-zn-4=0,求得m=-4,

故選：A.

4.在平面直角坐標(biāo)系x。），中，角a以。工為始邊，它的終邊與以原點(diǎn)。為圓心的單位圓的

9n

交點(diǎn)為尸（等yo）,貝ljsin（―H-a）=（）

A.—B.上C.豆D.

3333

解：在平面直角坐標(biāo)系xO），中，角a以。尤為始邊,

它的終邊與以原點(diǎn)0為圓心的單位圓的交點(diǎn)為PAyo),

貝！Jsin(彳+a)=cosa=-y,

故選：A.

5.已知a,0,丫是三個(gè)不同的平面，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()

A.若。_1_丫，S_Ly，則a〃BB.若a_La,/?±a,貝ij〃〃匕

C.若a〃a,b//a,則a〃bD.若a〃a,a〃仇則a〃0

解：對(duì)于A：若a_l_Y，PJ-Y?貝1Ja〃0或a和0相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若。_La,b_Laf則。和力相當(dāng)于平面a的法向量，故a〃b、故8正確；

對(duì)于C：若?！╝,h//af則或〃和〃相交或〃和匕異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于Q：若i〃a,。〃0,則a和0可能平行或相交，故。錯(cuò)誤；

故選：B.

6.“a=l”是“直線x+oy-1=0與直線ar-y+l=0相互垂直”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：①當(dāng)。=1時(shí)，兩方程可化為x+y-1=0,x-y+l=0,斜率分別為-1和1,???兩直

線垂直，，充分性成立，

②當(dāng)直線-1=0與直線數(shù)-y+l=0垂直時(shí)，貝ijix〃+〃x(-1)=0,

必要性不成立，

???〃=1是直線1=0與直線仆-尹1=0垂直充分不必要條件.

故選：A.

2

7.已知雙曲線t-了2=1Q〉0)的漸近線與圓3+>；2_4/3=0相切，則〃=()

a

A.3B.JQC.返D.—

VS33

2

解：由雙曲線七-了2=1(2>0)的一條漸近線為毆=-為即”+x=0,

a

圓f+(y-2)2=1的圓心為(0,2),半徑為1,

12al

由題意可知：圓心到漸近線的距離等于半徑，即Y==片=1,

Vl+a^

6

由a＞0,解得：a———,

3

故選：C.

8.將函數(shù)y=log2(2x+2)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=()

A.Iog2(2x+l)-1B.Iog2(2x+1)+1

C.Iog2%-1D.Iog2%

解：將函數(shù)y=log2(2x+2)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

得至！Iy=log2(2x+2)-1,

再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，

級(jí)g(x)=log2(2(X-1)+2]-l=log22x-l=l+10g2X-l=10g2X,

故選：D.

9.某中學(xué)舉行“十八而志，青春萬歲”成人禮，現(xiàn)在需要從4個(gè)語言類節(jié)目和6個(gè)歌唱類

節(jié)目中各選2個(gè)節(jié)目進(jìn)行展演，則語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目8至少有一個(gè)被選中的不

同選法種數(shù)是()

A.15B.45C.60D.75

解：根據(jù)題意，分3種情況討論：

①A入選而B沒有入選，有C3c52=30種選法，

②A沒有入選而B入選，有C32c51=15種選法，

③A、B都入選，有C31c51=15種選法，

則有30+15+15=60種選法，

故選：C.

2222

10.如圖，半橢圓三三=1(x20)與半橢圓三三=1(xWO)組成的曲線稱為“果

abbc

圓”，其中屏=〃+/,”＞o,Qc＞0.A”上和Bi,B2分別是“果圓”與x軸，y軸的

交點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：

①位＜a＜版b；

②若萬也|=|8|&|,則a：b：c=5：4：3；

③若在“果圓”y軸右側(cè)部分上存在點(diǎn)P,使得N4PA2=90°,則春＜￡＜與1.

