六年級思維沖浪題

浙師大附屬義烏小學(xué)拓展性課程六年級數(shù)學(xué)思維沖浪周次內(nèi)容第2周速算與巧算第3周速算與巧算第4周速算與巧算第5周速算與巧算第6周列舉法解題第7周列舉法解題第8周倒推法解題第9周倒推法解題第10周對應(yīng)法解題第11周對應(yīng)法解題第12周妙用單位一第13周妙用單位一第14周巧設(shè)單位一第15周巧設(shè)單位一第16周代數(shù)法解題3.速算與巧算例2：計算：（1+）（1+）—（1+）（）分析與解這道題雖然算式很長，但仔細分析其中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)組成這個算式的數(shù)并不多，我們可以把重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)用字母表示，這樣可以簡化題意，方便簡算。設(shè)=A1+=B，原來的算式可以轉(zhuǎn)化成：（1+A）B-BA=B+AB-AB=B所以本題的結(jié)果為：1+=方法點評：用字母是可以使復(fù)雜的算式變得簡潔，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。隨堂練習(xí)二：計算：（1+）×（+）-（1++）×（）拓展訓(xùn)練2、計算（）-（）4.速算與巧算例3：計算分析與解這組分數(shù)的特點是：分母為1的分數(shù)有1個，分母為2的分數(shù)有3個，分母為3的分數(shù)有5個……且同分母的分數(shù)的和依次為1，2，3，4，5…這是一個扥差數(shù)列，可以直接利用等差數(shù)列求和公式來計算，即（首項+末項）×項數(shù)÷2=數(shù)列的和。原式=1+2+3+4+…+49+50=（1+50）×50÷2=1275方法點評：在數(shù)列求和中，發(fā)現(xiàn)與研究數(shù)列規(guī)律是解決有關(guān)問題的前提，靈活選用合適的方法是基本策略，轉(zhuǎn)化與分組是主要方法和技巧。隨堂練習(xí)三：計算：+拓展訓(xùn)練3、計算4、計算5.速算與巧算例4：計算：（1）（）÷（）（2）分析與解（1）被除數(shù)與除數(shù)中兩個分數(shù)的分母分別相同，經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)：==145×(),=5×().所以，原式=（）÷（）=145×()÷5×()=145÷5=29（2）我們注意到，這個分數(shù)的分子與分母盡管數(shù)據(jù)很長，但每個數(shù)據(jù)分別是由2002和2003組成。因而我們可以先采用分解質(zhì)因數(shù)，找出其中的規(guī)律，再進行簡便計算。因為2002=2002×120022002=2002×10001200220022002=2002×1000110001所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001）同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001）原式==隨堂練習(xí)四：計算：（1）（）÷（）拓展訓(xùn)練5、計算（1+）×（1-）×（1+）×（1-）×…×（1+）×（1-）6.列舉法解題在數(shù)學(xué)中，已知雞兔的總頭數(shù)及總足數(shù)，求雞兔各幾只的一類問題叫做雞兔同籠問題。解決這類問題可以用假設(shè)法，也可以用列舉法。例1：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有10個頭，從下面數(shù)，有24只腳。雞和兔各有多少只？分析假設(shè)全部是雞，則腳的只數(shù)為：10×2=20（只）這比題目的24只腳少（24-20）只，為什么會少4只腳呢？