高考數(shù)學(考點解讀-命題熱點突破)專題15-直線與圓-理

PAGEPAGE15專題15直線與圓【考向解讀】考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題.直線與圓的位置關系特別是弦長問題，此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).【命題熱點突破一】直線的方程及應用1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．求直線方程要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線．3．兩個距離公式(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).(2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).例1、【2016高考新課標3理數(shù)】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________.【答案】4【變式探究】(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為()A．0或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D．0或eq\f(1,2)答案(1)C(2)B解析(1)當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，則兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是eq\f(3－k,4－k)＝k－3，解得k＝3或k＝5.但必須滿足eq\f(1,k－4)≠eq\f(3,2)(截距不相等)才是充要條件，經(jīng)檢驗知滿足這個條件．(2)依題意，得eq\f(|3m＋5|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋7|,\r(m2＋1)).所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0.所以m＝eq\f(1,2)或m＝－6.【特別提醒】(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；(2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結合的方法分析研究．【變式探究】已知A(3,1)，B(－1,2)兩點，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為()A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0答案C解析由題意可知，直線AC和直線BC關于直線y＝x＋1對稱．設點B(－1,2)關于直線y＝x＋1的對稱點為B′(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－2,x0＋1)＝－1，,\f(y0＋2,2)＝\f(x0－1,2)＋1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝0，))即B′(1,0)．因為B′(1,0)在直線AC上，所以直線AC的斜率為k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，所以直線AC的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－3)，即x－2y－1＝0.故C正確．【命題熱點突破二】圓的方程及應用1．圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．例2、【2016高考新課標2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得：，解得，故選A．【變式探究】(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝4(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2eq\r(3)，且與直線l2：2x－eq\r(5)y－4＝0相切，則圓M的方程為()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4答案(1)D(2)B解析(1)因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設圓心坐標為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±eq\r(3)，所以選D.(2)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a>－2，半徑為r，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋22＋\r(3)2＝r2，,\f(|2a－4|,\r(4＋5))＝r，))解得滿足條件的一組解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,r＝2，))所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B.【特別提醒】解決與圓有關的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【變式探究】(1)經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為________________．(2)已知直線l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直線l上的兩點，且△OAB是正三角形(O為坐標原點)，則△OAB外接圓的方程是____________________．答案(1)(x－2)2＋(y－1)2＝10(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8(2)設△OAB的外心為C，連接OC，則易知OC⊥AB，延長OC交AB于點D，則|OD|＝3eq\r(2)，且△AOB外接圓的半徑R＝|OC|＝eq\f(2,3)|OD|＝2eq\r(2).又直線OC的方程是y＝x，容易求得圓心C的坐標為(2,2)，故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.【命題熱點突破三】直線與圓、圓與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法．(1)點線距離法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d>r?直線與圓相離．(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得關于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關系有五種，即內含、內切、相交、外切、外離．設圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關系的判斷方法如下：(1)d>r1＋r2?兩圓外離；(2)d＝r1＋r2?兩圓外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內含．例3、【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；（2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程；（3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。【答案】（1）（2）（3）【解析】（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離因為而所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）設因為，所以……①因為點Q在圓M上，所以…….②將①代入②，得.于是點既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓沒有公共點，所以解得.因此，實數(shù)t的取值范圍是.【變式探究】(1)已知直線2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒過定點P，若點P平分圓x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，則弦MN所在直線的方程是()A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A．3B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2)D．2答案(1)A(2)D(2)如圖，把圓的方程化成標準形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圓心為(0,1)，半徑為r＝1，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值為1.而S△PBC＝eq\f(1,2)r·|PB|，即|PB|的最小值為2，此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離d，此時d＝eq\f(|5|,\r(k2＋1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，即k2＝4，因為k>0，所以k＝2.【特別提醒】(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題．【變式探究】(1)已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2＝－2y＋3，直線l過點(1,0)且與直線x－y＋1＝0垂直．若直線l與圓C交于A、B兩點，則△OAB的面積為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)(2)兩個圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為()A．－6B．－3C．－3eq\r(2)D．3答案(1)A(2)C(2)兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程分別為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，所以|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)，得(a＋b)2≤18，所以－3eq\r(2)≤a＋b≤3eq\r(2)，當且僅當“a＝b”時取“＝”．所以選C.【高考真題解讀】1.【2016高考新課標2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得：，解得，故選A．2.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離___________.【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得.3.【2016高考新課標3理數(shù)】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________.【答案】44.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（）（II）【解析】（Ⅰ）因為，，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以.由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當與軸不垂直時，設的方程為，，.由得.則，.所以.過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.5.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；（2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程；（3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）（3）（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離因為而所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）設因為，所以……①因為點Q在圓M上，所以…….②將①代入②，得.于是點既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓沒有公共點，所以解得.因此，實數(shù)t的取值范圍是.1．(2015·新課標全國Ⅰ，14)一個圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________．解析由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點，(4，0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝eq\f(3,2)，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半徑為eq\f(5,2).故圓的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)2．(2015·江蘇，10)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________．解析直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r＝eq\r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq\r(2).故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝23．(2015·廣東，5)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析設所求切線方程為2x＋y＋c＝0，依題有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求切線的直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選D.答案D4．(2015·新課標全國Ⅱ，7)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8 C．4eq\r(6) D．105．(2015·重慶，8)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2) C．6 D．2eq\r(10)解析圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為C(2，1)，半徑為r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(（－4－2）2＋（－1－1）2－4)＝6，選C.答案C6．(2015·山東，9)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解析圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3，2)，半徑r＝1.(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)．如圖所示，反射光線一定過點(2，－3)且斜率k存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光線與已知圓相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋（－1）2))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).答案D7．(2014·江西，9)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為()A.eq\f(4,5)π B.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5,4)π解析由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小．又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，知圓的直徑的最小值為點O到直線2x＋y－4＝0的距離，此時2r＝eq\f(4,\r(5))，得r＝eq\f(2,\r(5))，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝eq\f(4,5)π.答案A8．(2014·陜西，12)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1，0)關于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為____________．解析因為點(1，0)關于直線y＝x對稱點的坐標為(0，1)，即圓心C為(0，1)，又半徑為1，∴圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝19．(2014·四川，14)設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．解析易求定點A(0，0)，B(1，3)．當P與A和B均不重合時，不難驗證PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|