NaZ

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

解：對(duì)于①，因?yàn)椤?=房+3,〃>0,h>c>0,所以中2c2V2>，所以如cVqVj，/?,

所以①對(duì)；

對(duì)于②,因?yàn)镠IA2|=B&|,所以2〃=c+m又因?yàn)椤?=從+/,所以3a2-2.C-5/=0,

于是(〃+c)(3a-5c)=0,所以包々，令。=53c=3tf則h=41,所以a：h：c=5：

c3

4：3,所以②對(duì)；

對(duì)于③，設(shè)尸③cos。,fesinQ),cos0G(0,1),AjP=(〃cos3+c,Z?sin0),A2P=(〃cos。

-a,Z?sin0),

因?yàn)镹4i尸42=90°,所以，A〔P?A2P=。，所以(acosO+c)(tzcosG-a)+b2sin20=O,

令工一，則

a

cos0=-4----1,因?yàn)閏osOe(0,1),所以0<17-尸V/2,解得工<t<近二，

12t22

所以③對(duì)；

故選：D.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=siar+cosx的值域?yàn)開

冗

解：函數(shù)f(x)=sinx+cosx=^/2sin(x+-^-)0-料，

故答案為：[-&，&].

12.能夠說明“若a,b,，*均為正數(shù)，則且私》上”是假命題的一組整數(shù)”，匕的值依次為

a-a

1,2(答案不唯一)

解：因?yàn)楫?dāng)mb,加均為正數(shù)時(shí)，^—<=>ab+amWba+bmoamWbm=aWb,

a+ma

所以“若mb,〃?均為正數(shù)，則立也〉上”是假命題的一組整數(shù)〃，人的值依次為1,2

a+ma

（只要4、6為整數(shù)且aW，即可）.

故答案為：1，2（答案不唯一）.

13.已知點(diǎn)P（xo,四）為拋物線C：爐=的上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C焦點(diǎn)的距離為3,

則1卻=2后.

解：拋物線的準(zhǔn)線方程，y=-1,

點(diǎn)尸（xo,yo）為拋物線C：r=4y上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C焦點(diǎn)的距離為3,

可得泗=2,所以xj=4yo=8,可得|xo|=2&.

故答案為：2&.

14.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“趙

爽弦圖”--由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖1所

示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一

個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在AABC中，若AF=\,FD=2,則AB=

713-.

解：△ABQ中，BQ=A尸=1,AO=AF+FC=1+2=3,ZAZ）B=180°-60°=120°,

由余弦定理得，AB2=AD2+BD2-2A￡）?BD?COSZADB=32+12-2X3X1Xcosl200=13,

解得AB=J

故答案為：V13-

JTTT

15.函數(shù)/（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足fg-x）=f（彳+x），且當(dāng)xe[0,TT）時(shí),

sinx

f（x）=一5---------,給出下列四個(gè)結(jié)論：

X-兀x+兀

?f（1T）=0;

②口是函數(shù)/（X）的周期；

③函數(shù)/（元）在區(qū)間（-1,1）上單調(diào)遞增；

④函數(shù)g（x）=f（x）-sinl（xG[-10,10]）所有零點(diǎn)之和為3m

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

解：對(duì)于①，因?yàn)?（71）=f2-）=f一^~）=/（°）=°，所以①對(duì)；

對(duì)于②，假設(shè)n是函數(shù)/（%）的周期，則f（苫-）二f（g），又因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)?/p>

TTTT1T

R的奇函數(shù)，所以f（號(hào)”-f（彳-），于是f（g）=O，

jr

與￡自）之0矛盾，所以②錯(cuò)；

對(duì)于③，因?yàn)閒'㈤'然行?二好生過-綻＞o,當(dāng)x￡［0,《）時(shí)成

（X*-冗X+冗）22

立，所以函數(shù)f（X）在［0,1）上單調(diào)遞增，又因?yàn)?（X）是奇函數(shù)，

所以/CO在區(qū)間（-1,1）上單調(diào)遞增，所以③對(duì)；

TTTTJT

對(duì)于④，由③知f（X）在區(qū)間［0,-y）上單調(diào)遞，又因?yàn)闈M足f（F-x）=f（y-+x），

所以/1）關(guān)于》=今K對(duì)稱，

/__/兀/3兀、、/兀/3兀、、_z、_兀/兀、、

f（x+2兀）x=f++x））=f（〒-（―+x））=-f￡（n+x）=+

乙乙乙乙乙乙

JTJT

=-f（F--+x））=-/（-x）=f（x）,所以以2ir為周期，

在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)g（x）=/（x）-sinl兩個(gè)零點(diǎn)之和為n,

在L10,10］內(nèi)有三個(gè)周期，所以所有零點(diǎn)之和為3m所以④對(duì).

故答案為：①③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知數(shù)列｛%｝中，0=1,且滿足.

（I）求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛a?+2"-'｝的前n項(xiàng)和S,,.