因為籠子里有部分是兔，每只兔少算2只腳，所以兔的只數(shù)為：4÷2=2（只）；則雞的只數(shù)為：10-2=8（只）。解：兔的只數(shù)：（24-10×2）÷2=2（只）雞的只數(shù)：10-2=8（只）答：雞有8只，兔有2只。方法點評用假設(shè)法解雞兔同籠問題時，記住下面的關(guān)系式：1.（總足數(shù)-總頭數(shù)×雞足數(shù)）÷2（兔與雞的足數(shù)差）=兔數(shù)總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)2.（總頭數(shù)×兔足數(shù)-總足數(shù)）÷2（兔雞足數(shù)差）=雞數(shù)總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)隨堂練習(xí)一：有龜和鶴共24只，腿共68只。龜、鶴各有幾只？拓展訓(xùn)練1、實驗小學(xué)的教師和學(xué)生共100人去植樹，教師平均每人栽3棵樹，學(xué)生平均每人栽1棵樹，一共栽150棵樹。教師、學(xué)生各有多少人？2、學(xué)校買了4個足球和3個排球，共用去169元。每個足球比每個排球貴2元。足球和排球的單價各是多少元？3、王奶奶家有雞兔若干，已知雞比兔多13只，雞的腳比兔的腳多16只。雞、兔各有多少只？7.列舉法解題例2小明的存錢罐里有2角和5角的人民幣共12張，合計3元9角。2角、5角的人民幣各有幾張？分析與解可以用方程解答：設(shè)5角的人民幣有x張，那么2角的人民幣就是（12-x）張。根基合計的錢數(shù)為3元9角，可以列出方程。解：設(shè)5角的人民幣有x張，那么2角的人民幣就是（12-x）張?？梢粤谐龇匠?。5x+2（12-x）=3924+3x=393x=15X=512-x=12-5=7(張)答：2角的人民幣有7張，5角的人民幣有5張。方法點評用方程解這類問題，通常設(shè)較大量為x，有利于解答。隨堂練習(xí)二：自行車和三輪車共12輛，總共有28個輪子。自行車和三輪車共有多少輛？拓展訓(xùn)練4、學(xué)校小賣部買鋼筆和圓珠筆共用去90元，鋼筆每支5元，圓珠筆每支2元。如果購買的鋼筆和圓珠筆的支數(shù)互換，那么就用120元。小賣部買回的鋼筆和圓珠筆各有多少支？5、有蜘蛛、蜻蜓和蟬三種動物共18只，它們共有腿118條，翅膀20對，三種動物各有的多少只？（其中，蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀）。6、比賽規(guī)則，答對一題加10分，答錯一題扣6分。（1）2號選手共搶答8題，最后得64分。她答對了幾題？（2）1號選手共搶答10題，最后得分36分。她答錯了幾題？（3）3號選手共搶答16題，最后得分16分。他答對了幾題？8.倒推法解題專題簡析：有些應(yīng)用題如果按照一般方法，順著題目的要求一步一步地列出算式求解，過程比較復(fù)雜，解題時，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。例1：李大爺提籃去賣蛋，第一次賣雞蛋全部的一半又半個，第二次賣了余下的一半又半個，第三次賣了第二次余下的一半又半個，第四次賣了第三次余下的一半又半個。這時，雞蛋都賣完了。李大爺籃中原有雞蛋多少個？分析與解最后籃內(nèi)雞蛋的個數(shù)為0個第三次賣蛋后余下的雞蛋個數(shù)（0+）×2=1（個）第二次賣蛋后余下的雞蛋個數(shù)（1+）×2=3（個）第一次賣蛋后余下的雞蛋個數(shù)（3+）×2=7（個）原有雞蛋的個數(shù)（7+）×2=15解：{【（×2+）×2+】×2+}×2=15（個）答：李大爺原有雞蛋15個。隨堂練習(xí)一：一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米。這捆電線原有多少米？拓展訓(xùn)練1、修一條路，第一天修了全長的還多2千米，第二天修了余下的少1千米，第三天修了余下的還多1千米，這樣還剩下20千米沒有修完，求公路的全長？