對(duì)稱思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 論文

對(duì)稱思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用1引言隨著科技的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步，世界上各國(guó)之間的競(jìng)爭(zhēng)演變?yōu)槿瞬诺母?jìng)爭(zhēng)，解題技巧，還能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生養(yǎng)成勤思考、多動(dòng)腦的習(xí)慣，進(jìn)而更容易提高學(xué)生的智力水平。2對(duì)稱及對(duì)稱思想的概述一種對(duì)稱意味著結(jié)合成一個(gè)整體的幾個(gè)部分之間的和諧和優(yōu)美圖1到圖4稱美。1宿州學(xué)院畢業(yè)論文宿州學(xué)院畢業(yè)論文對(duì)稱思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用22我們把在數(shù)學(xué)和物理等各個(gè)學(xué)科中運(yùn)用對(duì)稱性解決問(wèn)題的方法稱為對(duì)稱思想方數(shù)學(xué)家泰勒斯在他的著作《對(duì)稱》數(shù)學(xué)家和教育學(xué)家像張奠宙教授授在研究“中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的美學(xué)思想方法”在中學(xué)數(shù)學(xué)中，說(shuō)到對(duì)稱，最容易想到的就是軸對(duì)稱、中心對(duì)、對(duì)稱式等，中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。 圖1圖2 圖3圖43對(duì)稱思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用PAGEPAGE3列、數(shù)式、解析幾何這幾個(gè)方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明。3.1對(duì)稱思想在函數(shù)中的應(yīng)用簡(jiǎn)單化，讓繁瑣的問(wèn)題變得清晰明了，從而讓函數(shù)問(wèn)題更容易解決。3.1.1函數(shù)y（1）函數(shù)ygxmn對(duì)稱2n（2）函數(shù)yg 2n2n3.1.2兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性（1）函數(shù)yyy軸對(duì)稱。（2）函數(shù)yyxmn對(duì)稱，2a注意：函數(shù)yfyfxm對(duì)稱（3）函數(shù)yfxm對(duì)稱的函數(shù)表達(dá)式為yf（4）函數(shù)yfyf3.1.3奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)（1）定義函數(shù)yfxff則稱函數(shù)ffff（2）性質(zhì)①滿足定義式子ffff②在原點(diǎn)f0。③奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)④任何一個(gè)函數(shù)f⑥函數(shù)圖象關(guān)于y函數(shù)是奇函數(shù)⑦如果函數(shù)fff如果fff3.1.4利用對(duì)稱思想解函數(shù)題目例1已知sin6sinxcosx，x,析式。分析：因?yàn)楹瘮?shù)sinxcosx為偶函數(shù)所以cosxx,x,x的定義域與x的定義域相同，題目中給出了sinx替換x，可以得到另外一個(gè)sin解出x替換x，由題目的條件知sin6sinxcosx(1) sinsinxcosx(2)(1)×5-(2)得

36sinxcosx所以23sinxcosx3sinx1sinx22 2因?yàn)閤,所以sinx，則有2f3x1x，x22在這個(gè)題目中，容易想到利用x與xsin對(duì)稱性，從而得到sinx的關(guān)系式，進(jìn)而得到fx的解析式。夠用對(duì)稱思想解決，還在于函數(shù)定義域x,)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，如果題目中自變量x例2已知yfyf分析：yfy軸對(duì)稱，可以判斷yfyfy軸對(duì)稱，所以由對(duì)稱性知yf證明：設(shè),x2x2，則,x2x2yfffx2ff1f1,fx2fx2，f1fx2，f和偶函數(shù)的對(duì)稱性畫出簡(jiǎn)圖，更加清晰，一目了然。對(duì)稱思想在函數(shù)中的應(yīng)用很普遍，在求函數(shù)的表達(dá)式、判斷函數(shù)的單調(diào)性、及對(duì)稱思想在數(shù)列中應(yīng)用的例子。3.2對(duì)稱思想在數(shù)列中的應(yīng)用差數(shù)列或等比數(shù)列中的項(xiàng)關(guān)于某一項(xiàng)的對(duì)稱性。年少的高斯準(zhǔn)確快速地算出1234

