基于伸縮矩陣的不可分小波及其應(yīng)用

基于伸縮矩陣的不可分小波及其應(yīng)用

1基于張量積小波的多光譜分辨率圖像融合方法以多光譜圖像為例，將廣譜信息豐富但分辨率低的圖像與高空間分辨率的全色圖像相結(jié)合，就會生成好的光譜信息和高的分辨率圖像。這是遙感圖像整合的熱點，也是廣泛使用的方法。目前關(guān)于多光譜圖像與高分辨率圖像的融合方法主要有IHS(LHS)變換方法、主成分分析法(PCA)、基于Mallat算法的張量積小波變換方法.這些方法都存在一些不足.LHS變換方法能得到高分辨率的圖像,但融合結(jié)果圖像的光譜信息損失嚴(yán)重.PCA方法適合于多光譜圖像的所有波段,雖然增加了融合結(jié)果圖像的空間表現(xiàn)力,但其光譜分辨力受到很大影響,其融合的運(yùn)算量較大.基于Mallat算法的張量積小波變換方法所得融合結(jié)果圖像有好的光譜信息,但其分辨率低,且由于在對圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)時進(jìn)行了抽樣,使得融合結(jié)果圖像中有方塊效應(yīng),另外,張量積小波在圖像融合中得到了成功的應(yīng)用,在這些應(yīng)用中,對圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)時所采用的小波大多是由Daubechies構(gòu)造的緊支撐正交小波,二維小波由Daubechies一維小波通過張量積生成,而這些小波均不具有對稱性(Haar小波除外),利用不對稱的小波進(jìn)行圖像融合時會產(chǎn)生如下問題:眾所周知,一個實值函數(shù)(或?qū)嵵迪盗?具有線性相位當(dāng)且僅當(dāng)它是對稱的或反對稱的.在利用小波進(jìn)行圖像融合的過程中,重構(gòu)是其必不可少的步驟,我們當(dāng)然要選擇具有完全重構(gòu)性能的小波,即選擇具有對稱性或反對稱性的小波,而Daubechies已證明:若?和ψ分別為一尺度函數(shù)和其多尺度分析生成的小波,且均為具有緊支撐的實值函數(shù),若ψ為對稱的或反對稱的,則ψ必為Haar小波(即db1小波),這就是說,在Daubechies所構(gòu)造的一維緊支撐正交小波中,只有Haar小波具有完全重構(gòu)性能,因而,雖然Daubechis小波在圖像處理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,但在重構(gòu)圖像時,不可避免地會產(chǎn)生相位失真,相位失真必然產(chǎn)生圖像邊緣失真.用Haar小波重構(gòu)圖像時不會產(chǎn)生邊緣失真,但Haar小波過于簡單,在很多應(yīng)用情況下,其性能不佳.因此,如何構(gòu)造具有較好融合性能的對稱的或反對稱的小波是小波應(yīng)用于圖像融合的一個關(guān)鍵問題.Núňez等人提出了一種基于B3樣條小波的張量積所構(gòu)成的低通濾波器和átrous加性小波算法的多光譜圖像與高分辨率圖像融合方法,獲得了較好的融合效果,但文中只是用融合方法的結(jié)果多光譜圖像與原多光譜圖像的相關(guān)性進(jìn)行融合性能分析,其所分析的只是所研究方法保持光譜信息的性能,對高分辨率信息的保持只是根據(jù)加性小波的特性作了定性說明,沒有用客觀指標(biāo)對融合結(jié)果多光譜圖像保持高分辨率信息的能力進(jìn)行量化分析.不可分小波圖像融合方法能使融合結(jié)果圖像獲得更多的熵信息,能提高圖像的分辨率,使融合結(jié)果圖像包含更多的細(xì)節(jié)信息,因此,將基于張量積小波的多光譜高分辨率圖像融合方法推廣到二維不可分小波的情形具有理論價值和應(yīng)用價值,在文獻(xiàn)中,我們研究了二通道不可分小波的構(gòu)造并把它應(yīng)用于多光譜圖像融合中,獲得了較好的融合效果,但其所構(gòu)造的低通濾波器中,除了對角線上的元素值不為0外其它位置元素的值均為0,這樣構(gòu)造的4×4濾波器在對圖像進(jìn)行濾波時,其0值所對應(yīng)的圖像中的像素的信息沒有被利用,從而丟掉了圖像中的大部分信息.