從①a"+i=2a“（〃€N*）；②a“+i-a”=2（〃6N*）；③?！?1+斯=2（〃€N*）這三個(gè)條件中選

擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

解：選①。"+|=2%（?GN*）.

（I）因?yàn)閍n+i=2an（n€N*），

所以數(shù)列｛斯｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以

rrlrrln1n

(II)an+2=2+2_=2>

所以數(shù)列｛an+2n■1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以Sn=2坐濘-2X(2k1)=2"1-2.

選②斯+1-。〃=2(77GN*).

(I)因?yàn)?n+l-Hn=2(n€N*)，

所以數(shù)列｛〃〃｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以如=1+(〃-1)X2=2n-1；

n-1n-1

(IDan+2=2n-l+2.

l

所以S“=(1+3+…+2n-1)+(1+2+…電x1)=n(l+2n-l)二？(k1g=〃2+2“_

n21-2

選③斯+1+斯=2OWN").

(I)因?yàn)閍n+i+an=2(n€N*)，

所以an+amiU2,(n>2,n€N*).

兩式相減得an+「an_i=0，(n>2,n^N*)，

即a.i=an-i(n>2,n€N*).

又因?yàn)閍i=a2=\,

所以數(shù)列｛斯｝是常數(shù)列.

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=l(n￡N*).

n-1n-1

(IDan+2=l+2.

所以S/加斗戶”27.

n1-Z

17.某公司開發(fā)了一款手機(jī)應(yīng)用軟件，為了解用戶對(duì)這款軟件的滿意度，推出該軟件3個(gè)月

后，從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽查了1000名，將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：[30,

40),[40,50),…，[90,100],整理得到如圖頻率分布直方圖.

根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個(gè)等級(jí)：

滿意度的分?jǐn)?shù)[30,60)[60,100]

滿意度的等級(jí)不滿意滿意

(I)從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率；

(H)用頻率估計(jì)概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中

滿意度的等級(jí)為“滿意”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

頻率

解：(I)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中［60,100］的頻率為：(0.030+0.015+0.010+0.005)

X10=0.6,

所以從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率約為06

(II)用頻率估計(jì)概率，則“滿意”的概率為?!，“不滿意”的概率為差.

55

X的所有可能取值為0,1,2.

p(x=o)⑹e)。魚了嗡

P(X=l)=cJ(f)(|)4|^

P(X=2)=C消)2脩)。嗡

所以X的分布列為:

X012

p4129

252525

數(shù)學(xué)期望E(x)=ox熹+IX^+2X44

NJ3

18.如圖，在多面體4BCOEF中，四邊形ABCD和CDE尸都是直角梯形，AB//CD,CD//

jr

EF,AB=EF=1,DA=DC=DE=2,ZADE=ZADC=ZEDC=—,點(diǎn)M為棱CF上

一點(diǎn)，平面4EM與棱BC交于點(diǎn)N.

(I)求證：EC平面ABC。；

(II)求證：AE//MN-,

(Ill)若平面AEM與平面CCEF所成銳二面角的余弦值為工，求罌的值.

3FC

兀

【解答】(I)證明：因?yàn)镹ADE=NEDC*，

所以E￡>_LA￡>,EDLDC.

因?yàn)锳DC3C=O,AD,DCc^ffiABCD,

所以EO_L平面A8CD..............

(II)證明：因?yàn)锳B〃C￡>,CD//EF,

所以AB〃EF.

因?yàn)锳B=EF,

所以四邊形ABFE是平行四邊形.

所以AE〃BF.

因?yàn)锳EC平面8CF,8Fu平面BCF,

所以AE〃平面BCF.

因?yàn)锳Eu平面AEM,平面4EMC平面BCF=MN,

所以AE〃MN..............

(Ill)解：因?yàn)镋O_LAO,EDLDC,AD^DC,所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

>

由AB=EF=1,DA=DC=DE=2,

可知。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F

(0,1,2),

AE=(-2,0,2)，F(xiàn)C=(O,1,-2)

設(shè)市=入(0《入(1)，

re

則而二而+而二而+入而=(0,1,0)+入(0,1,-2)=(0,1+入，-2入)，

設(shè)：=(羽y，z)是平面4EM的法向量，

則值E=°,即廠x+z=。

mEM=01(1+入)y-2入z=0

所以7=(1+A,2入，1+A).

