2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專題32-空間向量及其應(yīng)用(原卷版)

精品資源值得珍藏專題32空間向量及其應(yīng)用【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算①，．如圖所示．②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律，知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（1）數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（1）兩向量夾角已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：，（交換律）；（分配律）．知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點(diǎn)注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線及垂線．【方法技巧與總結(jié)】用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問(wèn)題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問(wèn)題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算．【題型歸納目錄】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算題型四：證明三點(diǎn)共線題型五：證明多點(diǎn)共面的方法題型六：證明直線和直線平行題型七：證明直線和平面平行題型八：證明平面與平面平行題型九：證明直線與直線垂直題型十：證明直線與平面垂直題型十一：證明平面和平面垂直題型十二：求兩異面直線所成角題型十三：求直線與平面所成角題型十四：求平面與平面所成角題型十五：求點(diǎn)到平面距離【典型例題】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算例1．設(shè)空間向量是空間向量的相反向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與的長(zhǎng)度相等B．與可能相等C．與所在的直線平行D．是的相反向量例2．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例3．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．例4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．例5．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．例6．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（）A． B．C． D．例7．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．例8．在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t三個(gè)向量一定也共面；④已知三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以表示為．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例9．如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．例10．已知是空間向量的一個(gè)基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向量的運(yùn)算法則．題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用例11．，為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，，若，則________．例12．已知，，且??不共面，若，則___________．例13．已知，，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．例14．（多選題）下列命題中正確的是（

）A．是，共線的充分條件B．若，則C．，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面D．若，，，為空間四點(diǎn)，且有（，不共線），則是，，三點(diǎn)共線的充分不必要條件【方法技巧與總結(jié)】空間共線向量定理：．利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題．題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例15．已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．例16．（多選題）設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．例17．（多選題）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A． B．C．若，則 D．例18．（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．例19．在三棱錐中，已知，，，則___________例20．棱長(zhǎng)為1的正方體，在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．例21．已知，若，則_________．例22．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為_(kāi)__________．例23．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________．例24．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則的最大值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)_________．例25．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1例26．已知，，則（

）A． B． C．0 D．1例27．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．例28．如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．3例29．給出下列命題，其中正確的為（