本文試圖構(gòu)造二維四通道不可分加性小波并把它應(yīng)用于多光譜圖像與高分辨率圖像的融合中.2具有致密、對稱的結(jié)構(gòu)，不受二維正交小波濾波的影響2.1離散小波變換時的編碼設(shè)x=(x1,x2)T∈R2,ψ(x)∈L2(R2)為二維母小波函數(shù),A為2×2伸縮矩陣.設(shè)b=(b1,b2)T∈R2為平移向量,令ψA,b(x)=1det(A)ψ[A-1(x-b)],若f(x1,x2)∈L2(R2),則其二維小波變換定義為WΤf(A,b)=?f(x),ψA,b(x)?=1a?R2f(x)ψ(x-ba)dx?其中,a=det(A).在離散小波變換時,A表示小波變換后的抽樣(downsampling)方式,因此A也稱為抽樣矩陣,如當(dāng)A=(2002)時,表示對離散柵格的行和列同時做下2抽樣,這是圖像處理常采用的方式.因為矩陣A的行列式的值為4,故有4個通道,1個低通濾波器和3個高通濾波器,相應(yīng)地有1個尺度函數(shù)和3個小波函數(shù).如果這1個尺度函數(shù)和3個小波函數(shù)都能分解為2個一維尺度函數(shù)(或1個一維尺度函數(shù)和1個一維小波函數(shù)或2個一維小波函數(shù))的張量積,則我們稱尺度函數(shù)和小波函數(shù)是可分的(separable),此時的小波被稱為張量積小波,否則稱為非張量積小波或不可分的(non-separable)小波.2.2基于中心關(guān)系關(guān)于0.3,3.3.3.小波的構(gòu)造可由多尺度分析(MRA)來實現(xiàn).一個L2(R2)空間的閉子空間序列{Vj}j∈Z生成L2(R2)的一個多尺度分析,如果下列條件成立:(1)Vj?Vj+1,∩j∈ΖVj={0},ˉ∪j∈ΖVj+1=L2(R2);(2)如果f∈Vj,那么f(Ax)∈Vj+1;(3)??∈V0,?∈L2(R2),{?(x-k)},k∈Z2,為V0空間的正交基.上述條件(3)中的函數(shù)稱為尺度函數(shù),由定義知?∈V0?V1,因此,?滿足如下的雙尺度方程:?(x)=∑k∈Ζ2h0(k)?(Ax-k)(1)記W0=V1/V0,即W0為V0在V1中的補(bǔ)空間,設(shè)W0由ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x)通過平移生成,則有如下的小波雙尺度方程ψ1(x)=∑k∈Ζ2h1(k)?(Ax-k)(2)ψ2(x)=∑k∈Ζ2h2(k)?(Ax-k)(3)ψ3(x)=∑k∈Ζ2h3(k)?(Ax-k)(4)在表達(dá)式(1)～(4)中,記尺度函數(shù)?(x)和小波函數(shù)ψi(x)(i=1,2,3)的Fourier變換分別為??(ω)和?ψi(ω)(i=1,2,3),這里,ω=(ω1,ω2)T,記小波低通濾波器H0={h0(k)}k∈Z2和3個高通濾波器Hi={hi(k)}k∈Z2的Fourier變換分別為M0(ω)和Mi(ω)(i=1,2,3).對雙尺度方程式(1)兩邊作Fourier變換得??(ω)=Μ0(ω/2)??(ω/2),若??(0)=1,則進(jìn)行無窮次乘積迭代得??(ω)=∞∏k=1M0(ω/2k)(5)對式(2)～(4)分別作Fourier變換得?ψi(ω)=Μi(ω/2)??(ω/2),i=1,2,3(6)由此可知,若能構(gòu)造出小波低通濾波器M0(ω),則可根據(jù)式(5)求得尺度函數(shù)?,然后根據(jù)式(6)可以求得3個小波函數(shù)?ψi(ω)(i=1,2,3).以上理論分析說明,非張量積小波的構(gòu)造問題的關(guān)鍵是構(gòu)造非張量積小波低通濾波器M0(ω).