雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(精)

雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程榆樹市弓棚高級中學(xué)彭普威一、教學(xué)內(nèi)容分析節(jié)教材選自人教A版數(shù)學(xué)選修1-1第二章第二節(jié)課，本節(jié)內(nèi)容在整個圓錐曲線教學(xué)中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位，在高考中也是歷年熱點問題。本節(jié)課是在前面已學(xué)過橢圓的基本定義做為學(xué)習(xí)的出發(fā)點，結(jié)合有關(guān)的實物模型，多媒體演示，通過直觀感知、操作確認(rèn)（合情推理，不要求證明）歸納出雙曲線的定義，并結(jié)合定義用類比方法推導(dǎo)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生動手實踐能力與邏輯推理能力起到重要作用，特別是學(xué)生對數(shù)學(xué)在生活中美的體現(xiàn)有重要認(rèn)識。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析任教的學(xué)生在年段屬中下程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但學(xué)習(xí)圓錐曲線所具備的想象能力、計算能力相對不足，學(xué)習(xí)方面有一定困難。三、設(shè)計思想本節(jié)課的設(shè)計遵循從具體到抽象的原則，適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)手段，借助實物模型，通過直觀感知，操作確認(rèn)，合情推理，歸納出雙曲線的定義及推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示橢圓的定義與雙曲線定義的區(qū)別與聯(lián)系，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的對比思想方法，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的空間想象力及對數(shù)學(xué)美感的感知，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，及培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過直觀感知--觀察--操作確認(rèn)的認(rèn)識方法理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的形狀特點的畫法并能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號語言、文字語言表述雙曲線，并通過類比方法推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學(xué)生在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在自主合作、交流中學(xué)習(xí)，體驗學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)自信心，樹立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)習(xí)的自我效能感。五、教學(xué)重點與難點重點是雙曲線的引入與理解，難點是雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與邏輯思維能力的培養(yǎng)。六、教學(xué)過程設(shè)計（一）知識準(zhǔn)備、新課引入提問1橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程？（多媒體幻燈片演示）p」M/MF|+|MF|=2a}提問2:若把橢圓定義中和變?yōu)椴顣r，曲線將如何變化？談?wù)勀愕目捶?？［設(shè)計意圖:通過提問，學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓定義，并由此引出疑問，深入思考引入本節(jié)課題，并為探尋橢圓和雙曲線的聯(lián)系與區(qū)別作好準(zhǔn)備。］（二）雙曲線定義的探求過程1、直觀感知提問:根據(jù)同學(xué)們?nèi)粘Ｉ畹挠^察，你們能感知到并舉出雙曲線的具體事例嗎？師1:出示火電站的煙囪圖形。師2:廣東亞運(yùn)會開幕式會場一側(cè)的廣州電視塔“小蠻腰”，然后教師用多媒體動畫演示。［學(xué)情預(yù)設(shè):此處的預(yù)設(shè)與生成應(yīng)當(dāng)是很自然的，這樣能

使學(xué)生更加直觀的感知雙曲線的形狀，并能體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，且能感受數(shù)學(xué)的美。］2、動手實踐教師取出預(yù)先準(zhǔn)備好的雙曲線演示板：演示雙曲線的形成過程。并要求同學(xué)們分組把課前要求準(zhǔn)備好的拉鎖按要求做演示。老師在講臺前演示并用多媒體做動畫演示。［設(shè)計意圖：設(shè)置這樣動手實踐的情境，是為了讓學(xué)生更加清楚地看到雙曲線是怎樣形成的，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，學(xué)自己身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟雙曲線形狀特性，并探究其內(nèi)涵。］3、探究思考上述演示的雙曲線形成過程關(guān)鍵是什么因素起了作用呢？通過觀察感知雙曲線的形成的核心，關(guān)鍵是二個要素：①差的絕對值②常數(shù)小于\FF|4、歸納確認(rèn)：（多媒體幻燈片演示）雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個定點F、F的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1FJ）的點和軌跡叫做雙曲線。集合表示形式：p={M/\MF\-\mf2\|=2R溫馨提示：兩個定點叫做雙曲線的焦點。兩個焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。常數(shù)記為2a，F(xiàn)F|=2c常數(shù)記為2a，F(xiàn)F|=2c。（三）定義運(yùn)用，問題探究（多媒體幻燈片演示）1、想一想：當(dāng)雙曲線條件相應(yīng)變化時，曲線將如何變化：（1）、,-|PF|=2a雙曲線的一支（2）pF-\PF\=-2a雙曲線的一支（3）fF=2a2表示以FF為端點的兩條射線（4）FF、/12［學(xué)情預(yù)設(shè)：設(shè)計這組問題的目的是強(qiáng)調(diào)定理中兩個條件的重要性，相應(yīng)條件變化時能夠使同學(xué)們通過演示、思考得出結(jié)果，如能按老師的要求生成正確的結(jié)果，則就由個別學(xué)生進(jìn)行演示。］2、作一作：PF<2a動點的軌跡不存在。已知F(-5,0)F(5,0)動點P滿足\PF\—\PF\=2a,當(dāng)a為3和5時，P點的軌跡為雙曲線的一支和一條射線。先由學(xué)生討論交流，教師提冋，然后教帥總結(jié)，并用準(zhǔn)備好的教具進(jìn)行演示。［設(shè)計意圖：這是一道簡單應(yīng)用問題，是一道動手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定義的認(rèn)識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生想象能力與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。］(四)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)推導(dǎo)：回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，類比為雙曲線(建系—設(shè)點—列式—化簡)F2，y已知雙曲線的焦點在x軸上，F(xiàn)(-c,0)、F(c,0)F2，y建立直角坐標(biāo)系xoy,使x軸經(jīng)過兩個焦點F、軸為線段f?的垂直平分線1設(shè)點M(X,y)p={M/|MFJ—||MF]|=J(x+c)2+y2|MF2|MF]|=J(x+c)2+y2|MF2\/(x+c)2+y2化簡得：-.J(x-c)2+y2=±a2—a2)x2—a2y2=a2(c2—a2兩邊同除以a2(c2—a2)得x2y2—=1a2c2—a2令c2—a2=b2(b>0)代入上式得：匸—21=1(a>0,b>0)a2b2類比上述方法，可引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)焦點在y軸上的雙曲線方程。［設(shè)計意圖：設(shè)計此推導(dǎo)過程，目的是通過問題探究、討論、思辨、類比，體會公式是怎樣來的？提高學(xué)生的推導(dǎo)

