2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 余弦定理 課件（62張）

§6平面向量的應(yīng)用6.1余弦定理與正弦定理一、余弦定理必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.余弦定理(1)文字?jǐn)⑹?三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍.(2)符號(hào)表示:a2=______________,

b2=______________,

c2=______________.

導(dǎo)思1.余弦定理的內(nèi)容是什么?2.余弦定理可以解決哪些問題?b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC【說明】余弦定理的理解:(1)適用范圍:任意三角形.(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.(3)主要作用:余弦定理的主要作用是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.【思考】余弦定理與勾股定理之間有何聯(lián)系?提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.2.余弦定理的公式變形【思考】(1)觀察余弦定理的符號(hào)表示及其公式變形,你認(rèn)為余弦定理可以用來求解哪類三角形?提示:①已知兩邊及其夾角,解三角形;②已知三邊,解三角形.(2)在解題過程中出現(xiàn)什么樣的條件時(shí)考慮余弦定理去化簡變形呢?提示:當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形,如a2+b2,a+b,ab,cosA等,可以考慮使用余弦定理或變形公式對(duì)條件進(jìn)行化簡變形.3.三角形面積公式△ABC的面積公式為S=ah=absinC(其中a,b,c分別為A,B,C的對(duì)邊,h為邊BC上的高).【思考】若已知三角形的兩邊及其夾角,如何選用面積公式?提示:選用S=absinC=acsinB=bcsinA更簡便.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)余弦定理僅適用于非直角三角形. (

)(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,則△ABC為鈍角三角形. (

)(3)在△ABC中,若已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角的類型問題,則求解時(shí)都只有一個(gè)解. (

)提示:(1)×.余弦定理適用于任意三角形.(2)√.由c2>a2+b2,可得a2+b2-c2<0,所以cosC=<0,故C為鈍角,△ABC為鈍角三角形.(3)√.根據(jù)余弦定理可知第三邊唯一,從而三角形確定,另外兩角確定,故該三角形唯一.2.在△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a=3,b=4,∠C=120°,則c=(

)

A.37B.13C.D.【解析】選D.因?yàn)閍=3,b=4,∠C=120°,所以c2=a2+b2-2abcosC=9+16+12=37,所以c=.3.(教材二次開發(fā):例題改編)江岸邊有一炮臺(tái)高30米,江中有兩條船,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距 (

)A.10米 B.100米 C.30米 D.20米【解析】選C.由題意畫出示意圖,如圖:炮臺(tái)高AB=30,不妨令由炮臺(tái)頂部測(cè)得船C俯角為45°,船D的俯角為30°,則∠CAB=45°,BC=AB=30,∠DAB=60°,BD=AB=30,又∠CBD=30°,所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=900,所以CD=30.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一應(yīng)用余弦定理解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角之和為(

)

A.90° B.120° C.135° D.150°2.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若a=2,b=3,A=,則△ABC解的個(gè)數(shù)是 (

)A.0 B.1 C.2 D.不確定3.(2020·全國卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,則cosB= (

)【解析】1.選B.根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得,最大角與最小角所對(duì)的邊的長分別為8與5,設(shè)長為7的邊所對(duì)的角為θ,則最大角與最小角的和是180°-θ,由余弦定理可得cosθ=,所以θ=60°,故最大角與最小角的和為120°.2.選C.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以4=9+c2-6c·,即c2-3c+5=0,解得c=或c=,所以△ABC解的個(gè)數(shù)是2.3.選A.由余弦定理可知cosC=可得|AB|=3,又由余弦定理可知:cosB=【解題策略】利用余弦定理解三角形的方法(1)已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況:①已知角是其中一邊的對(duì)角,用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解;②已知角是兩邊的夾角,直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,然后直接利用余弦定理求解其他角.(2)已知三角形的三邊或其比值解三角形:①已知三邊求角時(shí)直接利用余弦定理;②若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求角.注意:在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),要牢記30°,45°,60°等特殊角的三角函數(shù)值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】有一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形的三邊長分別為m,m+1,m+2,則實(shí)數(shù)m的值為(

)【解析】選B.由題意可知120°角所對(duì)的邊為最大邊,故cos120°=,化簡得2m2-m-3=0,解得m=或m=-1(舍).類型二應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀(邏輯推理)【典例】在△ABC中,若cosA+cosC=,則△ABC的形狀是 (

)A.C為直角的直角三角形B.C為鈍角的鈍角三角形C.B為直角的直角三角形D.A為銳角的三角形【思路導(dǎo)引】利用余弦定理角化邊,根據(jù)立方和公式變形化簡可得a2+c2=b2,由此可得答案.【解析】選C.因?yàn)閏osA+cosC=,所以所以a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2ac(a+c),所以b2(a+c)-(a3+c3)=ac(a+c),所以b2(a+c)-(a+c)(a2-ac+c2)=ac(a+c),因?yàn)閍+c>0所以b2-(a2-ac+c2)=ac.所以a2+c2=b2,所以B為直角,故該三角形為以B為直角的直角三角形.【解題策略】判斷三角形形狀的途徑(1)利用余弦定理,將已知條件轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系;(2)利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)間關(guān)系,利用公式得出內(nèi)角關(guān)系.注意:在上述兩種途徑的等式變形中,一般兩邊不能直接約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.【跟蹤訓(xùn)練】在△ABC中,已知cosA=(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則△ABC為(

)

A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.由題意cosA=及余弦定理cosA=得整理得c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC的大小為 (

)

【解析】選A.cos∠BAC=所以∠BAC=.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.已知△ABC的三邊長a=3,b=5,c=6,則△ABC的面積為 (

)

【解析】選B.由余弦定理可得cosC=所以sinC=故△ABC的面積為S=absinC=3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=2,A=,c=2,則b=________.

