非線性系統(tǒng)的起源和應(yīng)用

非線性系統(tǒng)的起源和應(yīng)用我們?cè)谝酝鶎W(xué)習(xí)的很多理論，幾乎全都是線性理論。從一個(gè)自變量能夠精確的計(jì)算出函數(shù)值。而到了后來(lái)，一些如二極管，三極管的非線性元件進(jìn)入了我們的視野。如二極管的單項(xiàng)導(dǎo)通性，如三級(jí)管，它不僅不像電阻電容點(diǎn)一樣可以直接由電流給出電壓，而且受環(huán)境因素影響較大，沒(méi)有一個(gè)線性的表達(dá)式。下面是二極管與三極管這兩個(gè)典型的非線性元件的起源。二極管發(fā)光二極管（英語(yǔ)：Light-EmittingDiode，簡(jiǎn)稱LED）是一種能發(fā)光的半導(dǎo)體電子元件。是一種透過(guò)三價(jià)與五價(jià)元素所組成的復(fù)合光源這種電子元件早在1962年出現(xiàn)，早期只能發(fā)出低光度的紅光，被hp買價(jià)專利后當(dāng)作指示燈利用。之后發(fā)展出其他單色光的版本，時(shí)至今日能發(fā)出的光已遍及可見(jiàn)光、紅外線及紫外線，光度也提高到相當(dāng)?shù)墓舛?。而用途也由初時(shí)作為指示燈、顯示板等；隨著白光發(fā)光二極管的出現(xiàn)，近年逐漸發(fā)展至被用作照明。三極管，又叫雙極性晶體管雙極性晶體管（英語(yǔ)：bipolartransistor），全稱雙極性結(jié)型晶體管（bipolarjunctiontransistor,BJT ），俗稱三極管，是一種具有三個(gè)終端的電子器件。雙極性晶體管是電子學(xué)歷史上具有革命意義的一項(xiàng)發(fā)明， 其發(fā)明者威廉?肖克利、約翰巴丁和沃爾特布喇頓被授予了1956年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。這種晶體管的工作，同時(shí)涉及電子和空穴兩種載流子的流動(dòng)，因此它被稱為雙極性的，所以也稱雙極性載流子晶體管。這種工作方式與諸如場(chǎng)效應(yīng)管的單極性晶體管不同，后者的工作方式僅涉及單一種類載流子的漂移作用。兩種不同摻雜物聚集區(qū)域之間的邊界由PN結(jié)形成。雙極性晶體管由三部分摻雜程度不同的半導(dǎo)體制成，晶體管中的電荷流動(dòng)主要是由于載流子在PN結(jié)處的擴(kuò)散作用和漂移運(yùn)動(dòng)。以NPN晶體管為例，按照設(shè)計(jì)，高摻雜的發(fā)射極區(qū)域的電子，通過(guò)擴(kuò)散作用運(yùn)動(dòng)到基極。在基極區(qū)域，空穴為多數(shù)載流子，而電子少數(shù)載流子。由于基極區(qū)域很薄，這些電子又通過(guò)漂移運(yùn)動(dòng)到達(dá)集電極，從而形成集電極電流，因此雙極性晶體管被歸到少數(shù)載流子設(shè)備。雙極性晶體管能夠放大信號(hào)，并且具有較好的功率控制、高速工作以及耐久能力，所以它常被用來(lái)構(gòu)成放大器電路，或驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器、電動(dòng)機(jī)等設(shè)備，并被廣泛地應(yīng)用于航空航天工程、醫(yī)療器械和機(jī)器人等應(yīng)用產(chǎn)品中。（以上摘自維基百科）.非線性元件的出現(xiàn)，將人們從以往理想的線性世界帶到了一個(gè)不能用簡(jiǎn)單得線性推導(dǎo)的非線性世界。但二極管和三極管還算是比較簡(jiǎn)單的非線性元件，它們盡管不像電阻電容一般不能用簡(jiǎn)單得線性推導(dǎo)得出，但是還是可以擬定一個(gè)函數(shù)，和線性計(jì)算—對(duì)應(yīng)。在線性的世界中，很多事情都可以類比處理，我們所學(xué)過(guò)的疊加定理就是一個(gè)例子。不管有多少個(gè)電源，只要將他們的效果線性疊加就可以得出最后電路里面我們所要計(jì)算的支路的電流電壓。這樣的例子數(shù)不勝數(shù)，但是他們都是建立在線性元件，線性電路的前提下。但在事實(shí)中，這種情況很少存在，電源之間的相互干擾，電路過(guò)流的反饋等等都會(huì)造成結(jié)果與估計(jì)會(huì)有偏差，世界原本是非線性的。不僅在元件上有著非線性的情況，在以精確著稱的現(xiàn)代控制理論中，非線性的情況也是無(wú)處不在的。在現(xiàn)代控制理論中，可控性，可觀測(cè)性和可鎮(zhèn)定性（能穩(wěn)性）這些基本概念起著非常重要的作用。粗略來(lái)講，控制理論的根本就是對(duì)于那些用微分方程來(lái)描述其動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，分析其解的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，并且通過(guò)施加外部激勵(lì)或者改變內(nèi)部結(jié)構(gòu)的辦法，使其按照期望的軌跡運(yùn)動(dòng)。線性理論對(duì)于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可控客觀性及優(yōu)化控制等問(wèn)題幾乎給出了完美的框架。 但是，他所描述的微分方程局限在線性且結(jié)構(gòu)及參數(shù)非常精確的條件下。 于是，非線性理論體系也就應(yīng)運(yùn)而生。