向量加法運(yùn)算及其幾何意義

復(fù)習(xí)回顧：1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么呢？向量：既有方向又有大小的量平行向量：方向相同或相反的向量相等向量：方向相同并且長(zhǎng)度相等的向量1復(fù)習(xí)回顧：2.向量的大小和方向是如何用有向線(xiàn)段表示的呢？什么叫零向量和單位向量？向量的大小：有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度。向量的方向：有向線(xiàn)段的方向。零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量。單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量。22.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義由于以前大陸和臺(tái)灣沒(méi)有直航，因此要從臺(tái)灣去上海探親，乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾?，這兩次位移之和是什么？如何用向量表示?上海臺(tái)北香港上海臺(tái)北香港引例4求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.baBba+b根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則．a(chǎn)AO已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，AB=b，則向量OB叫做a和b的和，記作a+b．即a+b=OA+AB=OB．首尾相連首尾連GEOCF2F1GEOF圖1圖2

探究：如圖1表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個(gè)力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)了相同的長(zhǎng)度．GEOCFF1F2力F對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果，與力F1和F2共同作用產(chǎn)生的效果相同．物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力．

探究：如圖1表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個(gè)力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)了相同的長(zhǎng)度．GEOCFF1F2

探究：如圖1表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個(gè)力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)了相同的長(zhǎng)度．F2由圖發(fā)現(xiàn)，力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)上，并且大小等于平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a和b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)OC就是a與b的和，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．ObAabaab+CB9位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型．對(duì)于零向量與任一向量

．我們規(guī)定a10BA作法1：abObaab+例1.如圖，已知向量，求做向量。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O．作OA=a，AB=b，則OB=a+b．BCA作法2：abOba在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O．作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊做平行四邊形OACB，連接OC，則ab+baOC=OA+OB=a+b．例1.如圖，已知向量，求做向量。如圖，已知a，b用向量加法的三角形法則作出a＋b．（1）bab

a+b（2）

OABab

a+b如圖,已知用向量加法的平行四邊形法則作出

（1）（2）15

思考：如下圖，當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)共線(xiàn)向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB16探究：考察下列各圖，|a＋b|與|a|＋|b|的大小關(guān)系如何？|a＋b|與||a|－|b||的大小關(guān)系如何？AaBbDCa+b

何時(shí)取得等號(hào)?≤≤17

思考：如下圖，當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)共線(xiàn)向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB18探究：當(dāng)a、b處于什么位置時(shí)，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|．(2)|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．(1)當(dāng)a、b共線(xiàn)，且同向時(shí)，(2)當(dāng)a、b共線(xiàn)，且反向時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|．

|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．19【答案】D(2)若平面內(nèi)有n個(gè)向量首尾相接,構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,那么A1A2

+A2A3

+

……+An-1An

+AnA1

=_______0（1）A1A2+A2A3+……+An-1An=_______A1An拓展：探究：數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律，即對(duì)任意的a，b∈R，有

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a，b的加法是否也滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律？請(qǐng)畫(huà)圖進(jìn)行探索．22BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b

數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律,即對(duì)任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)

任意向量a,b的加法是否也滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律?向量加法的運(yùn)算律交換律結(jié)合律以上兩個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意多個(gè)向量根據(jù)圖示填空:(1)a+d=____________(2)c+b=____________ACDBOabcd練一練根據(jù)圖示填空ABDEC課本84頁(yè)427例3.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來(lái)表示）。ADBC例3.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對(duì)