2、貨場原有煤若干噸。第一次運出存煤的一半，第二次運進450噸，第三次又運進現(xiàn)有煤的一半又50噸，結(jié)果還剩600噸。貨場原存煤多少噸？3、把一根繩子對剪開，再取其中一段對半剪開，這樣剪了四次，剩下的正好是1米。這根繩子原長多少米？9.倒推法解題例2李白買酒：“無事街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒?！眴枆乩镌卸嗌倬?？分析與解根據(jù)倒推法想：喝光壺中酒，第三次見花前應(yīng)有酒多少；第三次遇店前應(yīng)有酒多少，依次類推則有：解：【（1÷2+1）÷2+1】÷2=【÷2+1】÷2=（斗）答：壺中原有酒斗。隨堂練習(xí)二：3只猴子吃欄里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只剩下的，最后籃里還有6只桃子。求籃里原有桃子多少只？拓展訓(xùn)練4、甲、乙各有若干元，甲拿出給乙后，乙拿出給甲，這時它們各有90元。她們原來各有多少元？5、把180個蘋果按每人一個分給甲、乙、丙、丁四個幼兒班的小朋友。如果甲班人數(shù)加2，乙班人數(shù)減2，丙班人數(shù)乘2，丁班人數(shù)除以2，四個班人數(shù)則相等。這四個班各應(yīng)分多少個？6、甲乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉運出到乙倉后，又從乙倉運出到甲倉庫，這時甲、乙兩倉的糧食相等。原來甲倉的糧食是乙倉的幾分之幾？10.對應(yīng)法解題專題簡析：對應(yīng)的思想方法是解題時經(jīng)常用到的一種思考方法，所謂“對應(yīng)”就是在兩類事物之間建立某種聯(lián)系，以實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化，而在六年級我們則主要研究分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題中的“量”和“率”的對應(yīng)關(guān)系。例1：貨車速度是客車速度的。兩車同時分別由甲、乙兩站相對行駛，在離中點6千米處相遇，求兩站相距多少千米？分析與解已知貨車速度是客車的，可知貨車行的路程也是客車所行路程的。兩車相遇，客車比火車多行12千米即（6×2）千米，也就是相當(dāng)于客車行駛路程的（1－）。這樣找到了對應(yīng)關(guān)系，就可以先求出客車行駛的路程，再求出貨車行駛的路程，最后求出兩站相距多少千米？解：6×2÷（1－）×（1+）=12××=84（千米）答：兩站相距84千米。隨堂練習(xí)一：小紅看一本科技書，看了三天，剩下66頁。如果用這樣的速度看4天，就剩下全書的。這本書有多少頁？拓展訓(xùn)練1、打退敵人一次進攻后，班長清點手榴彈，發(fā)現(xiàn)如果每人分5顆還剩18顆，如果其中兩人各分4顆，其余的人各分6顆，就恰好分完。這個班有多少個戰(zhàn)士？共有多少顆手榴彈？2、學(xué)校分配學(xué)生宿舍，若每個房間住6人，則有34人沒有床位；若每個房間住8人則空4個房間。求學(xué)生宿舍有多少間？3、為了發(fā)獎品，甲班用8.5元買2支鋼筆、7支圓珠筆，乙班用8.9元買了同樣的3支鋼筆、5支圓珠筆。求一支圓珠筆和一支鋼筆的價錢？11.對應(yīng)法解題例2：小青看一本書，第一天看的頁數(shù)比總數(shù)的多16頁，第二天看的頁數(shù)比總數(shù)的少2頁，還余下88頁。這本書共有多少頁？分析與解、都是對“總頁數(shù)”來講的，所求的數(shù)量“總頁數(shù)”被看做“1”，而（1--）的對應(yīng)量是（88-2+16）頁。解：（88-2+16）÷（1--）=102÷=144（頁）。答：這本書共有144頁。隨堂練習(xí)二：有兩桶油共44千克，若從第一桶里倒出，第二桶里倒進2.8千克，則兩桶內(nèi)的油相等。原來每只桶各裝油多少千克？