能力、計算能力與邏輯推理能力。］（2）標(biāo)準(zhǔn)方程1＞焦點在x軸上x21＞焦點在x軸上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦點在y軸上y2x2=1（a〉0,b〉0）a2b2注：1＞a,b,c關(guān)系c2=a2+b22＞焦點跟著正項走［知識鏈接：要注意a,b,c的關(guān)系雙曲線與橢圓的區(qū)別，并進(jìn)一步討論焦點的判斷的方法。注重方法的總結(jié)，培養(yǎng)邏輯思維能力］練一練：例：已知雙曲線兩個焦點F（-5,0）F（5,0）,雙曲線上一點P到F，距離差的絕對值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。12變式1:已知雙曲線的中心在原點，c=6，經(jīng)過點（5，2），焦點在x軸上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式2:已知雙曲線中心在原點，經(jīng)過點A（7,_6巨），BI訂,3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。股計意圖：設(shè)計這組練習(xí)，目的是為了鞏固與深化雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用，特別是通過變式2的訓(xùn)練，讓學(xué)生思考簡便方法，讓學(xué)生能在不同的條件下，去尋找解決問題的途徑與方法，以達(dá)到逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力與邏輯思維能力。］（四）總結(jié)先由學(xué)生口頭總結(jié)，然后教師歸納總結(jié)（由多媒體幻燈片展示）：1、雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F、F的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1FJ）的點和軌跡叫做雙曲線。2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：121＞焦點在x1＞焦點在x軸上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦點在y軸上Z2-匸=1（a〉0,b〉0）a2b2（五）布置作業(yè)：教科書習(xí)題2、2A組1,2七、教學(xué)反思一、成功之處：1、教學(xué)方法上：“突出教學(xué)內(nèi)容中主要的、本質(zhì)的東西；將每堂課具體任務(wù)與整個教學(xué)任務(wù)合理地結(jié)合起來；選擇最合理的教學(xué)方法和手段。”結(jié)合本節(jié)課的具體內(nèi)容，確立啟發(fā)探究式教學(xué)、互動式教學(xué)法及多媒體進(jìn)行教學(xué)方法，體現(xiàn)了認(rèn)知心理學(xué)的基本理論。2、學(xué)習(xí)的主體上：課堂不再成為“一言堂”，學(xué)生也不再是教師注入知識的“容器瓶”，課堂上為學(xué)生的主動參與提供充分的時間和空間，凡是學(xué)生能夠自己學(xué)習(xí)的、觀察的、講的（口頭表達(dá)）、思考探究的、合作交流的、動手操作的，盡量都放手讓給學(xué)生去做、去活動、去完成，這樣可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，拉近師生距離，提高知識的可接受度，讓學(xué)生體會到他們是學(xué)習(xí)的主體。進(jìn)而完成知識的轉(zhuǎn)化，變書本的知識、老師的知識成為自己的知識。3、學(xué)法指導(dǎo)上：采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗自主探究的講解討論相結(jié)合，交流練習(xí)互穿插的活動課形式，學(xué)生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的環(huán)境及輔以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。促進(jìn)學(xué)生說、想、做，注重“引、思、探、練”的結(jié)合，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，大膽分析問題和解決問題.進(jìn)行主動探究學(xué)習(xí)，形成師生互動的教學(xué)氛圍。4、教學(xué)實效上：讓學(xué)生在基礎(chǔ)上鞏固、深化、應(yīng)用雙曲線的定義并掌握待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程，又可加強(qiáng)對代數(shù)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，在此體驗方程、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類整合等數(shù)學(xué)思想，為下一節(jié)《雙曲線的幾何性質(zhì)》的學(xué)習(xí)即“由數(shù)到形”作了堅實鋪墊和準(zhǔn)備。二、不足之處：1、從課