奧賽例題及答案-遞推法、類比法和估算法

練習(xí)題七:遞推法、類比法和估算法(-)遞推法A1、如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角。二45。，斜面長(zhǎng)L=2.00米。在斜面下端有一與斜面垂直的擋板。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為零。下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)卜1=0.20,試求此質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始到發(fā)生第11次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程。解析：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始到發(fā)生n次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程，需一次一次的求：推出通式即可求解。設(shè)每次開(kāi)始下滑時(shí)，小球距檔板為s,則由功能關(guān)系：Hmgcos0(si+s2)=mg(si-s，sin。HmgcosO(s2+s?)=mg(sz-S3)sin0即有：包二包二....sme-ncose_2S]s: sin0+j.icos03由此可見(jiàn)每次碰撞后通過(guò)的路程是一等比數(shù)列，其公比為:???在發(fā)生第11次碰撞過(guò)程中的路程：s=2x_s=Si+2s2+2s34+2sn=2(Si+S2+S3+…+Su)-Si,-Si=10-12x(-)u=9.86ms=2x_1二 33A2、小球從高%=180m處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小1n(n=2),求小球從下落到停止經(jīng)過(guò)的總時(shí)間和通過(guò)的總路程。(p^lOm/s2)解析：小球從加高處落地時(shí)，速率vo=也gh°=60m/s第一次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率V】檸第二次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率V2哮第m次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率Vm二今每次跳起的高度依次為％w*每次跳起的高度依次為％w*%二11月2gn4通過(guò)的總路程通二h。+2hi+2hz+…+2h+…2h。*1 1 1 、二h°yQ4LL…十才+…)

nnn nn:+1n:+1n:-1=-ho=300m3經(jīng)過(guò)的總時(shí)間為Zt=t0+tl+t2+-+tm+-v 2v. 2v二，4—L+…+—5.4???

gg g

v二，[1+2--+…+2?（一）?！璢A3、使一原來(lái)不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為Q的導(dǎo)體大球接觸，分開(kāi)之后，小球獲得電量qo今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開(kāi)有后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來(lái)的值Qo求小球可能獲得的最大電量。解析：兩個(gè)孤立導(dǎo)體相互接觸，相當(dāng)于兩個(gè)對(duì)地電容并聯(lián),設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體球帶電Q】、Q。，由于兩個(gè)導(dǎo)體球?qū)Φ仉妷合嗟龋室鲊?，暄遙亦即Q：+Q故吟嚕，暄遙亦即Q：+Q, C+C,所以Q=k(Q1+Q?),k為常量，此式表明：帶電(或不帶電)的小球跟帶電大球接觸后：小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k等于第一次帶電量q與總電量Q的比值,即k=1。根據(jù)此規(guī)律就可以求出小球可能獲得的最大電量。設(shè)第1、2、…、n次接觸后小球所帶的電量分別為qi、q?、…，有：qi=kQ=qq?二k(Q+qi)=q+kqqa=k(Q+q2)=kQ+kq2=q+kq+k2qqn=k(Q+qn-i)=q+kq+k2q+…+knxq由于k<l,上式為無(wú)窮遞減等比數(shù)列，根據(jù)求和公式得:l-k Q-qQ即小球與大球多次接觸后，獲得的最大電量為萼qA4、A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v,A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對(duì)方，它們同時(shí)起動(dòng)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可捕捉到獵物？答案：練習(xí)題五：對(duì)稱法第“B5”題A5、一個(gè)半徑為1米的金屬球，充電后的電勢(shì)為U,把10個(gè)半徑為1/9米的均不帶電的小金屬球順次分別與這個(gè)大金屬球相碰后拿走，然后把這10個(gè)充了電了小金屬球彼此分隔擺在半徑為10米的圓周上，并拿走大金屬球求圓心處的電勢(shì),(設(shè)整個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)的總電量無(wú)泄漏)答案：0.065U