其實(shí)，對(duì)于控制領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，上世紀(jì)最后十年成了“非線性系統(tǒng)”的年代?，F(xiàn)代控制理論的局限性主要表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)是對(duì)被控對(duì)象建立精確的模型。 然而隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的迅速發(fā)展，各個(gè)領(lǐng)域?qū)ψ詣?dòng)控制的控制精度，響應(yīng)速度，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與適應(yīng)能力要求越來(lái)越高，所研究的復(fù)雜工業(yè)過(guò)程，其數(shù)學(xué)模型要么很難建立，要么結(jié)構(gòu)太復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)有效的控制。系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中由于各種原因，其參數(shù)要發(fā)生一些變化，而且生產(chǎn)環(huán)境的改變和外來(lái)擾動(dòng)的影響給系統(tǒng)帶來(lái)了很大的不確定性，這使得理想模型得到的最優(yōu)控制失去了最優(yōu)性并且控制品質(zhì)下降。這些原因阻礙了工業(yè)中的有效應(yīng)用。為了克服理論與應(yīng)用之間的不協(xié)調(diào)，20世紀(jì)70年代以來(lái)，人們已經(jīng)加強(qiáng)了對(duì)生產(chǎn)過(guò)程的建模，系統(tǒng)識(shí)別，自適應(yīng)控制和魯棒控制等方向的研究，取得了一定得效果，但范圍有限，仍沒(méi)有打破傳統(tǒng)控制思想的束縛。為了解決如上問(wèn)題，提出了非現(xiàn)在控制的理論體系。后來(lái)還出現(xiàn)了模糊控制等控制領(lǐng)域的分支。非線性的元件和控制理論體系，現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用了，少了他們，就不會(huì)有現(xiàn)在的各種各樣的電子產(chǎn)品和精密儀器。二極管三極管等非線性元件已經(jīng)被廣泛用于集成放大器，穩(wěn)壓管，變壓芯片等等，在集成電路中扮演了不可或缺的較色。而非線性控制理論，則被廣泛應(yīng)用于模糊控制，反饋線性化，自適應(yīng)反饋線性化，輸出跟蹤，自適應(yīng)觀測(cè)器，鎮(zhèn)定與指數(shù)跟蹤，魯棒調(diào)節(jié)與自適應(yīng)跟蹤等等觀測(cè)，反饋設(shè)計(jì)中。引入了非線性的元件和系統(tǒng)，讓我們的系統(tǒng)變得更加的穩(wěn)定，合理。非線性控制的起源是建立在線性控制之上的。世界是非線性的，但是，人類對(duì)它的認(rèn)識(shí)卻是從簡(jiǎn)單的線性開(kāi)始的。早在公兀前500年左右，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關(guān)系增加的。到了18世紀(jì)，法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先認(rèn)識(shí)到，自然界也許不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性世界。他曾說(shuō)，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡(jiǎn)單、均勻的規(guī)則發(fā)展,那么，這個(gè)世界也未免太簡(jiǎn)單、 太單調(diào)了。中國(guó)論文網(wǎng)/到了19世紀(jì)，隨著力學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個(gè)或幾個(gè)非線性的項(xiàng)，正是非線性項(xiàng)的存在，使方程由簡(jiǎn)單的線性變成了復(fù)雜的非線性。當(dāng)時(shí)，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動(dòng)力學(xué)方程與流體力學(xué)方程之中。而法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結(jié)論：自然界從廣義上講是由非線性構(gòu)成的，線性只是一個(gè)特例。由于線性在數(shù)學(xué)上處理起來(lái)簡(jiǎn)單，所以，物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家們?cè)谟龅阶匀唤绲姆蔷€性時(shí)，總是設(shè)法還原為簡(jiǎn)單的線性以便于處理。甚至進(jìn)一步講，人類的近代數(shù)學(xué)都是建立在線性”的概念上的。微積分是研究變量關(guān)系的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)， 它同樣是將概念建立在線性”的基礎(chǔ)上。極限”概念是微積分的基石，但是，求極限的過(guò)程事實(shí)上是一個(gè)線性處理的過(guò)程。