因?yàn)?1.0,0)是平面COE尸的法向量,

_nrn_1+入_______________2

所以cos<,

m|m||n|V(l+^)2+(2X)2+(l+X)23

因?yàn)閛w入wi,解得xU-.

o

所以平面AEM與平面CDEF所成銳二面角的余弦值為苫時(shí)，黑

3FC3

19.已知函數(shù)f(x)=(x2-2ax)lnx±x2+2ax(aeR).

(I)若a=0,求/(x)的最小值；

(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】(本小題15分)

解：(I)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8).

若。=0,貝！If(x)=x2lnx-^x?，f(X)—Ixlnx,

令/(x)=0,得x=l,

隨尤的變化，/CO,/(X)的變化情況如下表所示

X(0,1)1(1,+8)

f(X)-0+

/(X)單調(diào)遞減極小值/(1)單調(diào)遞增

所以4=0時(shí)，/(x)的最小值為f⑴=4..........................

(II)因?yàn)?(x)=20-4)Inx(x>0),

當(dāng)“WO時(shí)，x-a>0,

令/(x)>0,得/nx>0,所以x>l,/(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

令/(x)<0,得/">0,所以0<x<l,/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)0<a<l時(shí)，令/（x）=0,得》=1或》=〃，

隨x的變化，f（x）,/（%）的變化情況如下表所示

X(0,〃)a(m1)1(1,+8)

f（X）+0-0+

/（X）單調(diào)遞增/(?)單調(diào)遞減/(I)單調(diào)遞增

所以/（x）在區(qū)間（0,a）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（小1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1,+8）

上單調(diào)遞增.

當(dāng)a=\時(shí)，因?yàn)?（%）=2（x-1）/”x20,當(dāng)且僅當(dāng)x=\時(shí)，f（x）=0,

所以/（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增.

當(dāng)（z>l時(shí)，令/（x）=0,得x=l或x=a,

隨x的變化，/（x）,/（X）的變化情況如下表所示

X(0,1)1(1,a)a(4,+8)

f（X）+0-0+

f(x)單調(diào)遞增/⑴單調(diào)遞減/(?)單調(diào)遞增

所以/（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（。，+8）

上單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)“W0時(shí)，/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）：

當(dāng)0<〃<1時(shí)，/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,a）,（1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（a,

1）;

當(dāng)4=1時(shí)，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）,無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)。>1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,（a,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1,a）.

2-

20.已知橢圓C：2—+丫2=］過點(diǎn)（-1,0）的直線/交橢圓C于點(diǎn)A,B.

3丫

（I）當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，求HBI；

（II）在x軸上是否存在定點(diǎn)尸，使荏?神為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及瓦?麗的

值；若不存在，說明理由.

解：（I）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，其方程為了=-1.

22,X=-1,X=-l,

-xz-+y2=l

由，o，得V6或，T

X=-1

所以|梯|=等?

(II)假設(shè)存在尸Cm,0),使瓦?而為定值?

①當(dāng)直線/斜率存在時(shí),

設(shè)直線/的方程為：y=k(x+1),A(xi,yi),B(X2,”)，

2Q2-n

由，X4y~'得(l+322)/+6Rx+3%2-3=0.

y=k(x+l)

則xE總3k2-3

=

xix2-l-+--3--k-F2

所以-

PA-PB=(X[-m,y1)?(x2m,y2)

=(xi-m)(%2-機(jī))+92

=X]X2-m(x]+>2)+m2+k2(xj+1)(x2+l)

=X]X2-m(x]+乂2)+m2+k2x|X2+k2(x+x2)+k2

=(k2-m)(xj+x2)+(k2+l)x?X2+k2+m2,

「(k^-in)(-6k2)+(k：+l)(3k2-3)+(kO+m：)(l+Sk。)

l+3k21+3k21+3k2

_(3m2+6in+1)k2+IR2-3

l+3k2

22

若瓦?而為常數(shù)，只需3公普1一=氣3,

R■■■■?.........O

解得m=i7，此時(shí)PAPB=-^"-

0y

所以存在點(diǎn)p(一1?，0),使瓦.而為定值

o9

②當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí),

不妨設(shè)A(-l,

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(V，0)時(shí)，R^PB=(-l+y>娓、462

O37999

綜上，存在點(diǎn)P(W，0),使通其為定值一......................

39

21.設(shè)數(shù)集S滿足：①任意XWS,有無20；②任意羽yGS,有x+yWS或|x-y|wS,則稱數(shù)集

S具有性質(zhì)P.

(I)判斷數(shù)集