1005050naa列前n項(xiàng)和公sn

1 n2

，這個(gè)公式體現(xiàn)了折中、均衡的特征;實(shí)際上，對(duì)于任意一個(gè)等差數(shù)列an如果mnpq則amanapaq;這一結(jié)論運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式an1nd就可以得證;這是等差數(shù)列中兩項(xiàng)的情況在三項(xiàng)、四項(xiàng)、

n項(xiàng)情形下這種對(duì)稱性依然成立即若nkm1nk

mkn2

nk則m m ma a m m m1 2 3

a aa amn n nmn n n

a成立3.2.1數(shù)列的對(duì)稱性性質(zhì)1一般地，在數(shù)列中，如果某項(xiàng)an的前后兩項(xiàng)與an之間的距離相等，即它們之間的關(guān)系可以表示為：ana、ana，如果該數(shù)列是等差數(shù)列，則有anaananana也可以表示為2ananaana如果該數(shù)列是等比數(shù)列，則有

anaan

anana也可以表示為a2nanaanaa2性質(zhì)2果mnpq，則在等差數(shù)列中，有amanapaq在等比數(shù)列中，有amap性質(zhì)3如果m1

mkn2

nk，在等差數(shù)列中，則有m m ma a m m m1 2 3

a aa aamn n nnk mn n nn在等比數(shù)列中，則有

m m ma m m m1 2 3

mn n nnamn n nnk 1 2 3 k性質(zhì)4如果n2n4

nkkm，則在等差數(shù)列中，有nnaann1 2

aann3 4nn

a kanmknm在等比數(shù)列中，有

a1

an2

a3

an4

ank

kamk3.2.2數(shù)列對(duì)稱性在題目中的應(yīng)用例3在等差數(shù)列an中，a258，求cos3a7值解法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得則a5

，所以3

a2a5a8a3a7則有

2a5

3cos3解法二：由等差數(shù)列求和公式得

a712a2581d14d17d112d14d那么有4d

，所以3a3a7所以

1

2d1

6d

8d1

4d3

acos13 7 3 2例4已知數(shù)列an是等比數(shù)列且a4a72，5a68，110的值為多少?解法一：由等比數(shù)列的對(duì)稱性:mnpq

amap及題目中的條件an是等比數(shù)列，4756，得a4a75a68聯(lián)立兩個(gè)等式有a724，解得或4

,所以q31或q32

2a4 62

44

1當(dāng)q31時(shí)，q3a4q

1 2

2 2當(dāng)q3時(shí)，aa

a4aq6222271 10 q3 4 2綜上所述，。解法二：因?yàn)閍4a72，5a68，所以aq3aq6aq31q3a

1q321 1 1 4（1）aq4aq5a2q9aq32q3a2q381 1 1 1 43 8

（2）

8 2 2 2 4q

2

a41 2aa

2a480，a44

4

q31 3 2解得a4或a44，所以

或4

,從而得 或q22a4 62

44

1當(dāng)q31時(shí)，q3a4q

1 2

2 2當(dāng)q3時(shí)，aa

a4aq6222271 10 q3 4 2所以，。例3和例43和例4時(shí)都用了兩種不3中解法一運(yùn)用等差數(shù)列對(duì)稱性質(zhì)解題，解法二運(yùn)用等差數(shù)列求4中，解法一運(yùn)用等比數(shù)列對(duì)稱性質(zhì)解題，解法二運(yùn)用等比數(shù)解法二相對(duì)來(lái)說(shuō)就比較繁瑣了，所以運(yùn)用對(duì)稱思想解題可以讓問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，解題過(guò)程更簡(jiǎn)潔。3.3對(duì)稱思想在數(shù)式中的應(yīng)用例5已知二次函數(shù)fax22xc的值域?yàn)閍 c 最小值。解法一：對(duì)稱法

c21

a212 2 由二次函數(shù)fax2xc的值域?yàn)橹?4ac00，即 ，1由式子 a ca c a 由式子 a c和 的結(jié)構(gòu)知和對(duì)稱， 取得最小值時(shí)，必有c21

a21

c21

a21ac成立，則有ac1，當(dāng)ac1時(shí)，a c 1為所求的最小值。解法二：常數(shù)代換法

c21

a210由題目條件知44ac00，即1

，所以ac2

ac2。所以a c a c a c c21

a21

c2ac

a2accca2c2 c

a2c22ac2ac

2 1ac當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)取等號(hào)。 中a c a和c 中c21

