2021年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題（每小題5分，共50分）

1.（5分）（2015?湖南）已知（1T）2=l+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）

Z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.（5分）（2015?湖南）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）

的莖葉圖如圖所示.若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1-35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方

法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間［139,151］上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是（）

1300345668889

1411122233445556678

150122333

A.3B.4C.5D.6

3.（5分）（2015?湖南）設(shè)x￡R,則〃x>l〃是室>1〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）（2015?湖南）若變量x,y滿足約束條件4則z=2x-y的最小

值為（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（5分）（2015?湖南）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3,則輸出的S二

（）

BSl

A'I7B'*10TCID4

22

6.（5分）（2015?湖南）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3,-4）,

a2b2

則此雙曲線的離心率為（）

A.近B.aC.-1D.反

3453

7.（5分）（2015?湖南）若實(shí)數(shù)a,b滿足1+2=倔，則ab的最小值為（）

ab

A.&B.2C.2V2D.4

8.（5分）（2015?湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-In（1-x）,則f（x）是（）

A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)

9.（5分）（2015?湖南）已知A,B,C在圓x2+y2=i上運(yùn)動(dòng)，且AB^BC,若點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（2,0）,則|直+五+玩|的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

10.（5分）（2015?湖南）某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加

工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)

面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=誓維轆翼）（）

原工件的體積

3333

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

33

8R8「24(72-1)n8(V2-1)

---D.------------U.----------------------------------

9K27兀兀兀

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11.（5分）（2015?湖南）已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},

貝ijAU（CuB）=.

12.（5分）（2015?湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,則曲線C的直角坐

標(biāo)方程為.

13.（5分）（2015?湖南）若直線3x-4y+5=0與圓x?+y2=r2（r>0）相交于A,B

兩點(diǎn)，且NAOB=120。，（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則r=.

14.（5分）（2015?湖南）已知函數(shù)f（x）=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的

取值范圍是.

15.（5分）（2015?湖南）已知3>0,在函數(shù)y=2sin3X與y=2cos3x的圖象的交

點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2?,則3=.

三、解答題

16.（12分）（2015?湖南）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品

后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球Ai，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2

個(gè)紅球ai，a2和2個(gè)白球bi，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)

球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).

（I）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；

（口）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概

率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由.

17.（12分）（2015?湖南）設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btanA.

（I）證明：sinB=cosA；

（II）若sinC-sinAcosB=』，且B為鈍角，求A,B,C.

4

18.（12分）（2015?湖南）如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面是邊長(zhǎng)為2的正

三角形，E,F分別是BC,CCi的中點(diǎn)，

（I）證明：平面AEFJ_平面BiBCCi；

（II）若直線AiC與平面AiABBi所成的角為45。，求三棱錐F-AEC的體積.

19.（13分）（2015?湖南）設(shè)數(shù)列國｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知ai=l,a2=2,an+2=3Sn

-Sn-i+3,n0N*,

（I）證明an*2=3an；

（n）求Sn.

22

20.（13分）（2015?湖南）已知拋物線Ci：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：胃+三

a2b2

=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，Ci與C2的公共弦的長(zhǎng)為2后，過點(diǎn)F的直線I與Ci

相交于A,B兩點(diǎn)，與C2相交于C,D兩點(diǎn)，且正與麗同向.

（I）求C2的方程；

（H）若|AC|=|BD|,求直線I的斜率.

21.（13分）（2015?湖南）已知a>0,函數(shù)f（x）=aexcosx（xG[0,+°°]）,記

xn為f（x）的從小到大的第n（nEN*）個(gè)極值點(diǎn).

（I）證明：數(shù)列｛f（xn）｝是等比數(shù)列；

(口)若對(duì)一切nWN*,XnWf(xn)代亙成立，求a的取值范圍.

2015年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

參考答案

一、選擇題（每小題5分，共50分）

1.D；2.B；3.C；4.A；5.B；6.D；7.C；8.A；