多維視角探本源 深度學(xué)習(xí)悟本質(zhì) 論文

多維視角探本源深度學(xué)習(xí)悟本質(zhì)放手，創(chuàng)設(shè)和諧氛圍，捕捉思維火花，在教學(xué)中，讓學(xué)生自由參與，自由表達，力和創(chuàng)造性。關(guān)鍵詞：變式探究 核心素養(yǎng)高效課堂膽放手，讓課堂教學(xué)充滿活力和創(chuàng)造性。實錄如下：一、問題呈現(xiàn)C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的

2倍，離心率為2.2(1)求橢圓的標準方程.(2)若直線l與橢圓C交與P,Q兩點，且滿足OPOQ求OP2OQ2的最小值二、問題解析.2 2程為xy 程為 18 4第二問主要考查直線和橢圓位置關(guān)系，可以通過“圖形-方程組-函數(shù)-不等式”部分學(xué)生從不同的視角進行解答，解法簡便值得學(xué)習(xí)和肯定。教學(xué)片斷：教師：同學(xué)們，根據(jù)題目條件，第二問如何解答？認真思考，談?wù)勀愕南敕?。學(xué)生1：首先設(shè)出P,Q坐標為P(x1,),Q(x2,y2)，利用兩點間距離公式把2 2OPOQ表示出來，聯(lián)立方程組、應(yīng)用韋達定理帶入化簡、應(yīng)用函數(shù)或均值2 2不等式進行求解。方法一：當直線l斜率k不存在時因為OPOQ不妨設(shè)P點在第一象限Q點在第四象限，則lOP:yx,lOQ:yx2 2聯(lián)立xy 聯(lián)立 1得x

26,y

26.x

26,y

268 4 1

3 1 3

2 3 2 32 2 32OPOQx2y2x2y21 1 2 2 3當直線l斜率k存在時，設(shè)當直線l方程為：ykxmykxm1 1 2 2x y設(shè)出P,Q坐標為P(x,y),Q(x,y)1 1 2 2x y

消去y得：2k2x24kmx2m280

8414km242k22m288k2m24>0即8k2m24>0xx

4km ,x

2m28 （1）1 2 2k21 12

2k21OPOQ即x2y201x21y21x2k1mkx2m121k2xx12

km1

x2m20

（2）2（1）代入（2）化簡得：m28k8（3）23 k2

k28k2m248k28 848

16 403 3 3 2 2OPOQx2y2x2y2x2x22 2

m2kx

m21 1 2 2 1 2 1 2k2x2x22kmxx2m21 2 1 2(1),(3)代入化簡得：2OP OQ2

232k24k2

324k45k232

32k22k2

2

4k44k2

3 4k44k2當k0時OP2OQ2323當k0時，OP2OQ232 32 3 12k2312k212k2312當“k21成立”k2 232<OP2OQ212332OP2OQ21232 2 32OPOQ的最小值是31的解法分類全面，運算量大，稍不注意就容易出錯，要求我們要有很強的運算能力，轉(zhuǎn)化能力求最小值。同學(xué)們可有不同的解法了？學(xué)生2：由OP2

2OQ2

323

32k24 4 2 34k4k12， 0設(shè)tk20,f(t) t f4t112， 04t24t1

t4

t3t1,當0t1,f,(t)0,f(t)單調(diào)遞增，t1,f,(t)0,f(t)單調(diào)遞減2 2 20f(t)f(1)1，32OP2OQ2122 8 32 2 32OPOQ的最小值是32的解法首先構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，從導(dǎo)數(shù)入手求最小值，很好，而我們能否從不同角度求解OP2OQ2表達式，同學(xué)們可有不同的想法？學(xué)生3:因為OPOQ所以O(shè)P2OQ2PQ2即求弦長PQ2的最小值，可利用弦長公式PQ

1k2x2

聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理代入化簡進行解答方法二：由方法一中把(1)(2)(3)代入得2 2OP OQ PQ22 2

1k2x2

1k2(x

x2

)24xx112k28k2m24112 2k22

32k24k22k22324k45k2324k44k23

32k24k44k2求OP2OQ2的最小值解法同解法一3能從條件OPOQ，結(jié)合圖形后，發(fā)現(xiàn)三角形OPQ是直角三角形，利用勾股定理得出OP2OQ2PQ2，利用弦長公式化簡得出表達式，注重數(shù)形結(jié)合，利用幾何圖形性質(zhì)簡化了運算，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)，借鑒。1學(xué)生4：老師當直線OP斜率存在且不為0時，可以設(shè)lOP:ykx,lOQ:y x，k1 1 2 2求出設(shè)出P,Q坐標為P(x,y),Q(x,y)利用兩點間距離公式把OP2OQ1 1 2 2