a21 進(jìn)數(shù)代換法，比較常規(guī)的方法，但是解題過(guò)程比較繁瑣，需要對(duì)a c 進(jìn)c21

a212 2 2 2 2 2 0。例6設(shè)x,y,zR，求證：yxz 0。zx

xy

yz2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2證明：令A(yù)yxzyxz yzzxx證明：令A(yù) ，B zx

xy

yz

zx

xy

yz則有PAGEPAGE11y2x2

z2y2

x2z2

y2z2

z2x2

x2y2AB

zx

xy

yz

zx

xy

yzy2x2

y2z2

z2y2

z2x2

x2z2

x2y2 zx

zx

xy

xy

yz

yzz0y2x2

z2y2

x2z2

y2z2

z2x2

x2y2AB

zx

xy

yz

zx

xy

yzy2x2

x2y2

z2y2

y2z2

x2z2

z2x2 zx

yz

xy

zx

yz

xyyxyx2z

zyzy2x

xzxz200y所以2A0，則A0。2 2 2 2 2 2這個(gè)題目利用多項(xiàng)式y(tǒng)xzyxz 這個(gè)題目利用多項(xiàng)式 zx

xy

yz2 2 2 2 2 2之對(duì)稱的多項(xiàng)式y(tǒng)zzxxy 之對(duì)稱的多項(xiàng)式 zx

xy

yz出結(jié)論。在這個(gè)題目的證明過(guò)程中，對(duì)稱思想起到了關(guān)鍵的作用。3.4對(duì)稱思想在解析幾何中的應(yīng)用例7已知圓C位于拋物線x22y與直線y3圖象的邊界），圓C半徑的最大取值是多少？C的半徑取得最大值，那么圓C和拋物線x22y以及直線y3ar，因?yàn)閳AC和直線y3相切，所以圓的半徑r3a，因?yàn)閳A和拋物線都是關(guān)于yy軸對(duì)稱，根據(jù)題目條件建立方程組如下：x22yx2ya23a2化簡(jiǎn)這個(gè)方程組可得y26a90因?yàn)閳A與拋物線的兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于yy26a90有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，所以b24ac 22a26ab24ac6解得r6

1。到兩個(gè)切點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，進(jìn)而簡(jiǎn)便解題。2 2例8已知橢圓方程為xy19 4所在的直線方程。解法一：設(shè)直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為1,1，由于P為弦的中點(diǎn)，由對(duì)稱性知，直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為41,21則有1x219

y21142 21將兩式相減并化簡(jiǎn)得9 48x1925這個(gè)方程可以改寫為

（1）25（2）由（1）和（2）知點(diǎn)1,1和點(diǎn)41,21都滿足方程8x9y25所以所求直線的方程為8x9y25。解法二：因?yàn)閗，則直線的方程為y1由y1y49k2x292k4k2x36k220由韋達(dá)定理知又因?yàn)?/p>

x2

4k49k2解得k89

x24k 449k2所以直線方程為y188x9y259大，并且在化簡(jiǎn)的過(guò)程中容易出錯(cuò)。4運(yùn)用對(duì)稱思想解題的意義想解題的意義。生智力的效果。對(duì)稱思想方法作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種教學(xué)方法，能夠吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而能夠改善中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。結(jié)束語(yǔ)要對(duì)稱用的好，問(wèn)題便能解決好題簡(jiǎn)便。在今后的學(xué)習(xí)和工作中，我將繼續(xù)研究對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)[1]劉盛利.中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué),2007.[2]江陽(yáng).金字塔與泰勒斯[J].小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo),2016(32):41-41.[3]赫爾曼?外爾.（馮承天,陸繼宗譯）[N].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2002.[4]宋乃慶.中國(guó)特色數(shù)學(xué)教育引領(lǐng)者——張奠宙先生[J].中國(guó)教育科學(xué),2015(04):41-49.[5]代欽.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的美學(xué)思想方法研究之一[J].內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(哲社漢文版),2005,34(4):56-61.[6]賈桂青.用對(duì)稱思想解函數(shù)問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化:高中版,2004(5):19-20.[7]申祝平.奇函數(shù)和偶函數(shù)是相容概念[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志:高中版,2001(6):18-19.[8]劉愛(ài)德,孫盛杰.奇偶函數(shù)及其性質(zhì)研究[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999(4):315-318.[9]吳建濤.淺談對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].電子世界,2013(20):173-174.[10]劉盛利.對(duì)稱思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版),2007,20(8):120-122.[11]