A6、用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋:已知每一積木塊長(zhǎng)度為L(zhǎng),橫截面是邊長(zhǎng)為h(h=t)的正方形，要求此橋具有最大的跨度(即4橋孔底寬)，計(jì)算跨度與橋孔高度的比值。解析：為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側(cè)應(yīng)有相同的積木塊，從上往下計(jì)算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時(shí)，每塊積木塊都有最大伸出量,則單孔橋就有最大跨度,又由于每塊積木塊都有厚度,所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。將從上到下的積木塊依次計(jì)為1、2、n,顯然第1塊相對(duì)第2塊的最大伸出量為：第2塊相對(duì)第3塊的最大伸出量為Ax?(如圖6一所示)，則：LG-Axz=(y-AX2)-GZBALLAX2=4=272同理可得第3塊的最大伸出量：△X?二 2x3最后歸納得出：取…二2xn所以總跨度：k=2ZAxn=11.32h2跨度與橋孔高的比值為：春二號(hào)1=L258H9hA7、在如圖6—11所示的電路中，S是一單刀雙擲開(kāi)關(guān)，A和左為兩個(gè)平行板電容器，S擲向a時(shí)，A】獲電荷電量為Q,當(dāng)S再擲向b時(shí)，4獲電荷電量為q。問(wèn)經(jīng)過(guò)很多次S擲向a,再擲向b后，生將獲得多少電量？解析：S擲向a時(shí)，電源給A1充電，S再擲向b,A1給左充電，在經(jīng)過(guò)很多次重復(fù)的過(guò)程中,生的帶電量越來(lái)越多，兩板間電壓越來(lái)越大。當(dāng)主的電壓等于電源電壓時(shí)，左的帶電量將不再增加。由此可知4最終將獲得電量中二以E。 ab因?yàn)镼二QE,所以：C1二號(hào) Is當(dāng)S由a第一次擲向b時(shí)，有：?二， E［可一人所以：CxQq

所以：CxQq

(Q-q)E圖6—11解得治最終獲得的電量：牛二懸A8、如圖6—8所示，質(zhì)量m=2kg的平板小車，后端放有質(zhì)量M=3kg的鐵塊，它和車之間動(dòng)摩擦因數(shù)N=0.50o開(kāi)始時(shí)，車和鐵塊共同以v0=3m/s的速度向右在光滑水平面上前進(jìn)，并使車與墻發(fā)生正碰,設(shè)碰撞時(shí)間極短，碰撞無(wú)機(jī)械能損失，且車身足夠長(zhǎng)，使得鐵塊總不能和

墻相碰，求小車走過(guò)的總路程。解析；小車與墻撞后，應(yīng)以原速率彈回。鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來(lái)方向運(yùn)動(dòng)，由于鐵塊和車的相互摩擦力作用，過(guò)一段時(shí)間后，它們就會(huì)相對(duì)靜止，一起以相同的速度再向右運(yùn)動(dòng)，然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復(fù)第一次碰后的情況。以后車與墻就這樣一次次碰撞下去。車每與墻碰一次，鐵塊就相對(duì)于車向前滑動(dòng)一段距離，系統(tǒng)就有一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和。6—8設(shè)每次與墻碰后的速度分別為V】、V2、V3、…、Vn、…車每次與墻碰后向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離分別為Si、S2、S3、…、Sn、…。以鐵塊運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，在車與墻第(n-1)次碰后到發(fā)生第n次碰撞之前，對(duì)車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有：6—8TOC\o"1-5"\h\z— v(M一m)Vn-l=(M+m)Vn,所以：Vn=- Vn-1 =M+m 5由這一關(guān)系可得：S=上，V3=4,…5 :T一般地，有：「二白由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出車與墻發(fā)生第n次碰撞后向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為：_V；_V；1Sn- - '",2a2a5"-類似地，由這一關(guān)系可遞推到：V； V； 1 V- 1 V； 1S1=—, S2=—  —, S3=—?—,…，Sn=— ■2a 2a 5, 2a 54 2a 5皿所以車運(yùn)動(dòng)的總路程：S芻=2(S1+ S2+S3+ -+ Sn+ )1V；1V；25~T=T'245:因?yàn)閂i二Vo=3m/s,a=二?m/s2m2所以：s總=1.25mA9、一列進(jìn)站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m,若一次直接起動(dòng)，車頭的牽引力能帶動(dòng)30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動(dòng)，該車頭能起動(dòng)多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析：若一次直接起動(dòng)，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動(dòng)能都增加，若利用倒退起動(dòng)，則車頭的牽弓I力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動(dòng)的動(dòng)能則不同。原來(lái)掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F,則有：車頭起動(dòng)時(shí)，有：(F-|.img)As=1rTnv；拉第一節(jié)車廂時(shí)：(m+m)v；=mvi1 1F故有：v：=公v;=t(--pg)as4 2m(F-2|.img)As=-1><2mv；-jx2mv；:拉第二節(jié)車廂時(shí)：(m+2m)v；=2mvz故同樣可得：式/爐工2（二-2闈）饃■9.3m3推理可得：V：二」，（￡-苧的）ASn+1m3由v：＞0可得：F＞竽Rmg另由題意知F=3Wmg,得：n＜46因此該車頭倒退起動(dòng)時(shí)，能起動(dòng)45節(jié)相同質(zhì)量的車廂。(-)類比法Bl.圖12—1中AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面(圖中紙面)上，夾角a=1°(為了能看清楚，圖中畫的是夸大了的)。現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)在BOA面內(nèi)從A處以速度v=5m/s射出，其方向與A0間的夾角0二60。，0A=10m。設(shè)質(zhì)點(diǎn)與桌面間的摩擦可忽略不計(jì)，質(zhì)點(diǎn)與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時(shí)間極短，可忽略不計(jì)，試求：(1)經(jīng)過(guò)幾次碰撞質(zhì)點(diǎn)又回到A處與OA相碰？(計(jì)算次數(shù)時(shí)包括在A處的碰撞)(2)共用多少時(shí)間？(3)在這過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)離。點(diǎn)的最短距離是多少？圖12-1圖12-1-甲(1)第一次，第二次碰撞如圖12—1—甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個(gè)內(nèi)角和可知NMBA=60。+1°=61°,故第一次碰撞的入射角為90°-61°=29°o第二次碰撞，NBCA=61。+1。=62°,故第二次碰撞的入射角為90°-62。=28%因此，每碰一次，入射角要減少1°,即入射角為29。、28。、…、0°,當(dāng)入射角為0。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)碰后沿原路返回。包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共60次碰撞。(2)如圖12—1—乙所示，從。依次作出與0B邊成1。、2。、3。、……的射線，從對(duì)稱規(guī)律可推知，在AB的延長(zhǎng)線上，BC\C'D\DE、……分別和BC、CD、DE、……相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和。碰撞入射角為0°時(shí)，即交角為90。時(shí)開(kāi)始返回。故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程為一銳角為60。的RQAMO的較小直角邊AM的二倍。即：s二2AM=2AO-cos60°=10m所用總時(shí)間:t=-=-=2sv5(3)碰撞過(guò)程中離O的最近距離為另一直角邊長(zhǎng)：OM=AOsin6(r=57Tm(此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。)AB2、有一個(gè)很大的湖，岸邊(可視湖岸為直線)停放著一艘小船，纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15。角，速度為2.5km/ho同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h,在水中游的速度為2.0km/h,問(wèn)此人能否追及小船？解析：費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時(shí)間為極小值的路程傳播。本題求最短時(shí)間問(wèn)題，可類比類在平面分界面上的折