在諸如圖像融合等實際工程應(yīng)用問題中,由于利用Mallat算法對圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)時不涉及到尺度函數(shù)和小波的具體形式,而只需要知道低通濾波器和相應(yīng)的高通濾波器即可,因此,若尺度函數(shù)和小波函數(shù)滿足Mallat算法的條件,我們主要關(guān)心的是如何構(gòu)造小波低通和高通濾波器.Chen等人提出了高維非張量積小波及濾波器組的構(gòu)造方法,其二維形式可表示如下:其中,x=e-iω1,y=e-iω2,Uj(j=1,2,…,K)為中心對稱正交陣,D(x,y)=diag(1,x,y,xy),V/2=(V0,V1,V2,V3)/2為正交陣,V1,V2,V3為4×1向量,V0=(1,1,1,1)T.為尋求6×6的具有對稱性的濾波器組,取K=2,構(gòu)造Aj=(00cos(αj)-sin(αj)00sin(αj)cos(αj)cos(βj)-sin(βj)00sin(βj)cos(βj)00),j=1,2,E=(10-10010-101011010),且取Uj=12×E×Aj×EΤ,j=1,2,V=(1-11-1111111-1-11-1-11)(7)則可以驗證:Uj(j=1,2)為中心對稱的正交矩陣,V/2為正交陣.從而可以構(gòu)造出具有對稱性、緊支撐、正交的濾波器組H0,H1,H2,H3.其中H0為低通濾波器,H1,H2,H3分別為3個高通濾波器.我們設(shè)計了多組具有緊支撐、對稱性和正交性的小波濾波器組.通過實驗,我們選擇當(dāng)α1=π/4,α2=π/4,β1=π/3,β2=-π/3時的一組濾波器的低通濾波器的時域形式如式(8),在下一節(jié)中,我們將用它對圖像進(jìn)行融合.Η0=(.533471E-1.695233E-1.120418-.923999E-1-.545790E-17.418799E-17-.702328E-2.915291E-2-.158533E-1-.121647E-1.718546E-18.551360E-18.121647E-1.158533E-1.187500.187500-.120418.923999E-1.923999E-1-.120418.187500.187500.158533E-1.121647E-1.551360E-18.718546E-18-.121647E-1-.158533E-1.915291E-2-.702328E-2.418799E-17-.545790E-17-.923999E-1.120418.695233E-1.533471E-1)(8)可以驗證,它是一組正交的濾波器,顯然H0關(guān)于其中心對稱,H1,H2,H3也都是關(guān)于中心對稱的濾波器,因而這組濾波器是具有線性相位的完全重構(gòu)濾波器組.3全色圖像的融合利用二維不可分小波低通濾波器式(8)對圖像進(jìn)行átrous分解,即利用濾波器H0對圖像進(jìn)行卷積,不進(jìn)行下抽樣,得到小波平面系列:設(shè)p0為原圖像,則Η0(p0)=p1,w1=p0-p1,Η0(p1)=p2,w2=p1-p2,?Η0(p2)=p3,w3=p2-p3(9)其中,wi即為小波平面,pi為近似分量.其重構(gòu)公式為p0=∑i=1nwi+pr(10)其中,pr為殘余圖像.分別采用與文獻(xiàn)相同的3種融合算法對多光譜圖像和高分辨圖像進(jìn)行融合,這3種方法分別是:(1)替代方法(Non-separableAdditiveWaveletSubstitution),簡稱為NAWS方法;(2)把全色圖像的小波平面疊加到R、G、B通道中的方法(Non-separableAdditiveWaveletRGB),簡稱為NAWRGB方法;(3)把全色圖像的小波平面疊加到LHS變換的L分量中的方法(Non-separableAdditiveWaveletL),簡稱為NAWL方法.我們把文獻(xiàn)中與此3種方法對應(yīng)的3種方法分別稱為AWS方法、AWRGB方法、AWL方法.考慮到非張量積小波能提供融合結(jié)果圖像較好的高頻信息,為了使融合結(jié)果圖像能獲得較好的光譜信息,以上3種融合方法均未做直方圖匹配.4試驗結(jié)果的評估和分析4.1圖像融合算法基于以上的原理和融合方法,我們對同一地區(qū)(太空船發(fā)射場)QuickBird多波段影像和全色影像進(jìn)行了融合實驗.