微分幾何知識(shí)點(diǎn)整理

微分幾何一曲面論基本定理研究曲面論基本定理基于我們對符號(hào)的定義，曲面上的自然標(biāo)價(jià)為對于常微分方程組dr =rdui，<—=Tkr+。公式)

dujijkij =-cdkr(Weingarten^^)dujjk可解得系數(shù)dg)——可解得系數(shù)dg)——y-dui/,相關(guān)系數(shù)可算得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"fdg dg dgldm dui duiJ(8g dg dgldui du^ duiJ\o"CurrentDocument"(8g dg dg±Z.I Z71 Z7ZT\o"CurrentDocument"Idu^dun 前)「_1吒_]g22(dg dg dg「_1吒_]g22l。"1 前 。"2)1^(dgdgdg)12=_g22 ——竺-+——R———212 2 Idui 如2 。"2J1 (dg dg dg)12=—g22——穿+——穿———32-22 2 I笊2 如2 du2J假定曲線有三次以上得連續(xù)可微性，要使方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)滿足r=rijji<r=rijk ikjn=nlij ji由此可得到曲面的第一基本兩和第二基本量需要滿足的相容性條件R=bb-bb(Gq〃ss方程)ijklijilikjl=bTi-bD(GWqzzZ方程)IjikIkij

質(zhì)Iari 一一 一一…—一,.、?其中存在關(guān)系Ri=gisR,Ri=——j- k+rsri—nrI。雖然Gauss-Codazzi方程ijk sijkijkQuk Qujjskiksj很復(fù)雜，但是考慮到對稱的性質(zhì)，在Gauss方程中只包含了2個(gè)方程，Codazzi方程中只包含了1個(gè)條件。R1212=-[biib22-(bi2)2]ab 瀝12=bri-briQu2 Qui ii12 2i11瀝瀝=br瀝瀝=bri-bri、Qu2 Qui 1i222121由此我們也可以得出曲面Gauss曲率K=b=-——筆2——。對于正交網(wǎng)（F=0）g g]]g22-（g『2來說Gauss來說Gauss曲率的計(jì)算公式可化簡為K=-。公式說明曲E}。公式說明曲u v面兩個(gè)主曲率的乘積是由曲面的第一基本形式?jīng)Q定的，即為一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)量，這就是高斯的絕妙定理：曲面的Gauss曲率是曲面在保長變換（即保持第一基本形式不變的彎曲變形）下的不變量。利用高斯的思想，我們不需要知道曲面是如何嵌入到三維歐氏空間的就可以研究曲面的性質(zhì)。高斯的思想是曲面論基本定理的基礎(chǔ)，即=Edu2+2Fdudv+Gdv2曲面論基本定理設(shè) 是給定的兩個(gè)一次微分形式，其中1是正=Ldu2+2Mdudv+Ndv2定的，若I和II的系數(shù)對稱且滿足Gauss-Codazzi方程，則除了空間的位置差別之外，存在唯一一個(gè)曲面，以I和II為此曲面的第一和第二基本形式?？偭鞒虉D供用白然悚西描堪

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場動(dòng)力'稽譚討對由個(gè)曾賣集上時(shí).L血WftJC瑪一#_耳本彩式珥=4=-弓叫推出相容j蕓*=Mkwemj曰所祁性.阪踞才程有而中君由察件令*i方展*一個(gè)址立條督口跖僅與第一旱本球式肴長心二蜘F】ASF*常.5一W切于饋退骨分席冉英立夷，n消定凡f可比r§菖 跖乓-插/通過曲面的第一和第二基本形式求出相應(yīng)曲面的具體例子［例1］已知E=1,F=0,G=1;L=-1,M=0,N=0時(shí)，求解該曲面解：設(shè)所求曲面為r=r(u,們，故由題目條件可得E=rr=1uuF=rr=0uvG=rr=1v?vL=rn=一rn=一1

uu uuM=rn=-rn=-rn=0%「「u^ uvvuTOC\o"1-5"\h\zN=rn=-rn=0I ? ?vv vv所以 ? ? ?r?r=0*rr=0uuuuuvrr=-rr=0uvvuvvrr=0,rr=0??uuvvvurr=0?vvv?若用自然標(biāo)架｛r,r,n｝來表示r:r,r,n偵，利用待定系數(shù)法，根據(jù)以上條件能夠uv uuwu^vuv得到r=-nuur=0r=0n=rn=0因此能夠得到y(tǒng)+匚=-n”+r=0 ，積分可得解為r=C(v)sinu+C(v)cosu+C(v)，故r=C(v)cosu—C(v)sinur=C'(v)sinu+C'(v)cosu+C'(v)r=C'(v)cosu—C'(v)sinu根據(jù)條件可得C1'(v)=C2'(v)=C3'(v)=0，即r=asinu+bcosu+cv+d，其中a,b,c,d為常向量［例2］已知E=1,F=0,G=sin2u;L=1,M=0,N=sin2u，其中ug(0,兀)，求該曲面。證明：由以上條件可知I=du2+sin2udv2,II=du2+sin2udv2故k—-—1nI所以K=1，結(jié)合相關(guān)結(jié)論可知該曲面為球面。能夠驗(yàn)證，對于球面r=(sinucosv,sinusinv,cosu)E=1,F=0,G=sin2u;L=1,M=0,N=sin2uI—du2+sin2udv2II——dndr—drdr—du2+sin2udv2若使用自然標(biāo)架的方法，步驟較為繁瑣與上例類似，這里略去。［例3］求曲面S的參數(shù)方程，使得它的第一基本形式和第二基本形式分別為=(1+u2)du2+u2dv2= ］ .^du2+u2dv2)\1+u2解：直接求解曲面的微分方程較為困難。觀察曲面的基本形式可知F=M=0，并且其余的系數(shù)是只跟u相關(guān)的函數(shù)，于是我們可以假定該曲面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面，參數(shù)方程為(f(u)cosv,f(u)sinv,g(u))，結(jié)合已知條件可求得函數(shù)/(u)=u,g(u)=1u2。利用相關(guān)的知識(shí)也可以證明滿足某些條件的曲面是不存在的。［例4］證明不存在曲面滿足E=1,F=0,G=1;L=1,M=0,N——1證明：若這樣的曲面是存在的，由題目中的條件E=rr=1F=rr=0uvG=r.r=1L=rn——rn=1.uu uuM=rn——rn=0uvuvTOC\o"1-5"\h\zN=rn=—rn——1I ? ?vv vv故可以得到 ? ?rr=0,rr=0rr=—rr=0rr=0,rr=0uuv vvurr=0??vvv同前例自然標(biāo)架｛r,r,n｝來表示r,r,r:n,nuv uuv^vu^vuv

r--nvvr=0n=—ruun=r=—n=(r)=r=0由此得到。rv利用高斯曲率的計(jì)算公式來驗(yàn)證該曲面。一方面可算出uuuvv即r為常向量，這顯然是矛盾的。又或者我們可以=nv土由此得到。rv利用高斯曲率的計(jì)算公式來驗(yàn)證該曲面。一方面可算出vLN—M2 1K= =—1EG另一方面14EG+14EG+顯然這樣的曲面是不存在的。［例5］證明不存在曲面，使得E=1,F=0,G=cos2u;L=cos2u,M=0,N=1。證明：假設(shè)這樣的曲面存在，可得丁1F=rr=0uvG=rr-cos2uL=r.n=-rn=cos2uM=r.n=-rn=-rn=0uvuvvuN=r.n=-rn=1?=0所以 ?=0ruruu—0,rA.rr=-rr=sinucosurr=0,rr=—sinucosu,uuv vvurr=0??

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