拓展訓(xùn)練4、制帽廠第一車間有150人，第二車間的人數(shù)是第一車間的，兩車間的人數(shù)正好是全廠人數(shù)的，求全廠有多少人？5、一本書，已經(jīng)看了130頁，剩下的準(zhǔn)備8天看完。如果每天看的頁數(shù)相等，3天看的頁數(shù)恰好是全書的。這本書共有多少頁？6、校圖書館的書，科技書占，如果用文藝書換走科技類的20本，那么科技類的占全部的。原來科技書多少本？7、甲乙二人從相距120千米的兩地相向而行,6小時相遇.如果每小時的速度各增加2千米,那么相遇地點距前一次相遇地點2千米,已知乙比甲快,求甲.乙二人原來每小時各走幾千米?12.妙用單位“1”例1一組割草的人要把兩片草地的草割掉，大的一片比小的一片大一倍，全體組員先用半天的時間割大的一片草地，到下午他們對半分開，一半仍留在大草地上，到傍晚時正好把大草地割完，另一半就到小草地上去割，到傍晚時還剩下一小塊，這一小塊由一人去割，正好一天割完，問這個組共有多少人？分析與解：這道題實際上暗含著每個的工作效率這個條件，要求共有多少人，關(guān)鍵就是要求出一個人的工作效率，也就是一個人一天的工作量，還要求出全組人一天的工作量，而這些仿照工程問題是不難求出的。解：設(shè)大片草地的面積為單位“1”，則小片草地的面積為，根據(jù)條件可以知道，一半組員半天割了，一天割了，全組組員一天割了，由此還可以知道，所剩下的一小塊面積是－=，也就是一人一天的工作量為，全組的人數(shù)就是÷=8（人）。隨堂練習(xí)一：飼養(yǎng)員把桃子的分給小猴，把比余下的少3個的桃子分給猩猩，再把余下的分給狒狒，這樣狒狒分的桃子比猴子多21個，問共有多少個桃子？拓展訓(xùn)練1、有甲、乙、丙三堆煤，共重4500噸，當(dāng)從甲堆取出20噸放入乙堆，從丙堆取出30噸放入乙堆后，甲堆煤的重量則比乙隊少，丙堆煤的重量比甲隊多。問甲、乙、丙三堆煤原來共有多少噸？2、甲乙兩班共有84人，甲班人數(shù)的與乙班人數(shù)的共58人，問兩班各有多少人？3、果品公司運進一批橘子，第一天賣出全部的，第二天賣出剩下的，第三天比第一天少賣，這時還剩50千克，果品公司共運進了多少千克橘子？13.妙用單位“1”例2姐妹兩個人養(yǎng)兔100只，姐姐養(yǎng)的比妹妹養(yǎng)的多16只，求姐姐妹妹各養(yǎng)兔多少只？分析與解：為了簡化數(shù)量關(guān)系，我們假設(shè)姐姐養(yǎng)的等于妹妹養(yǎng)的，那么姐姐比實際養(yǎng)的只數(shù)少了多少只呢？這兩個人樣的總只數(shù)該是多少呢？按照假設(shè)的數(shù)量分析：如果姐姐的與妹妹的相等，則兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100－16×3=52(只)。根據(jù)上面的假設(shè)，題目就轉(zhuǎn)化為“姐妹兩人共養(yǎng)兔52只，姐姐養(yǎng)的等于妹妹養(yǎng)的，兩人各養(yǎng)兔多少只？”這個問題就解決了。解：設(shè)妹妹養(yǎng)兔的只數(shù)為“1”。（100－16×3）÷（1+÷）=52÷1=40（只）100－40=60（只）答：妹妹養(yǎng)兔40只，姐姐養(yǎng)兔60只。想一想：如果以姐姐養(yǎng)兔的只數(shù)為“1”，如何解答？隨堂練習(xí)二：把一根竹竿直插入水底，枝竿濕了40厘米，然后將竹竿倒過來再插入水底，這時竹竿濕的部分比它的少13厘米，求竹竿全長？4、一瓶酒精，第一次倒出又20克，第二次倒出的是第一次的，瓶中還剩下35克酒精，原來瓶中有多少克酒精？5、一塊西紅柿的地，今年獲得豐收，第一天收了全部的時，裝了3筐，還余12千克，第二天把剩下的西紅柿全部收完，正好裝了6筐，這塊地一共收了西紅柿多少千克？6、某人在一次選舉中，需的選票才能當(dāng)選，計算的選票后，他得到的選票已達到當(dāng)選票數(shù)的，求他還需得到剩下選票的幾分之幾才能當(dāng)選？14.