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即b2-6b+8=0,因?yàn)閎>0,解得b=2或4.答案:2或44.已知△ABC三條邊上的高分別為3,4,6,則△ABC最小內(nèi)角的余弦值為_____.

【解析】不妨設(shè)AB邊上的高為3,AC邊上的高為4,BC邊上的高為6,則根據(jù)三角形面積相等可得3AB=4AC=6BC,故BC邊最短,BC邊對(duì)應(yīng)的角A最小,由余弦定理可得cosA=答案:

5.在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=6,b+c=8,A=.求△ABC的面積.【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc=,所以S△ABC=bcsinA=二十二余弦定理【基礎(chǔ)通關(guān)—水平一】

(15分鐘30分)1.在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對(duì)邊,A=60°,b=1,三角形的面積為,則a=(

)

【解析】選D.依題意S=bcsinA=·1·csin60°=,解得c=4,由余弦定理得a=課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面積是,則b= (

)

【解析】選A.由已知S=acsinB=acsin30°=ac=,得ac=6,所以b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-6(2+),解得b=+1.2.滿足A=60°,c=1,a=的△ABC的個(gè)數(shù)記為m,則am的值為(

)A.3B.C.1D.不確定【解析】選B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),所以滿足條件的△ABC只有一個(gè),即m=1,所以am=.3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,則△ABC的形狀是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cosA=因?yàn)?<A<π,所以A=.又因?yàn)閎c=a2,所以b2+c2=2bc,即(b-c)2=0,即b=c,所以△ABC為等邊三角形.4.已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=2,a=2,B=60°,則邊c=

.

【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.答案:45.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對(duì)邊,且b2=ac,則B的取值范圍是

.

【解析】cosB=因?yàn)?<B<π,所以B∈.答案:

6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(a+b)2=c2+3ab.(1)求C的值;(2)若△ABC的面積為,c=,求a,b的值.【解析】(1)將等式(a+b)2=c2+3ab變形為a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=因?yàn)?<C<π,故C=【能力進(jìn)階—水平二】

(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.鈍角△ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC= (

)【解析】選B.由面積公式得×sinB=,解得sinB=,所以B=45°或B=135°,當(dāng)B=45°時(shí),由余弦定理得AC2=1+2-2cos45°=1,所以AC=1,又因?yàn)锳B=1,BC=,所以此時(shí)△ABC為等腰直角三角形,不合題意,舍去;所以B=135°,由余弦定理得AC2=1+2-2cos135°=5,所以AC=.2.△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c.設(shè)向量p=(a+c，b),q=(b-a，c-a).若p∥q,則C= (

)【解析】選B.因?yàn)橄蛄縫=(a+c，b),q=(b-a，c-a),p∥q,所以(a+c)(c－a)－b(b－a)=0,整理得b2+a2-c2=ab.所以cosC=解得C=.3.在△ABC中,a2+b2+c2=2bccosA+2accosB,則△ABC一定是(

)A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【解析】選C.因?yàn)閍2+b2+c2=2bccosA+2accosB,所以a2+b2+c2=2bc·+2ac·

所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,即a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形.4.已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的范圍是 (

)A.(2,4)B.(2.5,3.5)C.(2,)D.(2,4)【解析】選C.只需讓3和a所對(duì)的角均為銳角即可,【誤區(qū)警示】本題容易默認(rèn)a為最大邊,從而造成錯(cuò)誤.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosA=bcosB,且c=2,sinC=,下列可以是△ABC面積的為 (

)【解析】選AC.因?yàn)樵凇鰽BC中,acosA=bcosB,所以由余弦定理得整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或C=(舍去).因?yàn)閏=2,sinC=,a=b,所以cosC=±,6.若△ABC為鈍角三角形,且a=2,b=3,則邊c的長可能為 (

)A.2B.3C.D.4【解析】選AD.由三角形的邊長能構(gòu)成三角形,有1<c<5,又a<b,所以在△ABC中鈍角可能為角B或角C.則cosB=<0或cosC=<0,所以4+c2-9<0或4+9-c2<0,解得1<c<或<c<5,所以選項(xiàng)A,D滿足.【光速解題】本題直接求解略顯復(fù)雜,可以直接利用余弦定理驗(yàn)證即可.本題A選項(xiàng)較易驗(yàn)證cosB=<0,故B為鈍角;B選項(xiàng)不需要驗(yàn)證;C選項(xiàng)cosC=>0,故最大角C為銳角,從而△ABC為銳角三角形,故此選項(xiàng)不符合題意;D選項(xiàng)不需要驗(yàn)證即可判斷(多選題至少有兩項(xiàng)滿足,則D項(xiàng)必定成立).三、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若c=b,cosB=cosC,a=,則S△ABC=

.

【解題指南】先根據(jù)余弦定理得b2+c2=a2,再根據(jù)直角三角形求結(jié)果.【解析】因?yàn)閏osB=cosC,所以結(jié)合c=b,化簡得a=b,從而有b2+c2=a2,即△ABC為直角三角形,將c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以S△ABC=bc=.答案:

【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若C=,c=2,則△ABC面積的最大值為

.【解析】由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4,即ab≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).所以S=absinC=故△ABC面積的最大值為.答案:

8.在△ABC中,角A