）A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B．若，則是鈍角C．若，則與一定共線D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面例30．正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例31．在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．例32．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，是上底面的邊界上一點(diǎn)．若的最小值為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】；求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．為銳角；為鈍角．由此，通常通過(guò)計(jì)算的值來(lái)判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．題型四：證明三點(diǎn)共線例33．如圖，在平行六面體中，，．（1）求證：、、三點(diǎn)共線；（2）若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．例34．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．例35．在長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn)．求證：，E，N三點(diǎn)共線．例36．如果三點(diǎn)共線，那么（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，，然后證明存在非零實(shí)數(shù)，使得．題型五：證明多點(diǎn)共面的方法例37．已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點(diǎn)共面，、、、四點(diǎn)共面；（2）．例38．如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；例39．如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．判斷點(diǎn)D與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．例40．如圖，四棱柱的側(cè)棱底面，四邊形為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．證明：，，，四點(diǎn)共面；例41．（多選題）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．例42．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對(duì)任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面例43．以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、例44．設(shè)為空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“”是“四點(diǎn)共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例45．，若三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5例46．如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，過(guò)的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．存在平面和點(diǎn)，使得平面B．存在平面和點(diǎn)，使得平面C．對(duì)任意的平面，線段平分線段D．對(duì)任意的平面，線段平分線段例47．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C，四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，都有，則λ＝________．例48．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是_________．例49．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點(diǎn)，過(guò)AG的平面與棱PB、PD分別交于點(diǎn)E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為_(kāi)_____．【方法技巧與總結(jié)】要證明多點(diǎn)（如，，，）共面，可使用以下方法解題．先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如，，），然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得．題型六：證明直線和直線平行例50．已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．例51．在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．【方法技巧與總結(jié)】將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．題型七：證明直線和平面平行例52．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面．例53．如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．求證：平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．題型八：證明平面與平面平行例54．如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面∥平面．例55．如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．用向量法證明平面平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．題型九：證明直線與直線垂直例56．如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；例57．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上．證明：PN⊥AM；例58．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，M為的中點(diǎn)，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)．（1）求證：，．（2）求證：是異面直線與的公垂線段．例59．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．（1）證明：；（2）當(dāng)，，時(shí)，求三棱錐的體積．例60．如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）分別在線段上的點(diǎn)，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說(shuō)明理由．例61．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)．證明：；【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，則．這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．題型十：證明直線與平面垂直例62．在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點(diǎn)，求證：平面ADE；例63．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點(diǎn)，且．求證：平面；例64．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直例65．如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．求證：平面平面ABCD；例66．如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．證明：平面平面；例67．在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點(diǎn)，P是C1C的中點(diǎn)．證明：平面A1BC⊥平面POB；例68．如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面．題型十二：求兩異面直線所成角例69．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為2，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）直線與所成角的余弦值．例70．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例71．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．例72．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例73．已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例74．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．題型十三：求直線與平面所成角例75．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD；（2）若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．例76．如圖，在直三棱柱中，，，，E分別是，AB的中點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．例77．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．例78．如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上，．（1）若，為的中點(diǎn)，求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．例79．如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線，已知三棱錐P－ADE四個(gè)面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A． B．C． D．例80．如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．題型十四：求平面與平面所成角例81．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例82．如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，，D為PC上一點(diǎn)，且，．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）若E為AC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．例83．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，平面平面．（1）證明：．（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．例84．如圖，在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角．（1）求證：平面平面．（2）若，求二面角的余弦值．例85．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．（1）證明：平面；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值．例86．如圖1，矩形中，，，為上一點(diǎn)且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．例87．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．例88．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．（1）是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）二面角的余弦值為，求的值．例89．如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點(diǎn)，，．（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求二面角的正弦值．例90．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點(diǎn)E是線段BC（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．（1）探究點(diǎn)E位于何處時(shí)，平面平面PED；（2）設(shè)二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：【方法技巧與總結(jié)】（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．（2）設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．題型十五：求點(diǎn)到平面距離例91．在正方體中，E為的中點(diǎn)，過(guò)的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）點(diǎn)H在棱BC上，當(dāng)時(shí)，平面，試確定動(dòng)點(diǎn)F在棱上的位置，并說(shuō)明理由；（2）若，求點(diǎn)D到平面AEF的最大距離．例92．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．例93．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，M為與的交點(diǎn)，設(shè)，，．（1）用，，表示并求BM的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)A到直線BM的距離．例94．已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．例95．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．例96．如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____．例97．某市在濱海文化中心有濱?？萍拣^，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長(zhǎng)方體和圓臺(tái)組合，如圖所示，長(zhǎng)方體中，，圓臺(tái)下底圓心為的中點(diǎn)，直徑為2，圓與直線交于，圓臺(tái)上底的圓心在上，直徑為1．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）圓臺(tái)上底圓周上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求點(diǎn)到直線的距離，若不存在則說(shuō)明理由．例98．如圖，矩形和梯形，，平面平面，且，過(guò)的平面交平面于．（1）求證：與相交；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離：【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，平面的法向量為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對(duì)值，即或【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（

）A． B．C． D．2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在四棱臺(tái)中，側(cè)棱與底面垂直，上下底面均為矩形，，，則下列各棱中，最長(zhǎng)的是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知正方體，E，F(xiàn)，G分別是AB，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線EG相交 B．直線平面EFGC．直線與平面EFG相交 D．直線平面EFG5．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，又分別是棱，的中點(diǎn)，那么三棱錐的體積為（

）A．4 B．6 C．8 D．127．（2022·安徽淮北·一模（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的（

）個(gè)．①若E為的中點(diǎn)，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為④過(guò)點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若平面的法向量，則直線平面C．若，分別為平面，的法向量，則平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若，，是空間的一組基底，且