對(duì)這一數(shù)學(xué)方法做出杰出貢獻(xiàn)的是德國(guó)大數(shù)學(xué)家韋爾斯特拉斯。韋爾斯特拉斯一生充滿挑戰(zhàn)性，他年輕的時(shí)候?qū)W的是文科，專攻法律，曾當(dāng)過(guò)一段律師和中學(xué)教員，也許是對(duì)這種生活感到乏味，后來(lái)進(jìn)入明斯特大學(xué)開(kāi)始研習(xí)數(shù)學(xué)。 1854年，也就是39歲時(shí)才獲得哥尼斯堡大學(xué)的數(shù)學(xué)博士學(xué)位。-韋爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家將現(xiàn)代函數(shù)， 特別是微積分理論建立在線性”概念的基礎(chǔ)之上，從實(shí)用主義的角度看，簡(jiǎn)單、易懂。但是，在面對(duì)自然界廣泛的非線性時(shí)，卻仍然沒(méi)有簡(jiǎn)便的認(rèn)識(shí)方法，這一困局一直延續(xù)了半個(gè)多世紀(jì)。 2公認(rèn)的對(duì)現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻(xiàn)的是荷蘭的一位氣象學(xué)家，叫洛倫茲，正是他開(kāi)啟了人類認(rèn)識(shí)非線性世界的大門。 1962年前后，洛倫茲作為一位訪問(wèn)學(xué)者在美國(guó)馬里蘭州的美國(guó)國(guó)家氣象中心做長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的工作。我們知道描述大氣環(huán)流的方程都是非線性的微分方程，人們解這類方程通常采用數(shù)值解法，編好計(jì)算程序，在巨型計(jì)算機(jī)上計(jì)算。［奇跡的出現(xiàn)就在一個(gè)上午。洛倫茲輸入初始條件的數(shù)值后考慮計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)，就到外面的走廊上喝了一會(huì)兒咖啡，幾分鐘過(guò)后，他返回到計(jì)算機(jī)旁邊，將初始條件做了小小的改動(dòng)，又繼續(xù)計(jì)算，等他再次回到計(jì)算機(jī)旁時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)據(jù)發(fā)生了巨大變化。他的第一個(gè)感覺(jué)是，可能電腦出問(wèn)題了，于是就檢查了電腦，但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題，于是又檢查計(jì)算程序，也沒(méi)有問(wèn)題，這使他大為困惑，因?yàn)榘凑胀ǔＮ覀儗?duì)線性世界的理解，一個(gè)方程的初始條件改變一丁點(diǎn)，結(jié)果是不會(huì)出現(xiàn)巨大的差異的，但這次卻完全不同，初始條件只改變了百分之幾，但輸出結(jié)果卻改變了成千上萬(wàn)倍。接下來(lái)的幾天中，洛倫茲反復(fù)重復(fù)計(jì)算，結(jié)果都一樣。只要初始條件有百分之一，甚至千分之一的改變，非線性方程的輸出計(jì)算結(jié)果，變化成百上千倍，真是不可思議，這在線性世界是決然不可能發(fā)生的。半個(gè)月過(guò)后，思維敏捷的洛倫茲意識(shí)到，他得到了一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)，非線性的世界和線性的世界有著天壤之別。在非線性世界中，結(jié)果對(duì)初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點(diǎn)微小的變化，隨著時(shí)間的推移，結(jié)果會(huì)越來(lái)越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為 混沌效應(yīng)”?！闺m然洛倫茲無(wú)意之中闖入非線性世界的大門，但是，讓習(xí)慣了線性思維的學(xué)術(shù)界接受這一發(fā)現(xiàn)卻比較困難。所以，他的論文沒(méi)有發(fā)表到主流的數(shù)學(xué)期刊上，而是發(fā)表到了一份氣象學(xué)的刊物上，發(fā)表之后，10年間也沒(méi)引起什么注意。人類開(kāi)始對(duì)非線性世界全面、系統(tǒng)的研究開(kāi)始于 20世紀(jì)80年代。那時(shí)，計(jì)算機(jī)的速度更快了，同時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)的非線性方程也越來(lái)越多，這樣，一批有志于揭開(kāi)非線性世界面紗的年輕數(shù)學(xué)家就開(kāi)始上陣，一時(shí)間， 混沌理論”席卷學(xué)術(shù)界。到現(xiàn)在，近30年的時(shí)間過(guò)去了，混沌理論”已由當(dāng)初的數(shù)學(xué)學(xué)科擴(kuò)展到物理學(xué)、化學(xué)，甚至是經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)。如人類行為學(xué)的研究就已經(jīng)引入了非線性理論的若干方法。雖然人類對(duì)非線性世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)過(guò)去了 30多年，但是，只是初步揭開(kāi)了非線性世界的面紗，非線性世界