2用含k的表達式表示出來，進行求解1解法三：當直線OP斜率存在且不為0時，可以設(shè)lOP:ykx,lOQ:yk設(shè)出P,Q坐標為P(x1,),Q(x2,y2)

x，求出ykx

2 8 x1 2 2 2x得2 2 12得2 2

則OP2x2y2 8 8k 88k x y84 184

y21

8k212k2

1 1 12k2

12k2

12k21 2 8k28用 代換k,可以得出OQ ，k k222 2所以O(shè)P2OQ288k8k812k2

k224運用了一種逆向思維，直奔求解目標，而且巧用垂直條件減少了一解，同解法一，二。22學(xué)生4:觀察OP2和OQ2的分子相同可以先求1122OP OQ

1 122OP OQ22

12k288k2

k22 3 88k2 8 2 2 2 2 1OP2OQ2 1

1 OQOP OQ 12OQ

OQOP 22 42222OP2 222

OP OQ

OP OQOP2OQ232,等號成立條件OPOQ2 232 2教師：學(xué)生 4觀察

OP和OQ的表達式分子相同，得出1 1 3 1 1 32222 然后用均值不等式求解，運算簡便。但是，發(fā)現(xiàn) 2222OP OQ 8

OP OQ 8不太容易。學(xué)生5：老師，我們也可以用極坐標和參數(shù)方程的方法來解答，方法五：首先設(shè)出P,Q極坐標為P(,),Q(,)1 2 2，并設(shè)P,Q直角坐標P(x1,),Q(x2,y2)cos代入xy

21

cos2

2sin2 1 122sin 8 4 8 4222 32 2 32

4cos2

同理可得8sin2 2

4sin2

8cos22 2 2 2 32 32OPOQ

2

4cos28sin2 4sin28cos2 1sin2 1cos2 1sin21cos22sin2cos224 24 2432242 sin2

21 3 等號成立條件sin1或sinOP2OQ2的最小值是32321 2OP

1 32OQ 8利用均值不等式，運算簡便，2法處理問題太少，在今后學(xué)習(xí)中要注意多加練習(xí)。2教師：解法四解法簡便，12

1 3是一個定值，1

1 22是定值222是否具有一般性?2

OP OQ 8

OP OQ三、變式探究、揭示本質(zhì)變式探究1：已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，即2 2 x 1ab0若直線l與橢圓C交與P,Q兩點，且滿足OPOQa2 b2判斷11 判斷22 是定值?22OP OQ教師：同學(xué)們，可以借鑒方法四、方法五進行解答1OP斜率存在且不為0時，可以設(shè)lOP:ykx,lOQ:y x，k設(shè)出P,Q坐標為P(x1,),Q(x2,y2)22ykx

2 ab xx2 y21得

k2a2b2221b則 2

y21

k2a2b2k2a2b2ab

kab

ab1kOPx2y2

22 222 22 2 1 1 k2a2b2

k2a2b2

k2a2b2用1代換k,可以得出

2 ab1k，22 2OQk a2k2b21

1

k2a2b2

a2k2b2

1k2a2b2 2 2 22 222 2 OP OQ ab1k ab1k

a2b21k2a2b2a2b2

11a2 b2 成22當直線OP斜率存在且不為0時11 1 成22OP OQ

a2 b222 1 122OP OQ

11 定值）（a2 b（2方法二：首先設(shè)出P,坐標為,),Q(2, )，222并設(shè)P,Q直角坐標P(x1,),Q(x2,y2)22

cos代入xy2222sin a b2222

1

cos2a2

sin21b22 a2b2

2 a2b2

同理可得a2cos2b2sin2 2

b2sin2a2cos2221 122OP OQ

1 1 a2b2ab2 2 2ab1 2

11 定值）（a2 b（22教師：解法四中11 3不是巧合，而是必然。而且具有一般性22OP OQ 811 11 22 22OP OQ

a2 b2變式探究2：已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，即x2 y2a2 b2a直線l與雙曲線C交與P,Q兩點，且滿足OPOQ，1 1 122 是定值？22

1 112 2OP OQ

OP2

OQ a2

b2變式探究Cxy22012若直線l與拋物線C交與P,Q兩點，且滿足OPOQ，2OP

1 是定值？2OQ2教師：可以根據(jù)變式探究1中的解法一、二判斷，請同學(xué)們課后完成2,3留給學(xué)生課下繼續(xù)探究。四、課后反思較大的解題思路，盡可能地優(yōu)化過程降低運算量。解題也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的好素材。五、課后精彩2 2結(jié)論C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，即xyb0a2 b2 22若直線l與橢圓C交與P,Q兩點，且滿足OPOQ則1 1 1 22OP OQ

a2 b2課下對探究2通過類比的方法橫向拓展這一性質(zhì)2 2結(jié)論Cxxya0a2 b2若直線

l與雙曲線

C交與

P,Q兩點，且滿足

OPOQ，則1 1 11 則22 22OP OQ

a2 b2證明方法和結(jié)論1相同變式探究Cxy22012若直線l與拋物線C交與P,Q兩點，且滿足OPOQ，2OP

1 是定值？2OQ21解：當直線OP斜率存在且不為0時，可以設(shè)lOP:ykx,lOQ:yk坐標為P(x1,),Q(x2,y2)

x，設(shè)出P,Q 2pxykx1k2

1

1

1 k4 22px

2p

2OP x2y22

4p2

4p2

4p2k2

1 1 1 k

k4 k21代換k,可以得出1 1 2 4p2 4 2k OQ kk2 4p2 4 2 1 1

1 k61

k4k21