巧設(shè)單位1例1：一池水，第一天放出60噸，第二天放出65噸，剩下的水比原來這池水的少5噸。原來水池有多少噸？分析與解這道題把原來這池水的噸數(shù)看作單位“1”，但具體數(shù)量與分率之間的關(guān)系卻不容易看出，關(guān)鍵是剩下的水不是正好占單位“1”的。我們可以假設(shè)第二天少放出5噸水，那么剩下的水就正好占單位“1”的，兩天共用去（60+65-5）噸的水，的對應(yīng)分率就是（1－）。（60+65-5）÷（1－）=120÷=160（噸）答：原來水池有水160噸。隨堂練習(xí)一：一批稻谷放在兩個糧庫中，甲庫所存稻谷的數(shù)量是乙?guī)斓模髞硐蚣讕爝\進45噸，向乙?guī)爝\進36噸，這時兩庫稻谷重量相等。甲庫原有稻谷多少噸？拓展訓(xùn)練1、小明和小虎都是小集郵迷，他們兩人共有郵票285張，現(xiàn)在小明拿出自已郵票的，現(xiàn)在小虎拿出15張，送到少年宮參加郵票展，兩人剩下的郵票張數(shù)正好相等。兩人原來有多少張郵票？2、某廠男職工比全廠職工總數(shù)的還多60人，女職工的人數(shù)是男職工的。這個廠公有制共多少人？3、東方小學(xué)六年級有23人、五年級有18人參加數(shù)學(xué)競賽，結(jié)果五、六年級的獲獎人數(shù)相等，五年級未獲獎人數(shù)比六年級少。兩個年級共有多少人獲獎？15.巧設(shè)單位1例2：五年級的圖書窗內(nèi)有文藝書、科技書、故事書共96本。已知科技書是故事書的，是文藝術(shù)的，三種圖書各有多少本？分析與解這道題出現(xiàn)了兩個不同的單位“1”，因而，我們需要將他轉(zhuǎn)化成同一個單位“1”。把故事書看作單位“1”，科技書的對應(yīng)分率就是，文藝書的對應(yīng)分率是÷=故事書的本數(shù)：96÷（1++÷）=96÷=36（本）科技書的本數(shù)：36×=12（本）文藝書的本數(shù)：12÷=48（本）答：故事書有36本，科技書有12本，文藝書有48本方法點評：在分數(shù)應(yīng)用題中，如果遇到單位“1”不同時，就要注意將各分率進行轉(zhuǎn)化，將這些分率轉(zhuǎn)化成同一個單位“1”的幾分之幾或幾倍，然后再去尋找分率與具體數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。隨堂練習(xí)二：某校四、五、六年級共有學(xué)生580人，四年級的學(xué)生人數(shù)是五年級的，五年級的人數(shù)是六年級的。三個年級各有多少人？拓展訓(xùn)練3、東方小學(xué)六年級有23人、五年級有18人參加數(shù)學(xué)競賽，結(jié)果五、六年級的獲獎人數(shù)相等，五年級未獲獎人數(shù)比六年級少。兩個年級共有多少人獲獎？4、甲乙丙三人合作一批機器零件，甲做零件的歌數(shù)是乙丙的，乙做零件的個數(shù)是甲丙的，丙做了450個，這批零件有多少個？5、國慶節(jié)前，兩位工人給某個城市裝彩燈，他們工作了5天后，還剩下需裝彩燈數(shù)量的，這時若再增加200只彩燈的裝飾任務(wù)，才正好夠兩人一天的工作量。原來準(zhǔn)備裝彩燈多少只?16.代數(shù)法解題例1：某工廠有職工980人，其中女職工的人數(shù)比男職工的多28人。這個工廠的男、女職工各多少人？分析與解這題中有兩個等量關(guān)系，男職工人數(shù)+女職工人數(shù)=980人，女職工人數(shù)=男職工人數(shù)×+28人。在解答分數(shù)應(yīng)用題時,通常設(shè)單位“1”的量為x，這里可以設(shè)男職工人數(shù)為x，那么女職工人數(shù)就可以根據(jù)第二個數(shù)量關(guān)系表示為（x+28）,再分別把男職工人數(shù)和女職工人數(shù)帶入第一個等量關(guān)系，列出方程，求出結(jié)果。解：設(shè)這個工廠有男職工x人，則女職工有（x+28）人。