射情況，這樣就把一個(gè)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題通過(guò)類比可轉(zhuǎn)化為光的折射問(wèn)題求解Q如圖12—2所示，船沿0P方向被刮跑，設(shè)人從0點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在A點(diǎn)入水游到0P的B點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。根據(jù)折射定律：四”二照解得：Y=30°siny2.0a=180°-15o-（90o+y）=45o在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點(diǎn)，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過(guò)了B點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速Vm。根據(jù)正弦定理：sin120°sin450sin15°X：t=tl+t2由以上兩式可解得：心二=272km/hVV,sin120°由以上兩式可解得：心二=272km/hvsin150+v,sin45°4 .小于2點(diǎn)km/h小于2點(diǎn)km/h,所以人B3、一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度1/的大小與距老鼠洞中心的距離x成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距洞中心距離必=1rn的4點(diǎn)時(shí)，速度大小為%=20crn/s。問(wèn)當(dāng)老鼠到達(dá)距洞中心不二2m的8點(diǎn)時(shí)，其速度大小1/產(chǎn)？老鼠從2點(diǎn)到達(dá)8點(diǎn)所用的時(shí)間t=?答案：練習(xí)題四：圖解法第“8.題（三）估算法（建模法的基礎(chǔ)）C1.已知地球半徑約為64xl（）6m,又知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則可估算出月球到地心的距離約為m（結(jié)果只何留一位有效數(shù)字）。解析：因?yàn)樵虑蚶@地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以可根據(jù)月球所受的萬(wàn)有引力提供月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力及月球公轉(zhuǎn)周期求解此問(wèn)題，也可根據(jù)地球上的光經(jīng)月球反射2秒后返回地球的知識(shí)估算。根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律及萬(wàn)有引力定律得：GMm.2n-丁二m（?。窯Mm',一二gR-J由①、②兩式代入數(shù)據(jù)可得r=4「10汨）（其中T是月球繞地球旋轉(zhuǎn)周期，T=30天），2■估算在室溫下，真空度達(dá)1.33xlO_1Pa時(shí)，容器內(nèi)空氣分子的平均距離。(取一位有效數(shù)字即可)解析：要想求容器內(nèi)空氣分子的平均距離，則可以根據(jù)克拉珀龍方程求出每個(gè)空氣分子所占的體積，由此即可求解。取1摩爾空氣作為研究對(duì)象，視每個(gè)空氣分子所占的空間是以分子間的平均距離a為邊長(zhǎng)的立方體，每個(gè)分子處在立方體的中心。則每個(gè)空氣分子占據(jù)的空間的體積為：V。=a?根據(jù)克拉珀龍方程，1摩爾空氣占據(jù)的總體積：V二更二或二Noa3PVo所以空氣分子間平均距離：a二性,近似地取室溫T=300K,代入數(shù)據(jù)可算得:分子間