圖1(a)和圖1(b)為原始圖像,其中,圖1(a)是分辨率為0.61m的QuickBird全色圖像,圖1(b)為分辨率為2.44m的QuickBird多波段圖像,采用雙線性插值法對多光譜圖MS進(jìn)行重采樣,將MS圖像上采樣得到像素大小為0.61m×0.61m,與PAN圖像的尺度一致,對PAN圖像和MS圖像進(jìn)行配準(zhǔn).由于圖像太大,為了能看清各種方法的融合效果,我們采用裁剪子圖像的方式顯示融合效果.圖1(c)為原多光譜圖像的子圖,圖1(d)為LHS方法的融合子圖像,圖1(e)為張量積小波方法的融合子圖像,所采用的是參考文獻(xiàn)所建議的融合算法,圖1(f)為NAWS方法的融合子圖像,圖1(g)為NAWRGB方法的融合結(jié)果子圖像,圖1(h)為NAWL方法的融合結(jié)果子圖像.圖1(i)為AWS方法的融合子圖像,圖1(j)為AWRGB方法的融合結(jié)果子圖像,圖1(k)為AWL方法的融合結(jié)果子圖像.小波分解層數(shù)均為3,實驗在MATLAB7.1編程環(huán)境中實現(xiàn).為使式(8)的濾波器得到較好的分頻特性,我們用4×4的均值濾波器對它進(jìn)行了一次低通濾波.從融合的視覺效果看,本文方法既保留了原多光譜圖像的光譜信息,又保持了原PAN圖像的較高的分辨率.NAWS、NAWRGB、NAWL3種融合方法的結(jié)果圖像分別比AWS、AWRGB、AWL3種融合方法的結(jié)果圖像要清晰.LHS方法融合圖像(圖1(d))雖然有較高的分辨率,但其光譜信息退化較嚴(yán)重,基于張量積小波的融合方法圖像(圖1(e))雖然較好地保留MS圖像的光譜信息,但圖像較模糊,分辨率不高.4.2與其它方法比較為了衡量融合圖像在保持PAN圖像的高分辨率信息和MS圖像的光譜信息的好壞,我們采用分別計算原多光譜圖像的R、G、B通道與融合結(jié)果多光譜圖像的R、G、B通道的相關(guān)系數(shù)衡量光譜信息的保持程度,其值越大,說明光譜信息保持越好.而采用先對PAN圖像、融合后的多光譜圖像的R、G、B圖像分別用如式(11)的高通濾波器濾波,然后分別求濾波后的PAN圖像與R圖像、PAN圖像與G圖像、PAN圖像與B圖像的相關(guān)系數(shù),以衡量融合結(jié)果圖像所含的高分辨率信息,其值越大,說明高分辨信息保持越好.所使用的高通濾波器為Η=[-1-1-1-18-1-1-1-1](11)另外,為了研究本文方法的特點,我們把它與LHS變換方法、基于張量積小波融合方法、AWS方法、AWRGB方法、AWL方法分別作比較,有關(guān)客觀性能指標(biāo)列于表1和表2中,表1是原PAN圖像與融合結(jié)果多光譜圖像通過高通濾波器濾波后的相關(guān)系數(shù).表2所示的是各種融合方法的融合結(jié)果圖像的R、G、B圖像與原多光譜圖像的R、G、B圖像的相關(guān)系數(shù).從表1的數(shù)據(jù)可以看出,基于不可分加性小波的3種融合模式分別比基于可分的加性小波的3種模式的相關(guān)系數(shù)的值大,而且3種融合模式的相關(guān)系數(shù)的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過基于張量積小波的融合方法的值,說明本文融合方法保持空間分辨率的性能比上述兩種方法的性能好.基于LHS變換的方法雖有較高的空間分辨率,但其保持光譜信息的能力很差(見表2).從表2的數(shù)據(jù)可以看出,本文建議的3種融合方法的相關(guān)系數(shù)的值均在0.9以上,說明本文方法有較好的光譜信息保持能力,而尤以NAWL融合方法保持光譜信息的能力最好,其相關(guān)系數(shù)的值除了比AWL略低外,比所列其它方法的相關(guān)系數(shù)的值都高.與文獻(xiàn)的研究方法相比,本文融合方法所使用的濾波器的各個位置上的系數(shù)均不為0,能獲得更多的圖像信息,為了量化對比兩種方法所含信息量的多少,我們選用熵作為量化指標(biāo)來衡量圖像所含信息量多少,其表達(dá)式如式(12)所示.e=-∑i=0L-1pilogpi2(12)其中,L為圖像的灰度級數(shù),pi為灰度級